“线段关系”疑无路 “图形变换”又一村

文 赵 军（特级教师）

（作者单位：江苏省东台市新街镇中学）

平移、折叠和旋转是初中数学中的三大基本变换。同学们如果在学习中灵活用好这三种变换，往往能化难为易。下面老师以图形变换中线段之间的关系为例，谈谈这三种变换方法在解题中的应用。

一、平移变换

例1如图1，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC=60°，则AC+BD与AB的大小关系是（ ）。

A.AC+BD＜ABB.AC+BD＞AB

C.AC+BD≥ABD.AC+BD≤AB

图1

【思路分析】题目给出AB=CD和∠AOC=60°，我们不难发现条件比较分散，且容易联想“等腰+60°”得到等边三角形。但如何将条件中的“AB=CD”和“∠AOC=60°”放到同一个三角形中呢？我们可以考虑通过对线段平移将条件集中，并在某一个三角形中来判断AC+BD与AB的大小关系。

如图2，将线段AB平移至CE（即过点C作CE∥AB，且使CE=AB，连接BE），得∠ECD=∠AOC=60°，连接DE可得等边△CDE、▱ABEC，从而将AC转化为BE，AB转化为CE再转化为DE，最终在△BDE中，得到BE+BD＞DE，特别地，当点D、B、E共线时BE+BD=DE，所以AC+BD≥AB，故选C。

图2

【归纳反思】我们将分散的条件通过平移得以集中，形成合力，使得条件的使用更具有“可用性”。本题中将AB平移至CE的同时，实际上AC也平移到了BE。两次平移将分散的三条线段AC、BD、AB得以集中在同一个三角形中，为确定三者关系奠定基础。

【变换思路】如图3，如果平移线段CD至AE，使点C与点A重合，其他条件不变，你能证明AC+BD≥AB吗？

图3

二、折叠变换

例2如图4，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求证：BC=CD。

图4

【思路分析】由AC平分∠BAD可知，沿AC折叠，可使射线AD与射线AB重合。如图5，若将AD折叠至AB边上，点D落在点E处，此时，CD=CE、∠D=∠AEC，由∠AEC+∠CEB=180°，∠B+∠D=180°，得∠CEB=∠B，所以BC=CE，最后等量代换得BC=CD。

图5

【归纳反思】折叠变换的解题思路是研究翻折前与翻折后的变化，尤其是抓住翻折过程中的不变量——图形全等，从而带来线段相等等几何元素的关系。从条件出发，我们还可以考虑过点C分别作AB、AD边的垂线（通过折叠形成对称），运用角平分线定理并通过证明两个直角三角形全等得到结论。

【变换思路】如图6，若将AB折叠至AD边上，使点B落在AD延长线上的点F处，你还能证得结论吗？

图6

三、旋转变换

例3如图7，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AB=BC，试 探究：AD、BD、CD之间的数量关系。

图7

【思路分析】由条件中的∠ABC=60°和AB=BC可知：BA绕点B顺时针旋转60°与BC重合。由∠ABC=60°，∠ADC=30°可知，在四边形ABCD中，∠A+∠C=270°。如图8，若将BA绕点B顺时针旋转60°的同时，将△ABD绕点B旋转至△CBE，则△BCE≌△BAD。此时可得BD=BE、∠A=∠BCE，所以∠BCE+∠BCD=270°，故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°证得△BDE是等边三角形，于是将BD转化为ED。由△BCE≌△BAD能将AD转化为CE，在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，最后得到CD2+AD2=BD2。

图8

【归纳反思】用旋转变换解决问题的前提条件是：存在相等的线段，且通常相等的线段有一个公共点。我们可以绕该点旋转并使相等的线段重合，在此基础上带动图形的其他部分一起旋转，将分散的条件集中到某一图形中，以便于问题的解决。

【变换思路】既然能将BA绕点B顺时针方向旋转60°与BC重合，那么，能否反过来按逆时针方向旋转呢？如图9，若将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAF，连接DF，你能证明三者之间的关系吗？

图9

在探究线段之间关系的过程中，当我们面对问题，陷入困境的时候，如果能选准图形变换的方法，将分散的条件相对集中（如集中到某一个三角形中），往往能达到柳暗花明又一村的效果。