寻找勾股数组的历程

赵国瑞

勾股定理反映了各数之间存在着的一种关系——x2+y2=z2，历史上称它为勾股方程。古人很早就知道32+42=52，即3，4，5满足这个方程。后来陆续发现的还有5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41，……这些三个一组满足勾股方程的数就称为“勾股数组”。

古代很多数学家都曾提出过勾股数组的计算公式。

上述的每种表达式都可以写出无数组勾股数，但都不能写出所有的勾股数组。例如，不能写出（8，15，17）这组勾股数，因为在毕达哥拉斯的表达式所得的勾股数中，总有两个相邻的数（b，c相邻），而在柏拉图的表达式中，总有两个数的差等于2（c-b=2）。

这是大家熟悉且常用的表达式，利用丢番图的表达式所得的勾股数组，仍然不能算出所有的勾股数组，例如“9，12，15”这组勾股数就不包含在其中。

值得骄傲的是，欧几里得的勾股数组表达式并不比丢番图的勾股数组表达式逊色。因为只要在欧几里得的勾股数组表达式中，令p=2m2，q=2n2就得到丢番图的勾股数组表达式。但是在欧几里得的勾股数组表达式中，令p=27，q=3，所得的一组勾股数组（9，12，15）是不可能从丢番图的勾股数组表达式中直接获得的，从这一点上说，欧几里得的勾股数组表达式要比丢番图的勾股数组表达式优越。