2021年本刊原创题（五）

吕朋 付晓丽

1. 如图1，抛物线[y=ax2-x+c]与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC，直线[y=12x+32]经过点A，交BC于点D，将△COD沿着直线BC翻折得到△CMD，连接OM. 过点O作OE⊥OD交直线AD于点E.

（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式.

（2）求证：四边形OMDE是平行四边形.

（3）在直线AD上是否存在一点P，使得∠OPM = 45°？若存在，请直接写出点P的纵坐标;若不存在，请说明理由.

2. 如圖2，抛物线[y=ax2+bx-3]与直线BD交于B [43，0]，D（-4，-4）两点，与y轴交于点C，点P是直线BD下方抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，交直线BD于点E，连接PD.

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）连接DF，设△DEF的面积为S1，△PDE的面积为S2，当S1 = S2时，求点P的坐标.

（3）在（2）的条件下，若直线BD与y轴交于点G，连接FG，以点F为圆心，FG长为半径画圆，点M为⊙F上一动点，连接CM，DM，当点M运动到某一位置时，使得CM + [12]DM有最小值，请直接写出这个最小值.