绕点
- 一道与旋转有关的动点最值问题的探究
图3,将△AOB绕点P顺时针旋转90°得到△A′O′B′,则Q′为直线A′B′上一动点,根据垂线段最短,OQ′的最小值为点O到直线A′B′的垂线段的长度d.图3由题意,得O′(1,1),A′(3,1),B′(1,-3).点评：解法2由旋转的本质出发,直线AB绕点P顺时针旋转90°所得直线A′B′即为动点Q′的轨迹,但直接求直线A′B′的解析式不方便,因此旋转整个△AOB,先求出点A′和B′的坐标,再求直线A′B′的解析式,最后用面积法求出点O到直线A′B′
中学数学 2023年20期2023-10-29
- 巧用等腰三角形旋转解题
于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.（1）求证：△COD是等边三角形．（2）求∠OAD的度数．思路分析：（1）因为△ADC是由△BOC旋转60°得到的，所以OC = DC，∠ACD = ∠BCO，所以∠OCD = 60°，从而△COD为等边三角形.（2）因为△ADC是由△BOC旋转60°得到的，所以∠ADC = ∠BOC = α，∠OBC = ∠DAC.在△AOD中，∠AOD = 360° - 105° - α - 60° =
初中生学习指导·中考版 2022年11期2022-12-11
- 巧用旋转法解正方形问题
图2，将线段AP绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接BE，EP，作AF⊥EP于点F. 易证△AEB ≌ △APD，所以AE = AP = 1，EB = PD = [3]. 根据勾股定理可得EP = [2]，根据勾股定理的逆定理可得∠PEB = 90°，所以∠APD = ∠AEB = 135°，点E，P，D三点共线. 在△APF中根据勾股定理可求得AF = [22]，进而可得S△APD = [64].反思：上述解法以AB = AD，∠BAD = 90°
初中生学习指导·中考版 2022年11期2022-12-11
- 分类例说“角含半角”模型及其相应结论
AC.将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，连结BG，根据已知条件可证得∆AFE≌∆AGE(SAS)，∆ABG≌∆ADF(HL)，即可得到GE=FE，BG=DF，即EF=DF+BE.如图2，∠BAC=90°，∠DAE=45°.将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连结DF，BF，根据已知条件可证得∆AED≌∆AFD(SAS),∆AEC≌∆AFB(SAS)，即可得到DE=DF，CE=BF，在Rt∆BDF中，由勾股定理可得BD2+CE2=DE2
初中数学教与学 2022年18期2022-12-02
- 巧用旋转变换求解线段(和)的最值问题
图1,将线段AC绕点A顺时针旋转90°到AG,连结GE,GC.∵D为等边∆ABC的BC边的中点,∴AD⊥BC,∴∠ACD+∠CAD=90°,∴∠GAE=∠ACD.∵AG=BC,AE=CF,∴∆AGE≌∆CBF,∴GE=BF.说明当图形中的线段比较分散时,可以通过旋转变换将分散的线段集中在一个三角形中来解决问题.2.构造相似三角形例2[1]如图2,在Rt∆ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=30°,点P为∆ABC所在平面内的一点,且点P到∆ABC的顶点A,
初中数学教与学 2022年17期2022-10-25
- 动静转换 化繁为简
现将三角板DEF绕点G按顺时针的方向旋转60°，如图2所示，在三角板DEF转动的过程中，点H移动的距离为.(结果保留根号)图1 图2分析：本题第(2)问中点H的运动过程比较复杂，直观的感受是BH的长度慢慢变短，因此很多人都把初始状态和结束状态算一下就得出了结果.造成这种情况是因为在运动过程中很难看出BH长度变化.但利用相对运动的观念，把三角板DEF看成不动的，三角板ABC绕点G逆时针旋转60°，这样就很容易看出GH长度的变化是先变小，当GH⊥DF时，GH最
中学数学杂志 2022年18期2022-09-24
- 一“点”牵想象 全面引运动
——《图形的运动》总复习教学
：把三角形ABC绕点C逆时针旋转180度后得到，也可以把三角形ABC绕点C顺时针旋转180度后得到。小结：旋转时，要说清楚绕点、旋转方向、旋转角度，缺一不可。层次三：轴对称。师：同样是轴对称图形，为什么第一幅这个点是点B的对应点，而第二幅是点C的对应点？生：第一幅对称轴在AC的位置，第二幅对称轴则是在AC往右两格的位置。师：轴对称的特点是对称点到对称轴的距离相等，并且连线与对称轴垂直。层次四：放大与缩小。师：下图又是怎么运动的？生：三角形ABC按2∶1放大
小学教学设计(数学) 2022年6期2022-07-07
- 平行四边形面积“变形记”
中点，将△ABC绕点O旋转180°，B的对应点为B′。如图2，连接OB、OB′。∵O为AC的中点，∴OA=OC。∵△ABC绕点O旋转180°，∴B、O、B′三点共线且BO=B′O，∴四边形AB′CB是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。∵△ABC绕点O旋转180°得到△AB′C，∴△ABC≌△CB′A，∴S△ABC=S△AB′C，∴S△ABC=[12]S▱AB′CB=[12]BC·AH。因此，三角形的面积公式为S=[12]×底×高。孔子云：“
初中生世界·八年级 2022年5期2022-05-27
- 平行四边形面积“变形记”
中点，将△ABC绕点O旋转180°，B的对应点为B′。如图2，连接OB、OB′。∵O为AC的中点，∴OA=OC。∵△ABC绕点O旋转180°，∴B、O、B′三点共线且BO=B′O，∴四边形AB′CB是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。∵△ABC绕点O旋转180°得到△AB′C，∴△ABC≌△CB′A，∴S△ABC=S△AB′C，∴S△ABC=因此，三角形的面积公式为S=图1图2孔子云：“温故而知新，可以为师矣。”在今后的数学学习中，我们要学
初中生世界 2022年18期2022-04-20
- 动静转换 化繁为简
现将三角板DEF绕点G按顺时针的方向旋转60°，如图2所示，在三角板DEF转动的过程中，点H移动的距离为.(结果保留根号)图1 图2分析：本题第(2)问中点H的运动过程比较复杂，直观的感受是BH的长度慢慢变短，因此很多人都把初始状态和结束状态算一下就得出了结果.造成这种情况是因为在运动过程中很难看出BH长度变化.但利用相对运动的观念，把三角板DEF看成不动的，三角板ABC绕点G逆时针旋转60°，这样就很容易看出GH长度的变化是先变小，当GH⊥DF时，GH最
中学数学 2022年18期2022-04-16
- 45°特殊角的存在性处理策略
，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 .解析：∵一次函数y = 2x - 1的图象分别交x轴、y轴于点A，B，∴令x = 0，得y = - 1，令y = 0，则x = [12]，∴A [12，0]，B （0， - 1），∴OA = [12]，OB = 1.过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，如图3.∵∠ABC = 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，且AB = AF.∵∠OAB + ∠
初中生学习指导·提升版 2022年2期2022-03-08
- 一次数学探究之旅
——记一道几何证题的推广
出发,将ΔBCO绕点C旋转60°,于是就构造出了一个等边ΔOCO′.证明:将ΔBCO绕点C顺时针旋转60°,连结OO′,BO′,易知ΔOCO′为等边三角形,则OC=OO′.在ΔBOC中,∠BOC= 180° -10° -20°= 150°,而∠BOO′= 360° -60° -150°= 150°= ∠BOC,易得ΔBOC∽= ΔBOO′,可知∠CBO′= 20°,∠BO′O=∠BCO= 20°,则∠AOO′= ∠ACB= 50°,则点A、B、C、O′四点
中学数学研究(广东) 2021年22期2022-01-10
- “旋转型”相似在解题中的应用
CD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则EF·ED的值为 .分析：根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，然后根据相似三角形的性质即可得解.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45° = ∠EDA，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴
初中生学习指导·中考版 2021年11期2021-11-27
- 旋转变换助你解题
图2，将△ABP绕点A旋转到△ACP′位置，则有[AP=AP']，[BP=CP']，[∠APB=∠AP'C].连接[PP']，∵[AP=AP']，∴[∠APP'=∠AP'P].∵[∠AP'C=∠APB<∠APC]，∴∠APC-∠APP′>∠AP′C-∠AP′P，即[∠CPP'>∠CP'P]，∴[CP'>CP]，∴[BP>CP].点评：若已知条件中出现共顶点的相等线段，则可考虑构造旋转变换，将分散的条件进行集中.二、旋转60°例2 如图3，已知正方形ABCD
初中生学习指导·中考版 2021年10期2021-09-30
- 慧眼识变换
′）是由△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的，如图2;选项B中三角形的三条边分别与图1中△ABC中的对应边呈“V”字形，所以选项B中的三角形是由△ABC沿直线MN翻折得到的，如图3;选项C中三角形的三条边分别与图1中△ABC中的对应边平行，每条对应边的两个顶点的位置是互换的，由此想到中心对称变换和平移，如图4，由△ABC以点O为中心，旋转180°得△A1B1C1，再将△A1B1C1沿OB1方向向左平移1个单位长度得到选项C中的三角形（△A′B′C′）;选项
初中生学习指导·中考版 2021年10期2021-09-30
- 从旋转的角度慧眼识图
因此，将△ABD绕点A逆时针旋转42°就可以得到△ACE;同样将△ACE绕点A顺时针旋转42°就可以得到△ABD.【启示】 用旋转的视角观察图形的结构特征，通常能够发现其中隐含着三角形全等的关系. 旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小（全等三角形的对应角相等、对应边相等），因此可用旋转变换线段的位置，将几个分散的条件聚集在一起，为顺利求解奠定基础.【慧眼识图1】 以等腰直角三角形为载体的基本图形，如图2.【旋转策略】 如图2①，P为等腰直角三角形ABC内
初中生学习指导·提升版 2021年4期2021-09-10
- 让思维在动态的情境中延伸
看作是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的. 理由略.反思：观察图1，我们发现图中有共顶点C的两对相等的边CA = CB，CD = CE，且∠ACB = ∠ECD = 60°，容易知道若将△BCE绕点C顺时针旋转60°便可以与△ACD完全重合，由此启发我们当给出的几何图形中，出现“相等的线段（等边三角形或等腰三角形）且线段有公共端点时”，我们可考虑从“旋转”的视角添加辅助线去探究问题. 简言之，即为：等线段，共顶点，旋转牵手助变换. 下面举例说明.变式1
初中生学习指导·中考版 2021年7期2021-08-21
- “基于素养,能力立意”引领下的思维培养
——运动轨迹为圆的问题常见类型
若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α. 若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值.图6图7分析: 如图6, 当正方形旋转时, ΔBOF′可以由ΔAOE′绕点O顺时针旋转90°得到, 所以BF′⊥AE′, 即∠APB= 90°恒成立,AB=是定值, 所以点P在以AB为直径的圆上运动. 要求点P纵坐标的最大值, 即求∠E′AO的最大值, 因为E′的以O为圆心, 1 为半径的圆上,当AE′与⊙O相切时,∠E′A
中学数学研究(广东) 2020年22期2021-01-11
- 规律探索问题的解状之道
，点P（O，2）绕点A旋转1800得到点P1，点Pl绕点B旋转1800得到点P2，点P2绕点C旋转1800得到点P，点P3绕点A旋转1800得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2019的尘标为_____，解析：先根据题意依次标出前几个P点，如图3，发现每旋转6次为一个循环.依次求得P1（-2，0），P2（2，-4），P3（0，4），P4（-2，-2），Ps（2，-2），P6（0，2），按照此规律循环下去，由2019÷6=336……3，可知点P2019的
中学生数理化·中考版 2020年8期2020-10-29
- “共顶点旋转”的等边三角形
放到△CBD中，绕点B逆时针旋转60°.如图1，作∠ABE = ∠CBD，截取BE = BD，连接ED，EA，∴△EBD是等边三角形，∴△ABE ≌ △CBD，∴∠BEA = ∠BDC = 30°，∴∠DEA = 30°，∴△ABE ≌ △ADE，∴AB = AD.解法2：以B为旋转中心，将BA放到△ABD中，绕点B顺时针旋转60°.如图2，作∠CBE = ∠ABD，截取BE = BD，连接ED，EC，∴△EBD是等边三角形，∴△ABD ≌ △CBE，∴C
初中生学习指导·中考版 2020年7期2020-09-10
- 2020年本刊原创题（六）
边三角形，将OD绕点D旋转，在旋转过程中 DE的最小值为 .4.如图3，四边形ABCD是菱形，∠DAB = 60°，AB = 5，△BEF是邊长为4的等边三角形，将△BEF绕点B旋转，连接CF，AE，当∠BCF最大时，△ABE的面积为 .5.如图4，D是边长为6的等边三角形ABC的边AC的中点，△AEF是直角三角形.其中∠EAF = 90°，AE = 3，AF = 4，P是边EF上的一个动点，将△EAF绕点A旋转一周，那么PD长度的取值范围是
初中生学习指导·中考版 2020年10期2020-09-10
- 帮你闯关“辅助线”（十二）
B，则阴影①可以绕点C旋转180°到②的位置，从而在图中左侧形成一个半径是2的90°弓形，由此可得阴影面积 = 2（S扇形AOB - S△AOB） = 2-×2×2 = 2π - 4. 点评：通过旋转拼接出规则图形是解决本题的关键. 例2 如图2，△ABC中，AC = 4，BC = 6，求中线CD的取值范围. 分析：题目求线段长度的取值范围，容易联想到三角形三边关系定理，故可以考虑通过等量位移将分散的条件集中起来. 中点D将线段AB平分，提供了180
初中生学习指导·中考版 2020年3期2020-09-10
- 图形旋转与中心对称题型解析
动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D. （1）请用圆规画出点D →D1→D2→D经过的路径; （2）所画图形是 对称图形; （3）求所画图形的周长（结果保留π）. 解析：（1）点D →D1→D2→D经过的路径如图8所示. （2）所画图形是轴对称图形. 故应填轴. （3）所画图形的周长等于半径为4的圆的周长，该周长为8π. 三、旋转
初中生学习指导·提升版 2020年4期2020-09-10
- “旋转”中的最值问题
将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为。【解析】由△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=1/2DC=2，我们可以知道等边三角形ABC的边长是6，所以正方形DEFG的边长也为6。将正方形DEFG绕点D旋转一周，则点E在以点D为圆心，6为半径的圆上旋转一周，显然，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上（如图2，此时AD+AE=DE）时，AE取最小值，此时△ADG是直角三角形。要求AG的长，已经有了DG的长，则必须
初中生世界·九年级 2020年6期2020-09-08
- “线段关系”疑无路“图形变换”又一村
=BC可知：BA绕点B顺时针旋转60°与BC重合。由∠ABC=60°，∠ADC=30°可知，在四边形ABCD中，∠A+∠C=270°。如图8，若将BA绕点B顺时针旋转60°的同时，将△ABD绕点B旋转至△CBE，则△BCE≌△BAD。此时可得BD=BE、∠A=∠BCE，所以∠BCE+∠BCD=270°，故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°证得△BDE是等边三角形，于是将BD转化为ED。由△BCE≌△BAD能将AD转化为CE，在Rt△CDE
初中生世界·九年级 2020年6期2020-09-08
- 踩点答对题 自信得满分
一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB。（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_____，NB与MC的数量关系是_____（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由。（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1=8，∠A1B1C1=60°，∠B1A1C1=
初中生世界·九年级 2020年6期2020-09-08
- 想象先行 虚实相融
——《图形的运动（三）》教学实践（一）
1”的？生：指针绕点O，从“12”起顺时针方向，旋转30 度到“1”。师：通过学习，你知道描述旋转运动必须具备哪些要素吗？生：描述旋转运动必须具备旋转中心、旋转方向、旋转角度三个要素。3.借助想象，深入理解旋转要素。（1）想象旋转过程。师：（出示一个空白钟面）指针从“6”到“9”，你能想象出旋转过程吗？生：指针从“6”起，绕点O 顺时针方向，旋转90 度到“9”。师：只能这样旋转吗？生：指针从“6”起，绕点O 逆时针方向，旋转270 度到“9”。（2）深入
小学教学设计(数学) 2020年5期2020-06-15
- 插上“隐形的翅膀”，“翱翔”于三角形世界
=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 。同学们，你们觉得此题的突破点可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常见的处理办法是连接CC′得到等边三角形C′BC（如图6）。把A′C拆分成两条线段后分别放在等腰三角形A′BC′和等边三角形△C′BC中求解。三角形考查的重点是特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等。“隐形”三角形是难点，它们还可以“隐形置身”于动态问题中。把一条线段绕端点旋转任意角度
初中生世界 2020年15期2020-06-05
- “旋转”中的最值问题
将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为______。图1【解析】由△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点我们可以知道等边三角形ABC的边长是6，所以正方形DEFG的边长也为6。将正方形DEFG绕点D旋转一周，则点E在以点D为圆心，6为半径的圆上旋转一周，显然，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上（如图2，此时AD+AE=DE）时，AE取最小值，此时△ADG是直角三角形。要求AG的长，已经有了DG的长，则必须求出AD
初中生世界 2020年23期2020-06-04
- “线段关系”疑无路 “图形变换”又一村
=BC可知：BA绕点B顺时针旋转60°与BC重合。由∠ABC=60°，∠ADC=30°可知，在四边形ABCD中，∠A+∠C=270°。如图8，若将BA绕点B顺时针旋转60°的同时，将△ABD绕点B旋转至△CBE，则△BCE≌△BAD。此时可得BD=BE、∠A=∠BCE，所以∠BCE+∠BCD=270°，故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°证得△BDE是等边三角形，于是将BD转化为ED。由△BCE≌△BAD能将AD转化为CE，在Rt△CDE
初中生世界 2020年23期2020-06-04
- 踩点答对题 自信得满分
一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB。（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是________，NB与MC的数量关系是 ；图1（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由。图2（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1=8，∠A1B1C1=60°，∠B1A
初中生世界 2020年23期2020-06-04
- 插上“隐形的翅膀”，“翱翔”于三角形世界
=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'，连接A'C，则A'C的长为_________。同学们，你们觉得此题的突破点可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常见的处理办法是连接CC'得到等边三角形C'BC（如图6）。把A'C拆分成两条线段后分别放在等腰三角形A'BC'和等边三角形△C'BC中求解。三角形考查的重点是特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直焦三角形等。“隐形”三角形是难点，它们还周以“隐形置身”于动态问题中。把一条线段绕
初中生世界·九年级 2020年4期2020-05-03
- 巧借“全等”突破坐标系中“旋转”问题
中点，将△ABC绕点B逆时针旋转900后得到△A′BC′。则点A′、C′的坐标分别是______。【分析】由点C是OB的中点得点C的坐标为（0，3），绕点B逆时针旋转90°得点C′（3，6）。点A′是点A绕点B逆时针旋转90°所得的点，如图6，即AB⊥A′B，且AB=A′B。在此条件下，可通过向y轴作垂线段构造全等三角形，从而求得点A′的坐标。解：如图7，作A′H⊥OB，垂足為H。∵AB⊥A′B，∴∠ABO+∠A′BH=∠ABO+∠BA0=90°，∴∠BA
初中生世界·八年级 2020年2期2020-03-08
- 两类“三线碰头”问题的处理策略
、PB的△PAB绕点A顺时针旋转60°至△NAM，连接NP（如图3）.该旋转变换的四大作用是：①通过全等变换（△PAB≌△NAM）将线段PB转化为等长线段NM;②通过出现的等边△APN使线段PA转化为等长线段PN;③由①②实现“碰头三线”→“连接三折线”的转化;④使∠CAM=60°+60°=120°，于是可以构造含有特殊角60°的直角三角形，通过解直角三角形求和的最小值.所以，由“两点之间，线段最短”得知，（PA+PB+PC）min=（PN+NM+PC）m
中学数学杂志(初中版) 2019年5期2019-11-25
- 利用旋转法妙解一类解三角形问题*
0°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，如图2所示.由旋转性质易得△ADE是等腰直角三角形，∠CEA=135°，从而∠CED=135°-45°=90°，于是CD2=CE2+DE2.又由旋转性质知CE=BD，得CD2=BD2+DE2，因为△ADE是等腰直角三角形，所以DE2=2AD2，故CD2=BD2+2AD2，点评 从上面解题过程可以发现：旋转法非常巧妙，稍微旋转一下居然就能扭转乾坤，但细心之下不难发现旋转法的巧妙还是需要题目条件的“精心”配合
中学教研(数学) 2019年7期2019-07-24
- 一类对角互补型问题的解题策略
图2，将△ACD绕点C逆时针旋转120°，得△CBE，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，得△ACE是一个顶角为120°的等腰三角形，作CM⊥AE于M，解此三角形可得AC的长。图2解法二：运用角平分线策略。如图3，过C作CE⊥AB，交AB延长线于E，CF⊥AD于F，借助角平分线性质、两次三角形全等、30°角特殊性质、勾股定理等知识可得AC的长。图3【模型解读】如图4，从原题中四边形ABCD来看，结合“圆内接四边形对角互补”，可得这个四边形
初中生世界 2019年19期2019-05-25
- 旋出等边三角形和等腰直角三角形
OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长。图1【解析】乍一看，这道题有两个条件：（1）一个等边三角形——△ABC；（2）两条相等的线段——OD=OP。但单凭这两个条件却不容易解决问题。事实上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我们可以得知△DOP也是等边三角形，因此本题实际上是我们熟悉的一个特别简单的图形（如图2）。图2在图2中，△COD≌△APO≌△BDP，这样，问题就很容易解决了。【点评】当一条线段绕着一个
初中生世界 2019年15期2019-05-05
- 旋出等边三角形和等腰直角三角形
OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长。【解析】乍一看，这道题有两个条件：（1）一个等边三角形——△ABC;（2）两条相等的线段——OD=OP。但单凭这两个条件却不容易解决问题。事实上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我们可以得知△DOP也是等边三角形，因此本题实际上是我们熟悉的一个特别简单的图形（如图2）。在图2中，△COD≌△APO≌△BDP，这样，问题就很容易解决了。【点评】当一条线段绕着一个端点旋转
初中生世界·九年级 2019年4期2019-05-05
- 对直线绕点旋转问题的思考—对2017年深圳中考压轴题的剖析、拓展及反思
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E,求BE的长.二、解析探究及模型构建1.K型全等模型K型全等也称半弦图,同时是“一线三等角”相似模型的一种特例.由等腰直角三角形斜放通过作横纵辅助线从而构造的全等.通常思路是“45°⇒等腰直角三角形⇒K型全等”.如图2,△ABC是等腰直角三角形,作AD,CE垂直过B点的水平线于D、E两点.图2结论:△ADB.证明因为 ∠D= ∠E= ∠ABC=90°,所以∠ABD+∠CBE=∠BCE+∠CBE=9
中学数学研究(广东) 2018年18期2018-10-16
- 举一反三 论剑中考
图1，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是（ ）.A.∠ABC=∠E B.∠CBE=∠CC.AD∥BC D.AD=BC【分析】此题考查了全等中的旋转变换，由题意知AB=BD，∠ABD＝60°，可得△ABD为等边三角形，从而可得∠DAB＝60°.又∠CBE＝60°，所以AD∥BC，故选C.图1 图2变式1 如图2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在线段A
初中生世界 2018年34期2018-09-21
- 中考课题学习型试题
画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；【问题解决】如图2，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；图1图2想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得
初中生 2018年24期2018-08-20
- 旋转在解中考数学试题中的应用
如图1，将DQ绕点D分别逆时针旋转90°，顺时针旋转90°至DA、DB，连接AQ、AF、BQ、BE.由旋转知∠QDA=90°，即∠1+∠4=90°.又∠1+∠5=90°，故∠4=∠5.结合DE=DF，易证ΔDEQ≌ΔDFA.从而有∠2=∠6.又由等腰RtΔDEF中得∠3+∠7=45°.又因为∠6=∠2=∠3，所以∠6+∠7=45°，即∠QFA=45°.又因为∠1=∠2，∠1+∠5=90°，所以∠2+∠5=90°，即∠EQD=90°.所以∠DAF=90°.
理科考试研究·初中 2017年11期2018-03-06
- 基于反思的旋转复习课教学设计与思考
生2：将△BEC绕点B逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A，连接DE′（如图3）.由第一题可知DE=DE′，由旋转可知CE=AE′，∠E′AD= 90°，所以DE′2=AD2+AE′2，所以DE2=AD2+EC2.图3二、比较法反思1——比较条件和解法的共同处师：两问中条件有什么共同处？生3：都有BA=BC，∠DBE=∠ABC.师：两问中解法有什么共同处？生4：都将△BEC绕点B逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A.【设计意图】掌握比较法反思策略中方法之一，比
中学数学杂志 2017年12期2017-06-26
- 共点又等长 旋转来变换
考虑将△BA P绕点B旋转60°得△B C Q，此时P A＝Q C，P B＝Q B，这相当于把P A、P B分别变换到Q C、Q B.易知△B P Q是等边三角形，从而Q B＝P Q，这样以P A、P B、P C为边的三角形就是△P Q C.在△P Q C中，∠PQ C＝∠BQ C－60°＝140°－60°＝80°，∠Q PC＝∠B P Q－60°＝（360°－140°－130°）－60°＝30°，∠PC Q＝180°－80°－30°＝70°.例2 如图2
初中生天地 2016年30期2016-12-07
- 旋转经常见 解法灵活变
A C所在的直线绕点O顺时针旋转角α （0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与A D、B C两边分别相交于点E和点F.（1）求证：△A O E≌△C O F；（2）当α＝30°时，求线段E F的长度.图1解析：（1）根据菱形的性质有A O＝O C，∠O AE＝∠O C F，又∵ ∠A O E＝∠C O F，∴ △A O E≌△C O F.（2）∵ A B＝B C＝2，∠A B C＝60°，∴ △A B C为等边三角形.∴ A C＝2，∠A C B＝60°，
初中生天地 2016年30期2016-12-07
- “三角形”复习专题
如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=_______.2. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，若S△ABC=12，则图中阴影部分面积是_______.16. 数学活动——求重叠部分的面积.问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=EF=8，顶点D与边AB的中点重合.（1） 独立思考：若D
初中生世界·九年级 2016年6期2016-05-27
- 例谈“旋转法”构造全等三角形，外显解题思路与技巧
AE.即△DAC绕点A逆时针旋转60°与△BAE重合.所以可旋转三角形的重要线段（或对应线段），从而构造三角形全等.方法1 （构造对应高相等）如图1（2），过点A作AP⊥CD于点P， AQ⊥BE于点Q，则∠APD = ∠AQB = 90°. 因为△DAC ≌ △BAE，所以∠ADP = ∠ABQ，AD = AB，所以△ADP ≌ △ABQ，所以AP = AQ，又AO = AO，所以△APO ≌ △AQO（HL）. 所以∠DOA = ∠EOA，即OA平分∠D
数学学习与研究 2015年8期2015-07-06
- 解决几何问题的好帮手——辅助线
（解题突破口），绕点O旋转，即可得到图3。这个模型，就为我们添加辅助线找到了思路。回到图1，我们在旋转△BCE的同时，△OBE也在旋转。因此，我们不妨过点A，作AN⊥BE，连接ON（如图2）。△OBE旋转90°到△ONA。根据旋转的性质，旋转角相等，因此OE旋转到ON的旋转角也为90°，显然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易证OM=■EN=1。以下是解答过程：（如图2）过O点作OM⊥BE，垂足为点M过点A作AN⊥
新校园·中旬刊 2014年7期2014-10-16
- 巧拼三角板求tan15°的值
法1中的△ADE绕点A逆时针旋转15°即是方法2的拼接方式．方法3将一副三角板按图5所示的方式拼接，其中等腰直角三角形的斜边与半等边三角形的较长直角边重合，BD与AE交于点M，则∠BAE=45°-30°=15°．以下解法同方法1．评注将方法1中的△ADE绕点A顺时针旋转30°再沿直线AC翻折即是方法3的拼接方式．图5 图6方法4将一副三角板按图6所示的方式拼接，其中AB与AE在一条直线上，BC与AD交于点M，则∠CAD=45°-30°=15°．以下解法同方
中学教研(数学) 2012年4期2012-11-06
- “旋转变换”迷人眼，“见微知著”深追问——2012年浙江义乌市中考第23题的思路突破与反思追问
5°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数.（2）如图2，连AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积.（3）如图3，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.思路突破：第一步，“特例引路”初感知可以发现第（1）问中“点C1在线段CA的延长线上”是旋转后的特殊位
中学数学杂志 2012年16期2012-08-27
- 一道经典习题的其他结论
，将等边△BCE绕点C顺时针旋转一定角度，以上结论是否还成立，如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.图1图2本题是一道经典的运用等边三角形的性质、图形变换、全等三角形的判定的动态习题，很多版本的教材都不约而同的将它选为例题或练习.这两个小题都是证明△ACE≌△DCB，从而得出AE=BD.其实，对这个问题，在条件不变的前提下，还有其他一些结论，下面对此进行探究.结论1 如图3，将等边△BCE绕点C旋转，当点A，D，B三点在同一直线上时，AE+AC=AB
中学数学杂志 2011年32期2011-08-25
- 巧分割 妙拼图
四边形AMH1P绕点P逆时针旋转180°，把四边形CNH2Q绕点N顺时针旋转180°，再把四边形BQH2M沿射线BD的方向平移线段BD的长度，即可拼接成如图2所示的矩形。你知道如此剪拼能成功的道理吗?(可连结线段PM、PN、QM、QN得“中点∪PMQN”，证得MH1=NH2，MH2=NH1，进而分析可得)事实上，在图1中，当H1为MN上任意一点时，连结PH1，再过点Q作QH2／／PH1，交MN于点H2(如图3)。在拼法不变的情况下，可得到平行四边形(如图4
发明与创新·中学生 2009年9期2009-11-02
- 图形的旋转中考题精选
的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）.A． 1- B. C. 1- D. 4. 正方形ABCD在坐标系中的位置如图4，将正方形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置的坐标为（）.A. （－2，2） B. （4，1） C. （3，1） D. （4，0）5. 下面四个三角形中，不能由图5经过旋转得到的是（）.6. 汽车紧急转弯时方向盘快速转动，其形状、大小______发生改变（“将会”或“不会”
中学生数理化·中考版 2008年9期2008-12-01
- 旋转习题大展评
如图1，△ABC绕点A逆时针旋转40°后，到了△AB′C′的位置，若∠B=35°，∠C=60°，则∠B′AC=______.解析： 本题中的旋转角是∠BAB′和∠CAC′，都为40°.根据三角形内角和定理，可得∠BAC=85°，所以∠B′AC=85°－40°=45°.二、作图题例2 如图2，Rt△ABC的边长分别为a，b，c，将这个三角形绕点O按顺时针方向连续旋转三次，每次都旋转90°.（1） 作出每次旋转后的三角形.（2） 从所得图形中，你能推导出勾股定
中学生数理化·中考版 2008年9期2008-12-01
- 《全等三角形》测试题
0°.将△ABC绕点A顺时针方向旋转25°后得到△ADE，则∠CAD=__.8． 如图5，△ABC≌△DEC，∠A∶∠BCA∶∠ABC=3∶10∶5，则∠D=__，∠BCD=__.二、选择题（每小题4分，共32分）9． 下列各组图形中是全等图形的是（）.10． 有下列说法：①所有的等边三角形都全等；②两个全等三角形的最大边是对应边；③两个全等三角形的对应角相等；④面积相等的两个三角形全等.其中正确的有（）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11
中学生数理化·八年级数学人教版 2008年8期2008-09-27