思想在前 计算在后

文 张 锋（特级教师）

数学之所以有生命力，就在于它有趣；数学之所以有趣，就在于它对思维的启迪。概率统计中的问题同样也是如此。下面我们一起来看两个典型的数学思想在概率题中的应用。

一、方程思想

方程思想，就是利用问题中已知量与未知量之间的等量关系列出方程，从而得以解决问题的一种思想方法。与概率有关的计算问题，有时可以通过设未知数，根据概率的定义列出方程来解决。

例1在一个不透明的袋子中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同。现再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球混合在一起，从袋中随机摸出一个是红球的概率为-请求出后来放入袋中的红球的个数。

【分析】原来口袋中有10个球，其中红球5个，设再往口袋中放入x个红球，则现在红球数为（x+5）个，球的总数为（x+10）个。根据概率的意义，红球个数与球总个数的比值等于摸到红球的概率列出方程，解方程便可求出后来放入口袋中的红球个数。

解：设放入x个红球，由题意得，解得x=5。经检验，x=5是原方程的根，且符合题意。

【小结】本题通过设红球的个数，根据等可能性概率的计算公式列出方程，体现了方程思想在解决概率问题中的应用。

二、数形结合思想

所谓数形结合思想，就是在研究过程中，把“数”和“形”结合起来，使隐蔽的问题“明显”化，抽象的问题“直观”化，复杂的问题“简单”化的一种解题思路。同学们在遇到有关图形的概率计算时，应注意运用数形结合思想，对于涉及两步或两步以上的随机事件的概率问题，可以画树状图（或列表）进行求解。

例2如图1，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边中点，随机向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是________。

图1

【分析】∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边中点，易证得四边形EFGH是矩形，且∴四边形EFGH的面积为。

答案：。

【小结】解决本题的关键是先证得顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，再借助三角形中位线找到矩形的边长与菱形对角线的关系，进而找到矩形面积与菱形面积的关系，最后计算面积比求得概率。

小试牛刀

1.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个。

（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A。请完成下列表格：

事件A m的值必然事件 随机事件

（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个同样的黑球并摇匀，若随机摸出1个球是黑球的概率等于，求m的值。

2.如图2，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向平行四边形ABCD内部投掷飞镖（每次都落在内部，且落在内部的任何一处的机会均等）。则飞镖恰好落在阴影区域的概率为________。

答案：1.（1）4，2或3；（2）2。。

图2