借助已有经验 解决新型函数

杨根生

为了考查考生的創新意识，近年来中考中出现了一些运用已有经验解决超出初中数学知识范围的函数问题，解决这类问题的关键是要充分联想学习函数时的经验. 现举例说明，供同学们参考.

例1（2020·湖南·郴州）为了探索函数y = x + [1x]（x>0）的图象与性质，我们参照之前学习函数的过程与方法.

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量[x]的取值为横坐标，以相应的函数值[y]为纵坐标，描出相应的点，如图1所示.

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象.

（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：①若[0<x1<x2≤1]，则[y1] [y2];若1

（3）某农户要建造一个如图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为[1]平方米，深为[1]米.已知底面造价为[1]万元/平方米，侧面造价为[0.5]万元/平方米，设水池底面一边的长为[x]米，水池总造价为[y]万元.

①请写出[y]与[x]的函数关系式;

②若该农户预算不超过[3.5]万元，则水池底面一边的长[x]应控制在什么范围内？

解：（1）函数图象如图3所示.

（2）>，<，=.

（3）①由题意得y=1 × 1 + [x+1x] × 2 × 1 × 0.5 = 1 + x + [1x]（x>0）;

②由题意得1 + x + [1x] ≤ 3.5，即x + [1x] ≤ 2.5. 设y1 = x + [1x]，y2 = 2.5，

在图3中作出直线y2 = 2.5，观察图象，借助于表格可知当[12] ≤ x ≤ 2时，y1 ≤ y2，∴水池底面一边的长x应控制在[12] ≤ x ≤ 2的范围内.

点评：本题中的函数y = x + [1x]（x > 0）不属于我们学习过的三种函数，但我们通过运用研究函数的一般经验画出函数图象、观察图象分析特征，顺利解决了问题.

例2（2020·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程. 请结合已有的学习经验，画出函数[y=-12x2+2]的图象并探究该函数的相关性质.

（1）列表，写出表中[a]，[b]的值：[a=] ，[b=] . 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

（2）下列关于该函数性质的结论正确的是 .

①函数[y=-12x2+2]的图象关于y轴对称;②当x = 0时，函数[y=-12x2+2]有最小值，最小值为-6;③在自变量的取值范围内函数[y]的值随自变量[x]的增大而减小.

（3）已知函数[y=-23x-103]的图象如图4所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式[-12x2+2<-23x-103]的解集.

解：（1）把x=-3和x = 0分别代入y=-[12x2+2]，

得a=-[ 1211]，b=-6，画出函数的图象如图5.

（2）观察函数图象可知：①该函数图象关于y轴对称，故①正确;由函数图象的最低点可知，当[x=0]时，函数[y=-12x2+2]有最小值-6，故②正确;当x<0时y随x的增大而减小，当x>0时y随x的增大而增大，故③错误. 故填①②.

（3）由图象可知：不等式-[ 12x2+2]<-[23x-103]的解集为x<-4或-2

点评：解决这类问题，须熟知研究一般函数图象与性质的过程与方法，正确用描点法画出函数图象，会观察图象分析特征，善于将求不等式解集的问题转化为函数值的大小比较，进而通过观察函数图象的位置，由自变量的取值范围得到不等式的解集.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校）