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王锋

引例 人教版九年级数学上册第80页【综合应用】中有如下一道习题：

如图1，△ABC，△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？请说明理由.

解：△EBC可以看作是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的. 理由略.

反思：观察图1，我们发现图中有共顶点C的两对相等的边CA = CB，CD = CE，且∠ACB = ∠ECD = 60°，容易知道若将△BCE绕点C顺时针旋转60°便可以与△ACD完全重合，由此启发我们当给出的几何图形中，出现“相等的线段（等边三角形或等腰三角形）且线段有公共端点时”，我们可考虑从“旋转”的视角添加辅助线去探究问题. 简言之，即为：等线段，共顶点，旋转牵手助变换. 下面举例说明.

变式1：将其中的一个等边三角形绕点C旋转，并使两个等边三角形相对位置发生变化，探究图形具有的性质.

例1（2020·贵州·黔东南）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形.

（1）探究发现△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明;若不全等，请说明理由.

（2）拓展运用：若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长.

解析：（1）全等，理由略;

（2）如图2，由（1）得：△BCD ≌△ACE，∴BD=AE，

∵△DCE是等边三角形，∴∠CDE=60°，DE=CD=2，

∵∠ADC=30°，∴∠ADE=∠ADC + ∠CDE=30° + 60°=90°，

在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，

∴AE[ =AD2+DE2=9+4=13]，

∴BD [=13].

变式2：将其中的一个等边三角形绕点C旋转，并使一个等边三角形一边位于另一个等边三角形的内部，并连接剩余两对顶点构造相应图形，探究图形具有的性质.

例2（2020·山东·威海）（1）如图3，△ABC与△ADE都是等邊三角形，直线BD，CE交于点F. 直线BD，AC交于点H. 求∠BFC的度数.

（2）如图4，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN. 将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK. 求线段OK长度的最小值.

解析：观察图3，受例题的启发，根据“SAS”容易证明△BAD ≌△CAE，可以发现△BAD与△CAE是一对绕点A旋转60°的全等三角形，这样便可以将∠ABD转化到∠ACE的位置，在△BFC中，利用三角形内角和定理获取问题答案.

（1）∵△ABC，△ADE是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC=∠ACB，

∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD ≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE.

∵∠ABD + ∠FBC=∠ABC=60°，∴∠ACE + ∠FBC=60°，

∴∠BFC=180° - ∠FBC - ∠ACE - ∠ACB=60°.

（2）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，

∴MN=MK，∠NMK=60°，∴△MNK是等边三角形，

∴MK=MN=NK，∠NMK=∠NKM=∠KNM=60°，

由题意可知点K的位置随着点N的变化而变化，受引例的启发我们可以将△MOK绕点M顺时针旋转60°到△MQN的位置（如图5），便有NQ=OK，故只需求QN的最小值. 易知△OQM是等边三角形，故点Q是定点，显然当QN⊥y轴时，NQ有最小值. 下面给出其解答过程：

如图5，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，

∴△MOK ≌△MQN，∠OMQ=60°，

∴OK=NQ，MO=MQ，

∴△MOQ是等边三角形，

∴∠QOM=60°，∴∠NOQ=30°，

∵OK=NQ，∴当NQ取最小值时，OK有最小值，

由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，

此时，QN'⊥y轴，∠N'OQ=30°，

∴N'Q [=12]OQ [=32]，∴线段OK长度的最小值为[32].

反思：本题通过将△MOK绕点M旋转到△MQN的位置，巧妙把线段OK转化到QN的位置，可知当QN⊥y轴时，NQ有最小值，进而确定线段OK长度的最小值，可见旋转的魅力.