巧借“全等”突破坐标系中“旋转”问题

朱小燕

随着学习的深入，你会发现平面直角坐标系与图形变换之间存在着千丝万缕的关系。同学们只要仔细观察、善于归纳，就会发现万变不离其宗，从而轻松解决问题。下面我们以平面直角坐标系中图形的旋转问题为例，体会如何借“全等”巧解“旋转”。

例1 （2019.山东青岛）如图1，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）。

A.（-4，1） B.（-1，2）

C.（4，-1） D.（1，-2）

【分析】此题的难点在于对“在平面直角坐标系中将平移后的线段绕原点按顺时针方向旋转900°”的处理，所以我们可以抓住所求问题，将线段旋转转化为点的旋转。如图2，右移5个单位后，点B坐标为（2，1），绕原点按顺时针方向旋转90°，易知点B′的坐标为（1，-2），故选D。

同学们，假如隐去网格，如图3，点B（2，1）绕原点按顺时针方向旋转90°到点B′，你能求出点B′的坐标吗？

【解决策略】根据旋转中的不变性（OB=OB′）以及旋转角为90°，我们可以构造全等。由上例网格图的启发，作BM⊥y轴，B′⊥y轴，垂足分别为M、N，这样构造出两个直角三角形。由条件OB⊥OB′，且OB=OB′，可证得△OBM≌△B′ON，∴ON=BM=2，B′N=OM=1。结合点B′所在象限，∴点B′的坐标为（1，-2）。

例2

（2019·山东济宁改编）如图5，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转900后得到△A′BC′。则点A′、C′的坐标分别是______。

【分析】由点C是OB的中点得点C的坐标为（0，3），绕点B逆时针旋转90°得点C′（3，6）。点A′是点A绕点B逆时针旋转90°所得的点，如图6，即AB⊥A′B，且AB=A′B。在此条件下，可通过向y轴作垂线段构造全等三角形，从而求得点A′的坐标。

解：如图7，作A′H⊥OB，垂足為H。∵AB⊥A′B，∴∠ABO+∠A′BH=∠ABO+∠BA0=90°，∴∠BAO=∠A′BH。又∠AOB=∠BHA′=90°，AB=A′B，∴△ABO≌△BA′H，∴A′H=BO=6，BH=A0=2，OH=4，∴点A′的坐标为（6，4）。

【解决策略】在平面直角坐标系中，当已知点绕原点或某确定点旋转90。时，通过作垂线段构造全等的直角三角形，再利用全等三角形对应边相等，即可求出旋转后对应点的坐标。构造“全等”，巧妙解决旋转问题！

试一试：在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-4，3），点B的坐标是（-1，1），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得线段A′B，则点A′的坐标为____。

参考答案：（-3，-2）。