抛物线内切伴随圆族的方程及性质

田颖辉

(阜新高等专科学校，辽宁阜新123000)

曲线的伴随圆是指与曲线相关的圆.文献［1］探讨了抛物线的一类伴随圆——内切圆族的方程和性质.在此基础上，笔者对抛物线y2=2px(p＞0)的内切伴随圆族的方程与性质进行了进一步的探讨，得到了一些结论.

1 相关定义

1.1 内切圆

在抛物线的内部，与抛物线有且只有一个交点的圆，叫做抛物线的内切圆(图1).

1.2 内切圆族

与抛物线内切，且具有共性的一族圆称为抛物线的内切圆族(图1).

2 相切于一点的内切圆族

图1 内切圆与内切圆族

图2 引理1内切圆族

引理1［1］设抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，设M(x0，y0)是抛物线上的一点，则与抛物线内切圆族的方程为(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0是参数，x0≥0)，其圆心轨迹为以(p，0)为端点且与x轴正方向同向的射线.

引理中所描述的内切圆族情形如图2所示.

由引理1可知，对于抛物线上的固定点M(x0，y0)，其内切圆为(x－p－x0)2+y2=p2+2px0(x0≥0)，点(x0，y0)关于x轴的对称点为(x0，－y0)也在圆上，显然，该圆是内切于M(x0，y0)的圆中最大的内切圆.

定理1 设抛物线C:y2=2px(p＞0)，内切于抛物线上的定点M(x0，y0)的最大内切圆为

在圆(Ⅰ)内部可作一系列与点M(x0，y0)相切的圆，显然这些圆都是抛物线的内切圆，它们构成了一类抛物线的内切伴随圆族(图3).

图3 定理1抛物线的内切伴随圆族

图4 推论3内切伴随圆族

推论1 与抛物线C:y2=2px(p＞0)相切于抛物线上的定点M(x0，y0)的内切伴随圆族的圆心轨迹为线段MN(去掉端点M)，其中N(x0+p，0)(图3).

令x0=0，则y0=0，即此时M点为抛物线的顶点(0，0)，由此得如下结论.

推论2 与抛物线C:y2=2px(p＞0)相切与顶点的最大内切伴随圆为(x－p)2+y2=p2.

推论3 与抛物线C:y2=2px(p＞0)相切与顶点的内切伴随圆族的方程为(x－a)2+y2=a2(0＜a≤p)(图4).

3 以定长为半径的内切伴随圆族

抛物线C:y2=2px(p＞0)的最大内切圆族中最小的一个圆的半径为p，这里仅取定长r(0＜r≤p)为半径作抛物线的内切伴随圆.当该圆沿抛物线内侧移动时，这些圆是抛物线的一类内切伴随圆族.

定理2 半径为定长r(0＜r≤p)，与抛物线C:y2=2px(p＞0)内切伴随的圆族的圆心方程为

证明 设抛物线C的参数方程为

定长为r(0 ＜ r≤p)，圆心为(x0，y0)的圆方程为(x－x0)2+(y－y0)=r2，与抛物线C内切于点(x1，y1).过点(x1，y1)与抛物线相切的直线的斜率为k=y'=，则

解方程组得

由于内切圆心位于抛物线内，且在过切点(x1，y1)的法线上，所以x0＞x1将x1=2pt2，y1=2pt代入上式，最终得到定长为r的内切伴随圆的圆心参数方程

其圆心轨迹是夹在抛物线y2=2px(p＞0)与抛物线y2=2(p－r)x间的类似抛物线(p＞0，0＜r≤p)，随着r的增减在两抛物线间伸缩(图5，图6).

图6 抛物线的一类内切伴随圆族随着r减小的圆心轨迹

图5 抛物线的一类内切伴随圆族随着r增加的圆心轨迹

［1］刘耀斌，顾越岭.抛物线的伴随圆系及其性质［J］.数学通报，2007，46(3):38 －40.

［2］梁双凤，李宝荣，梁林.椭圆的内切圆与曲率圆的方程及图像研究［J］.玉溪师范学院学报，2010，26(8):8－13.