“旋转型”相似在解题中的应用

徐长春

旋转和相似是初中数学图形变换的重要内容，两个知识点经常同时出现在综合题中，称为“旋转型相似”.这类问题中，图形在变，旋转角度在变，对应点的连线的长度也在变，具有一定的难度.解题思路为：寻找变换规律，以不变应万变.下面举例说明，希望能为同学们提供帮助.

例1（2020·广东·广州）如图1，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则EF·ED的值为     .

分析：根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，然后根据相似三角形的性质即可得解.

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠ADB=45°，

∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，

∴∠EAF=∠BAC=45° = ∠EDA，

∵∠AEF=∠DEA，

∴△AEF∽△DEA，

∴[AEDE=EFAE]，

∴EF·ED=AE2，

∵AE=4，

∴EF·ED = 16.

故填16.

点评：解题关键是抓住旋转中边和角不变这一重要性质，从而得到对应边成比例、对应角相等，进而利用两边对应成比例及其夹角相等来证明两个三角形相似.

例2（2020·沈阳）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC. 如图2，当α=120°时，求PA和DC的数量关系.

分析：通过证明△CBD∽△ABP，可得[CDPA=BCAB=3].

解：∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120°，

∴由勾股定理可得BC=[3]BA，BD = [3]BP，

∴[BCBA=BDBP=3]，

又可得∠ABC=∠PBD=30°，

∴∠ABP=∠CBD，

∴△CBD∽△ABP，

∴[CDPA=BCAB=3]，

∴CD=[3]PA.

點评：通过旋转发现相等的角和成比例的对应边是解题关键.

例3（2020·湖北·十堰）如图3，已知△ABC ≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F. 猜想：线段AF与EF的数量关系为       .

分析：先判断出△CBD∽△ABE，得出∠DCB=∠EAB，进而判断出△ADF∽△CDB，△ADC∽△FDB，得出∠ACD=∠ABF，即可得出结论.

解：如图3，连接BF，

由已知得∠CBD=∠ABE，CB=BD，AB=BE，∴[CBAB=BDBE]，

∴△CBD∽△ABE，∴∠DCB=∠EAB，

∵∠ADF=∠CDB，∴△ADF∽△CDB，

∴[ADDC=DFDB]，∴[ADDF=DCDB]，

∵∠ADC=∠FDB，∴△ADC∽△FDB，

∴∠ACD=∠ABF，

∵∠ACD + ∠DCB=90°，

∴∠EAB + ∠ABF=90°，

∴∠AFB=90°，∴BF⊥AE，

∵AB=BE，BF⊥AE，∴AF=EF.

故填AF = EF.

点评：解题关键是由已知发现图中存在的旋转型相似三角形，从而为证二次相似创造条件.

综上所述，解决旋转型相似问题的思路就是寻找变换规律，抓住旋转前后的不变量（旋转前后的旋转角、线段等），从而寻找相似所需要的角相等或对应边成比例等条件.