美国数学月刊第12154 号问题的加强与反向不等式

福建师范大学数学与统计学院 杨标桂 （邮编：350117）

关键字 几何不等式；美国数学月刊；旁切圆半径

1 问题的提出

Martin Lukarevski[1]在《美国数学月刊》的2020年第1 期提出了如下问题:

定理1(12154号问题)设ra、rb、rc、R、r分别是△ABC的顶点A、B、C所对的旁切圆半径,外接圆半径与内切圆半径,则有

其中∑ 表示循环和.

本文给出不等式①的加强及反向不等式:

定理2设ra、rb、rc、R、r分别是△ABC的顶点A、B、C所对的旁切圆半径,外接圆半径与内切圆半径,则有

2 几个引理

为了证明定理2,我们给出一些关于三角形的各种半径和半周长的恒等式与不等式:

引理1设ra、rb、rc、R、r、s分别是△ABC的顶点A、B、C所对的旁切圆半径,外接圆半径，内切圆半径与半周长,则有

其中∏f(a,b,c)表示循环积.

证明③～⑥是熟知的结论.令∑ra=ra+rb+rc=4R+r=X,于是

引理2设ra、rb、rc、R、r、s分别是△ABC的顶点A、B、C所对的旁切圆半径,外接圆半径，内切圆半径与半周长,则有

证明令∑ra=ra+rb+rc=4R+r=X,由引理的③～⑦，可得

因此,引理2 得证.

下面在给出一个关于三角形的半周长的双向不等式:

引理3设R、r、s分别是△ABC的外接圆半径,内切圆半径与半周长,则有

⑨的右边不等式就是著名的Kooi 不等式.

3 定理的证明

定理2 的证明由恒等式⑧和不等式⑨,有

最后一个不等号利用了Euler 不等式.

最后一个不等号利用了Euler 不等式,因此定理2 获证.

类似地,还可以得到一个简单的不等式: