“旋转”中的最值问题

文 王春玲

（作者单位：陕西师范大学出版总社）

一、旋转中线段的最值

例1如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE、AG。若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为______。

图1

【解析】由△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点我们可以知道等边三角形ABC的边长是6，所以正方形DEFG的边长也为6。将正方形DEFG绕点D旋转一周，则点E在以点D为圆心，6为半径的圆上旋转一周，显然，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上（如图2，此时AD+AE=DE）时，AE取最小值，此时△ADG是直角三角形。要求AG的长，已经有了DG的长，则必须求出AD的长。过点A作AM⊥BC于M，由已知得DC=4，得BC=BD+DC=6，由等边三角形的性质得AB=AC=BC=6，所以DM=BM-BD=1。在Rt△ABM中，由勾股定理得出进而Rt△ADM中，由勾股定理得在 Rt△ADG中，由勾股定理即可得AG=8。故答案为8。

图2

【点评】本题考查了旋转的性质。正方形DEFG绕点D旋转一周，讨论AE的最小值，首先要能发现线段AE中端点A是定点，端点E是动点，而动点E是在以点D为圆心，6为半径的圆上运动一周。发现了端点E的运动路径，则问题不难解决，运用相关的知识（正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及线段最小值问题等）即可解决。由旋转发现圆，是解决问题的关键突破口。

二、旋转中角的最值

例2如图3，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=5，AE=AF=4，连接BF、DE。若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE=______。

图3

【解析】我们先明确条件：正方形ABCD是确定的，△AEF是等腰直角三角形，它是绕直角顶点A旋转的。在Rt△AEF绕点A旋转的过程中，∠ABF是变化的，但变化中有不变的，那就是边BA是不变的，变化的是点F。例1告诉我们，由旋转联想到圆，动点F的运动路径就是在以点A为圆心，4为半径的圆上，由此立即发现：当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，如图4、图5。本题也就是当BF⊥AF时，求△ADE的面积。已知AE=4，则过点D作DH⊥AE于H，问题转化为求高DH的长。观察图形，我们可以发现：△ADH≌△ABF，DH=BF，而在Rt△ABF中，AB=5，AF=4，利用勾股定理可得BF=3，因此问题进一步转化为探索△ADH≌△ABF。

∵∠EAF=90°，

∴∠HAF=90°，

又∵∠BAD=90°，

∴∠DAH=∠BAF。

图4

图5

在△ADH和△ABF中，

故答案为6。

【点评】本题同样考查旋转的性质。由旋转发现圆，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，这是解决问题的关键突破口。