“共顶点旋转”的等边三角形

栾长伟

旋转变换是初中几何的一种常见变换，下面以等边三角形为背景，介绍如何利用旋转变换破解几何问题.

例 等边三角形ABC中，∠BDC = 30°，A，D在BC同侧，求证AD  = AB.

分析：我们知道，等边三角形三边是相等的，所以大部分等边三角形的问题都可以利用旋转变换来解决：首先选取等边三角形的一个顶点为旋转中心，再将有公共顶点的两条边分别放到两个三角形中，最后按照顺时针或者逆时针的方向旋转60°.

解法1：以B為旋转中心，将BC放到△CBD中，绕点B逆时针旋转60°.

如图1，作∠ABE = ∠CBD，截取BE = BD，连接ED，EA，

∴△EBD是等边三角形，∴△ABE ≌ △CBD，

∴∠BEA = ∠BDC = 30°，∴∠DEA = 30°，

∴△ABE ≌ △ADE，∴AB = AD.

解法2：以B为旋转中心，将BA放到△ABD中，绕点B顺时针旋转60°.

如图2，作∠CBE = ∠ABD，截取BE = BD，连接ED，EC，

∴△EBD是等边三角形，

∴△ABD ≌ △CBE，∴CE = AD，

∵∠BDC = ∠EDC = 30°，∴△BDC ≌ △EDC，

∴BC = CE，∴BC = AD，∴AB = AD.

解法3：以C为旋转中心，将BC放到△CBD中，绕点C顺时针旋转60°.

如图3，作∠ACE = ∠BCD，截取CE = CD，连接ED，EA，

∴△CDE是等边三角形，

∴△BCD ≌ △ACE，

∴∠BDC = ∠AEC = 30°，

∴∠CEA = ∠DEA = 30°，

∴△ACE ≌ △ADE，

∴AD = AC = AB.

解法4：以C为旋转中心，将CD放到△CAD中，绕点C逆时针旋转60°.

如图4，作∠BCE = ∠ACD，截取CE = CD，连接ED，EB，

∴△CDE是等边三角形，

∴△ACD ≌ △BCE，∴BE = AD，

∵∠EDB = ∠CDB = 30°，∴△EDB ≌ △CDB，

∴BE = BC，∴BC = AD，∴AB = AD.

解法5：以A为旋转中心，将AB放到△ABD中，绕点A逆时针旋转60°.

如图5，作∠CAE = ∠BAD，截取AE = AD，连接ED，EC，设EC交BD于H，

∴△EAD是等边三角形，

∴△ABD ≌ △ACE，

∴BD = CE，∠AEC = ∠ADB，

可得∠EHD = ∠EAD = 60°，

∵∠BDC = 30°，∴∠HCD = 30°，

∴△BDC ≌ △ECD，∴DE = BC，

∴AB = AD.

解法6：以A为旋转中心，将AC放到△ACD中，绕点A顺时针旋转60°.

如图6，作∠BAE = ∠CAD，截取AE = AD，连接ED，EB，延长BE，DC交于点H，

∴△EAD是等边三角形，

∴△ABE ≌ △ACD，

∴BE = CD，∠ADC ≌ ∠AEB，

∴四边形AEHD是对角互补四边形，

∴∠BHD + ∠EAD = 180°，

∴∠BHD = 120°，

∵∠BDC = 30°，∴∠HBD = 30°，

∴△BDE ≌ △DBC，∴DE = BC，

∴AB = AD.

解法7：利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半.

如图7，取BD中点N，连接AN，过点B作BM⊥DC交DC延长线于M，

∵∠BDC = 30°，

∴BM = [12BD] = BN，∠MBD = 60°，

又可得∠ABN = ∠CBM，

∴△ABN ≌ △CBM，

∴AN⊥BD，

∴AB = AD.

综上所述，由于等边三角形三边相等，且相等的边有公共端点，所以在解决等边三角形问题时，我们通常“首选旋转”，即以等边三角形的三个顶点为旋转中心，以60°为旋转角，将相等的边放到合适的三角形中顺时针或逆时针进行旋转，从而达到转移线段或者转移角的目的.

（作者单位：大连市甘井子区教师进修学校）