集合论
- 实在论视角下的大基数
= κ。是当代集合论研究中的一个重要领域。对大基数的研究开始于豪斯道夫（F.Hausdorff）对正则的极限基数的研究，他发现这样的基数必须满足κ=ℵκ，因此是直观上相当“大”的基数；又因为“ZFC+存在这样的基数”能证明ZFC一致，故而其一致性强度比ZFC 更强。2大基数有时并不指其为很“大”的一个基数，而单指它的一致性强度很强，例如0♯。我们说大基数A 比B 强，若在ZFC+A 中能证明ZFC+B 一致。随着大基数理论的发展，大基数根据一致性强度形成了
逻辑学研究 2023年2期2023-05-22
- 《开天辟地：宇宙演化理论》
来又有了康托的集合论，数学家们十分兴奋激动，认为数学第一次有了“基础牢靠”的理论。然而，当初康托的集合论对“集合”的定义太原始了，以为把任何一堆东西放在一起，只要它们具有某种简单定义的相同性质，再加以数学抽象后，就可以叫作“集合”了。没想到如此“朴素”的想法也会导致许多悖论，罗素悖论就是其中之一。因此，在这些悖论解决之后，人们便将康托原来的理论称为“朴素集合论”。实际上，集合可以分为在逻辑上不相同的两大类，一类（A）可以包括集合自身，另一类（B）不能包括自
全国新书目 2022年7期2022-09-21
- 解决集合论悖论的雷歇尔方案
——兼论解决集合论悖论的方法论
r）创立的朴素集合论作为数学的基础，其在数学发展中作用重大。但在19 世纪末20 世纪初，一些悖论却先后在其中被发现，主要包括布拉里-福蒂（C.Burali-Forti）的最大序数悖论、康托尔的最大基数悖论和罗素（B.Russell）提出的罗素悖论。学界一般将它们统称为集合论悖论。由于集合论悖论的出现直接导致了人们对集合论作为数学基础的可靠性质疑，进而引发了数学基础危机。因此，解决悖论成为了集合论学家、数学哲学家以及逻辑学家的共同诉求。霍斯顿（L.Hors
逻辑学研究 2022年4期2022-04-06
- 哥德尔纲领的实现能支持数学实在论吗？
统问题对通常的集合论公理系统ZFC的独立性，并提出了一个解决它（以及其他类似的独立性问题）的研究方略，即寻找新公理加强ZFC，从而确定连续统基数的大小，后人称之为“哥德尔纲领”（Gödel’s Program）[1]。这个纲领指引了20 世纪70 年代以来集合论中的一大批实践，特别是以武丁（Hugh Woodin）、斯蒂尔（John Steel）等人为代表的集合论加州学派的一系列重要工作和成果。在这些成果的激励下，今天有很多人甚至认为，“集合论已经发展到了
科学经济社会 2021年2期2022-01-01
- 也论形式主义与多宇宙观
等人关于公理化集合论的形式主义，形式主义在现代数学哲学的讨论中一直在场。然而，自从哥德尔的两个不完全性定理的发现揭示希尔伯特形式主义原版的研究纲领不可实现，形式主义在严肃的数学哲学讨论中始终处于相对弱势的地位。尽管如此，形式主义对数学工作者仍然有着强烈的吸引力，尽管这一吸引力主要来自可以回避进一步的追问。正如Reuben Hersh写道：“典型的‘数学工作者’是工作日的柏拉图主义者，又是星期日的形式主义者。”[1]集合论多宇宙观（set-theoretic
科学经济社会 2021年2期2021-07-13
- 集合论公理的选择：两种路径
上个世纪公理化集合论发展起来后，集合论的ZFC系统已经得到了普遍认可。与此同时，关于集合论新公理的讨论也一直不曾停止①诚然，一些数学家认为数学不需要新公理，但这个问题不在本文讨论的范围内。本文要讨论的是，目前集合论新公理讨论中的几种选项与它们各自的理由。。哥德尔在其《什么是康托的连续统假设》一文中提到：“康托的猜想必然或者为真或者为假，从今日已知公理得到的不可判定性仅能表明，这些公理没有包含对这一事实（this reality）的完全描述……集合论公理绝没
科学经济社会 2021年2期2021-07-13
- 模糊集合论对罗素悖论的解决
现引起了人们对集合论作为数学基础的怀疑，甚至导致了第三次数学危机。一切后续的集合论研究都不能回避这个悖论，于是出现了ZF集合论(Zermelo-Fraenkel set theory)和NBG集合论(von Neumann-Bernays-Gödel set tehroy)等公理化集合论来解决悖论，它们都对朴素集合论作出了修正。ZF集合论给出的方案是将能够导致悖论的概括原则限制为分离公理，即将“如果φ(x)是一个性质，那么就存在一个集合{x|φ(x)}”修
重庆理工大学学报(社会科学) 2021年6期2021-07-09
- 数学基础文化素质课程教学探索
然[摘 要] 集合论知识在数学体系中具有基础性地位，是整个数学的基础。对各个专业的学生进行数学基础方面的教学，对于提高学生的文化素质具有重要意义。通过设计相应的课程教学策略，培养学生应用集合论的基本原理思考和分析所从事专业当中涉及的问题，并能够用集合论知识中所蕴含的逻辑思维方法提升工程实际中数学描述和表达的深度与广度。[关键词] 数学基础;集合论;文化素质;逻辑思维;教学实践[基金项目] 2020年度北京理工大学教改重点项目“新形势下信息与通信工程研究生教
教育教学论坛 2021年17期2021-06-25
- 模态逻辑的集合论语义与互模拟不变性
介绍模态逻辑的集合论语义，我们在集合传递闭包上解释模态语言。第二部分定义从模态语言到集合论语言的翻译，引入集合传递闭包之间的互模拟的概念。第三部分讨论集合论语言与一阶关系语言之间的一些联系，这是第四部分证明刻画定理的基础。第四部分，将证明集合论语义下的刻画定理，即一个一阶集合论公式等价于某个模态公式的集合论翻译当且仅当它在集合互模拟关系下不变。也就是，模态语言是一阶集合论语言的集合互模拟不变片段，它是对van Benthem 刻画定理的推广。1 模态逻辑的
逻辑学研究 2021年1期2021-04-22
- 罗素悖论与罗素定理
0)一个幽灵在集合论中徘徊，这个幽灵就是罗素悖论.罗素悖论可以用以下公式表示：∃y∀x(x∈y↔x∉x)从这个公式来看，罗素悖论来自于集合论的一个常用语句.这个常用语句就是用属于符号∈构成的语句.由于集合论的所有表达式都离不开这个常用语句，所以集合论的所有表达式都会无一例外地受到罗素悖论的困扰.有人认为，子集公理能够从集合论中排除罗素悖论.子集公理可以用以下公式表示：∀x∃y∀z(x∈y↔x∈z∧p(x))但是，即使有了子集公理，罗素悖论仍然无处不在.因为
数理化解题研究 2021年12期2021-01-31
- 结构主义是一种有效的数学哲学吗？
构主义起源于对集合论基础主义（set-theoretic foundationalist position）的批评。以一阶逻辑为代表的现代谓词逻辑起源于弗雷格（G.Frege）为数学寻找基础的努力。而策梅洛-弗兰克尔公理化集合论（Zermelo-Fraenkel set theory），在某种意义上，起源于弗雷格逻辑主义的灾难——罗素悖论。自那以后，公理化集合论被广泛接受为数学的基础。人们是在下述意义上称公理化集合论是数学的基础的。首先，几乎所有的数学概念
逻辑学研究 2020年4期2020-12-21
- 无穷小存在的证据与康托集合论的错误
们首先引述康托集合论的两个集合间一一对应的定义如下：康托集合论的两个集合间一一对应的定义：如果存在函数y=f(x)为集合A→B的双射函数，则集合A和B为一一对应的关系。康托集合论的基本观点是一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等。而这个观点正是康托集合论的一个定理，本文称它为康托集合论的基本定理，现在我们把这个定理及其证明引述如下：康托集合论的基本定理：令a，b为实数，且a＜b，则[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。证明：
数学大世界 2020年4期2020-12-18
- 论“民族精神家园”与“人类命运共同体”文艺价值互约
，要么体现为“集合论”，但是在全球化时代，面对前所未有的机遇和挑战，一种基于“文明正义”和“命运共同体”的“互约论”观念“脱颖而出”。构造“人类命运共同体”作为全球治理的“中国方案”，必然要求精神建构作为庇护和支撑，进而必然要求文艺作为民族和人类生存的重要精神意识形式，在整个建构事态中最大限度地展现其社会进步驱动能量。问题的复杂性在于，传统世界格局所显形的垂直民族结构与文明形态的非平等关系，导致民族精神建构与人类精神建构诸多知识冲突与意义紧张，因而也就延及
文艺论坛 2020年1期2020-07-14
- 集合论多宇宙观与形式主义
百多年前的公理集合论有着两重身份（[22]）：其一，它是数理逻辑的四大分支之一1数理逻辑的另外三个主要分支是模型论、递归论以及证明论。，因此也是数学的一个专门领域；其二，常规数学所研究的对象可以被表示为各种集合，所使用到的方法以及预设也可以溯源到集合论公理，概言之，许多数学命题可以被视为各种集合论公理系统2最典型的集合论公理系统是ZFC，此外，在研究中还会涉及到ZFC 的各种子系统、扩张系统，甚至与ZFC 不一致的系统，比如ZF+AD。中的定理，因此主流的
逻辑学研究 2020年5期2020-04-13
- 康托和柯西究竟谁对
们首先引述康托集合论的两个集合间一一对应的定义如下：定义 如果存在函数y=f(x)为集合A →B 的双射函数，那么集合A 和B 为一一对应的关系。前面已经指出，康托集合论的基本观点是，一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等，而这正是康托集合论的一个定理，本文称这个定理为康托集合论的基本定理。现在，我们把这个定理及其证明引述如下：康托集合论基本定理 令a，b 为实数，且a＜b，则[a，b] 的基数等于[0，1]的基数，即等于c。证明：令
数学大世界 2020年2期2020-03-07
- 数学确定性的丧失的原因
思想性的到来。集合论中每一个超无限的元素都对应于有一个超无限的子集合的元素，它是无始无终的。数学元素从有限到无限，无可争议。但是，到无限以外却难以理解和想像，特别是延续的过程还是像从有限到无限一样。从有限到无限的过程是自然的和连续的，无穷无尽的元素一点一点被归纳到其中，即使再多也无所谓。很难理解和想像同样的过程在无限之上还能够再继续下去，并以超越无限的形式展现在我们的面前。我们相信能够继续这一过程的理由是存在子集合的元素不能够和原集合元素建立一一对应的关系
科教导刊·电子版 2020年22期2020-01-10
- 论“无穷事物”的定量认知（Ⅷ）
——新、旧无穷集合论和数学分析基础理论中的三个不同特征
析理论”和“新集合论”的产生——我们将以经典无穷理论体系为基础的“第一、二、三代数学分析理论”（标准分析前的数学分析、标准分析、非标准分析）称之为“现有经典数学分析理论（旧数学分析理论）”，将以新无穷理论体系为基础的新数学分析理论称之为“第四代数学分析理论”[1-6]，将以经典无穷理论体系为基础的现有经典无穷集合论称之为“第一代无穷集合论（旧无穷集合论）”，将以新无穷理论体系为基础的新无穷集合论称之为“第二代无穷集合论”[7-13].1 “半阿基米德性”研
喀什大学学报 2020年3期2020-01-09
- 无穷性的悖论与公理集合论思想述略
列著述，建立了集合论，他首次引进无穷集合的概念，并证明了实数集合的不可数性，创立“超穷数”理论，提出了自然数集的基数与实数集基数之间不存在中间基数的“连续统假设”；为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。证明了一般的N维空间可以与直线建立一一对应。这一结果连他自己也感到莫名惊诧，他说：“我发现了它，但简直不敢相信”。康托尔深刻揭示了无穷的本质特性，从根本上改造了数学的结构，促进了数学新分支的建立和发展。康托尔
昭通学院学报 2019年5期2020-01-08
- 因为发现了不同种类的无穷大，他进了精神病院
的一个核心——集合论打下了基础。不过，当时的数学家们各种不适应无穷大新品种的概念，他们各种嘲笑康托尔。同时期的数学家有多么不理解他的研究呢？比如，法国最伟大的数学家之一庞加莱这样评价康托尔的集合论：“后世的人会把集合论看做一个人曾经生过的一场病。”又比如，1881年哈勒·维腾贝格大学（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的数学家爱德华·海涅（Eduard Heine）去世后，康托尔推荐了三个数学家顶替他的位子
视野 2019年19期2019-10-18
- 根据微积分理论来认识康托集合论的错误
会 张喜安康托集合论的基本观点是：一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等。这个观点正是康托集合论的一个定理，现在我们称这个定理为康托集合论的基本定理，为了论述得方便，我们把这个定理及其证明引述如下：康托集合论的基本定理 令a，b为实数，并且a＜b，则[a，b]的基数等于[0，1]的基数。证明：令y=f(x)=a+(b-a)x，显然y=f(x)为[0，1]→[a，b]的双射函数，这就证明了[a，b]的基数等于[0，1]的基数。这个定理表
数学大世界 2019年23期2019-08-30
- 论集合论的模型
。1908年，集合论第一次被策梅洛（E.Zermelo）公理化，后经过斯柯伦（T.Skolem）和弗兰克尔（A.Fraenkel）的改进，形成了ZF，在ZF的基础上添加AC，就得到ZFC。公理化集合论ZFC的诞生，使得元数学成为可能，因为所有的数学都能在ZFC中被形式化。元数学即对数学自身的研究。但是根据哥德尔（K.Gödel）的不完全性定理，ZF或ZFC系统是不完全的，因此，对于我们抱有疑虑的公理AC或假设GCH，它们在形式系统ZF或ZFC中的证明或证伪
逻辑学研究 2019年1期2019-04-01
- 数学悖论发展概述
罗素发现的一个集合论悖论。罗素在解决集合论问题时将集合分为两种：第一种是自身元素的集合，第二种集合为不是自身元素的集合。接下来，假设S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x∣x ∈S}”。则S是否包含于S？如果假设S包含于S，则不符合题中x ∈S，所以S包含于S不成立；假设S不包含于S，于是就符合x ∈S，可推出S包含于S，但因为假设中S不包含于S，与S包含于S矛盾，所以假设也不成立。在悖论提出后，人们纷纷寻找着解决的办法，有些人希望对康托尔的集合论
中国校外教育 2019年5期2019-01-31
- 康托集合论的错误的证据
张喜安一、康托集合论的错误的直接证据康托集合论的基本观点为一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等，这个观点即为康托集合论的一个定理，为了指出康托集合论的错误的直接证据，现在将康托集合论的这个定理及其证明引述如下：定理 令a，b为实数，且a＜b，则[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。证明 令 f（x）=a+（b-a）x，显然 f为 [0，1]→[a，b]的一个双射函数，这就证明了[a，b]的基数也是c。康托认为上述定理的证明
数学大世界 2018年20期2018-11-30
- 范畴论对集合论的超越
——“数学基础”研究的比较分析
供了坚固保障。集合论对数学概念的统一解释奠定了其在数学基础研究中的核心地位，范畴论对数学结构的阐释启发了新的基础研究思路，撼动了ZFC*策梅洛-弗兰克尔的公理化集合论(Zermelo-Fraenkel Set Theory)，包含选择公理(AC)时记为ZFC。长期以来的基础定位。那么范畴论数学基础的研究起点是什么？范畴论数学基础具有怎样的研究特点？根据研究性质，范畴论数学基础能否充分地阐释集合论？以这些问题为契机，我们可以分析范畴论数学基础相对于集合论数学
山西大学学报（哲学社会科学版） 2018年2期2018-05-09
- 集合悖论再议
论文,标志着《集合论》的创立。1900年,希尔伯特在国际数学家大会上说,“集合论是人类纯粹智力活动的最高成就之一”。然而,1903年，罗素(英国，1872-1970年)提出一个简明的集合悖论，打破了人们的希望，引发了数学基础新的争论和研究。1908年,策梅洛提出了7条公理组成的集合论体系,称为Z公理系统;1922年,弗兰克尔又加进一条公理,还把公理用符号逻辑表示出来,形成了集合论的ZF公理系统;再后来还有伯奈斯和哥德尔改进的ZFC公理系统。这些系统由于严格
山西广播电视大学学报 2018年3期2018-01-29
- 对充要条件教学的再认知
中学数学第一章集合论可以说是现代数学的基础，有了集合论规范的表述，才有了后来各种数学知识的学习.集合论教学中，子集、交集、并集、全集、补集是集合中最基本的五大要点，形成了集合论的基础.比如：子集关系是运用到各种知识衔接的重要知识.以命题为例：“若p，则q”指的是就是集合论中的子集关系，但是学生在学习中却鲜有将知识串联在一起思考.因此教师教学需要打通这些知识的单一性，形成教学的全方位处理，形成知识的综合理解成为关键.一、概念的认识充要条件的概念在教材中仅仅是
中学数学杂志 2018年1期2018-01-23
- 一种模糊集合论的公理化方法
50)一种模糊集合论的公理化方法李 娜，杨 帆(南开大学 哲学院， 天津 300350)模糊集合论是模糊理论的数学基础，其公理化可以从不同的逻辑语言出发。经典逻辑是较为简洁的一种方法。夏平基于扎德的模糊集概念创立了第一个公理化模糊集合论Za。这个公理化是ZF的。将它扩张为NBG是一种自然的考虑。这样的扩张将作为从非经典逻辑如模糊逻辑出发建立集合论的一个基础。模糊集合论；公理化；NBGAbstract: Fuzzy set theory (FST) is t
重庆理工大学学报(社会科学) 2017年9期2017-10-11
- 对集合论的辩证思考
职业技术学院对集合论的辩证思考赵雁 乐山职业技术学院集合论被认为是20世纪伟大的数学创造，它在近代数学中有重要的地位。从集合的一些基本常识，认识一下初等数学“朴素集合论”的理论基础是不够严密的。从哲学高度来看，对集合论作历史观察，可以帮助我们有更多的思考。无限集 集合论 公理化1 无限集之谜什么是无限集：就是含有无限个元素的集合。无限与无限集不只是数学的课题，同时也是哲学的问题。并长期困扰着哲学家与数学家。它的定义十分简单、明确。但对“无限”的认识哲学家走
数码世界 2017年7期2017-07-25
- 论集合中的元素的确定性、互异性和无序性
基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。若x是集合A的元素，则记作x∈A。一个集合中可以有很多个元素，而这些元素的构成都有一定的特性：确定性、互异性、无序性。1 集合中元素的性质1.1 元素的确定性每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主
数码世界 2017年7期2017-07-25
- 康托集合论为什么是错误的理论
会 张喜安康托集合论为什么是错误的理论四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安康托集合论的基本观点是，一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，或者说部分可以和全体相等，而这个观点正是康托集合论的一个定理的结论。因此，只要我们能够证明康托集合论的上述定理是错误的，那么，我们也就证明了康托集合论是一个错误的理论。本文首先根据客观事实对康托的上述定理提出质疑，然后详细地证明上述康托集合论的定理的证明是错误的，最后我们得出结论，康托集合论是错误的理论。还有一点值
数学大世界 2017年13期2017-02-25
- 理发师悖论
呢？在数学中，集合论的严密性是数学得以“绝对严格”的基础。可罗素悖论恰恰揭示了在集合论中存在着不可避免的矛盾，因此这个悖论动摇了数学 “绝对严格”的基础，引发了数学史上的第三次危机。仿照理发师悖论，你可以设想出许许多多类似的悖论。如：有一个机器人，它只为一切不维修保养自己的机器人进行维修，那么，谁来维修它自己？有一个目录，它只为一切不列入本身的目录编目，那么，这个目录应编入哪个目录？
家教世界·创新阅读 2016年11期2016-12-27
- 整体不一定大于部分
尔创立了著名的集合论。在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击，但不久这一开创性成果就被广大数学家所接受，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。集合论产生后，数学家们以为数学的严格性终于实现了，人们把数学基础理论的不矛盾性归结为集合论的不矛盾性。可是，英国科学家罗素认为集合论是自相矛盾的，没有相容性。这就是著名的罗素悖论，或者说是“集合论”悖论。通俗地讲，我们知道整体大于部分，
初中生学习·低 2016年10期2016-11-25
- 连续统问题与薄实在论
学问题。但通行集合论公理在判定这个问题上的无力使得它衍生出一个相应的哲学问题，即连续统问题有没有意义的问题。对于这后一个，哲学意义上的“连续统问题”，数学哲学家们给出了各种不同的回答，其中尤以哥德尔（Kurt Gödel）所代表的柏拉图主义立场最为有影响。事实上，与此立场密切相关的所谓“哥德尔纲领”（Gödel's Program），在很大程度上塑造了当代集合论的实践。然而不可否认的是，柏拉图主义存在种种困难，最为人熟知的便是关于抽象对象的认识论问题，亦即
逻辑学研究 2016年2期2016-10-09
- 数理逻辑中一个撤消百年的悖论
悖论，igR是集合论中一个由错误前提导致的自相矛盾，它是数学推理中违反逻辑排中原则必然导致荒谬的典型。百年来，它在相关学科中仍在宣传，其实这个所谓悖论百年前已经被策梅洛撤消，这是一段值得反思的历史。1908年，德国数学家策梅洛（E.Zermelo）为集合论基础研究建立一组公理系统，以其中的“划分公理”解释了当时被称为罗素悖论的矛盾的起因，将其排除出集合论研究范畴，从而解除了它给数学和逻辑基础带来的威胁。但此后，对那个所谓的悖论不合事实的宣传在一个世纪中并没
科学 2016年3期2016-05-30
- 数学集合论思想对集体观念研究的借鉴价值
119)数学集合论思想对集体观念研究的借鉴价值蒋万胜，刘璐(陕西师范大学 新闻与传播学院，陕西 西安 710119)数学集合论主要利用集合之间的运算关系来说明物件与集合之间的关系。效仿数学集合论的研究方式，建立个人观念与集体观念的集合，是研究个人观念与集体观念之间关系的新途径。运用集合论思想对集体观念进行研究，有助于从数理的角度揭示集体观念与个人观念之间的关系。集体观念并非个人观念的简单相加，集体观念源于个人观念的扩散与提升。将数学分析方法应用于人文社会
新乡学院学报 2016年5期2016-03-02
- 基于哲学逻辑的集合论研究
基于哲学逻辑的集合论研究李 娜(南开大学哲学院,天津300350)20世纪60年代之后,涌现出了尝试以非经典逻辑为基础逻辑来拯救集合论的热潮。在这一时期,诞生了模态集合论、弗协调集合论、直觉主义集合论等一些基于哲学逻辑的集合理论。模态逻辑是在经典逻辑的基础上增加模态算子形成的一种二阶逻辑,因此,它是一种比经典逻辑强的逻辑。模态集合论相对于公理化集合论是一种加强了基础逻辑的公理化集合论。与ZF公理化集合论用公理限制集合的方法不同,弗协调集合论也是一种改变了集
浙江大学学报(人文社会科学版)预印本 2016年7期2016-01-20
- 如何从集合论观点看待数学教学
韩桂玲摘要：集合论在现代数学的发展中起到了基礎作用，也使几个数学分支统一到一起。集合论贯穿于整个数学从基础数学到高等数学的知识系统中，无论是概念还是方法，集合论都有着不可替代的作用。关键词：集合论数学教学思想方法集合论在数学中有独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，如各种数学理论是建立在集合论的基础上的，（实数理论是奠定在集合论的基础上），各种复杂的数学概念（比如自然数、实数、函数等）都是借助集合定义出来，从这个意义上来讲，集合论可以说是现代数学
学周刊·中旬刊 2015年8期2015-08-15
- 如何从集合论观点看待数学教学
075000）集合论在数学中有独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，如各种数学理论是建立在集合论的基础上的，（实数理论是奠定在集合论的基础上），各种复杂的数学概念（比如自然数、实数、函数等）都是借助集合定义出来，从这个意义上来讲，集合论可以说是现代数学的基础。一、集合论的概念与数学教学中集合概念的关系1874年，康托尔越过“数集”的限制，开始提出“集合”的概念。他对“集合”给出了这样的定义：把若干确定的有区别的（具体的或抽象的）事物合并起来，看作
学周刊 2015年23期2015-08-07
- 整体不一定大于部分
尔创立了著名的集合论。在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。集合论产生后，数学家们以为数学的严格性终于实现了，人们把数学基础理论的不矛盾性归结为集合论的不矛盾性。可是，英国科学家罗素认为集合论是自相矛盾的，没有相容性。这就是著名的罗素悖论，或者说是“集合论”悖论。通俗地讲，我们知道整体大于部分，
初中生之友·中旬刊 2015年6期2015-06-10
- 基于类比与集合论的《金匮要略》篇章分析
基于类比与集合论的《金匮要略》篇章分析吴清荣，贾春华*(北京中医药大学基础医学院，北京 100029)摘要：《金匮要略》记载杂病，采用脏腑辨证法则，将搜集可见及潜在的症状体征，运用援物比类等法，经过分析判断寻求病因真相。条文编排上，系以整体系统性之逻辑类比形式，便利各项病证作异同比较；在治法上，有“同病异治”或“异病同治”之相对运用，俾益于学习指导及临症应用参考。各篇章内容虽集杂病而成，然从其中结构分析，条文之间彼此具备相关从属关系，经过逐条比对之后，可见
吉林中医药 2015年7期2015-04-15
- “文化集合论”:内在矛盾与可能之途
9)一、“文化集合论”的缘起“文化”这种说法在中国古已有之，如“观乎天文，以察时变;观乎人文，以化成天下”，以及“圣人之治天下也，先文德而后武力。凡武之兴，为不服也，文化不改，然后加诛”等。但这里的“文化”指的是“文治教化”，与现代意义上的“文化”并非同一所指。今天所说的“文化”实际上转译自“culture”，其原形是拉丁语的“cultura”，意指“耕作或耕作方式;才能的培养;古迹的维护;人际关系的经营以及宗教仪式”［1］等。真正作为学术概念的“文化”最
文化学刊 2015年1期2015-03-20
- 对集合论公理化方法悖性的审思
41003）对集合论公理化方法悖性的审思王习胜（安徽师范大学政治学院，安徽 芜湖 241003）公理化集合论理论的创立，解决了康托尔素朴集合论因其概括原则的前提预设而导致的一系列悖论。在公理化集合论中人们没有发现新的悖论，学界因此而视其为成功的解悖方案。公理化的本质是重构集合论的演绎系统，演绎方法具有保真性，能够导出可靠知识。公理化集合论的两个准等价的系统却是从相互矛盾的前提建构得来的。如果这两个公理系统导出的结论是可靠的，就说明可靠知识可以由不可靠的公理
井冈山大学学报(社会科学版) 2014年1期2014-04-15
- 是谁把数学推向了深渊？
么康托尔朴素的集合论则几乎把数学推向了深渊。康托尔出生于俄国的圣彼得堡，犹太后裔，后来迁居到德国。在而立之年，他提出了令人高深莫测的无穷大概念，这个无穷大不是微积分里的无穷大，是表述集合元素多少的。集合的概念不需要我多做解释，相信学过一点数学的人都知道。众所周知，有限集存在有多少元素的问题，例如一个班级有多少人？班级的人数成为这个班级的“基数”或“势”，任何有限集都可以数出它的元素来，可如果问自然数有多少？有理数有多少？实数有多少？谁能回答？康托尔的目的就
求知导刊 2014年1期2014-02-24
- 数学存在的语言建构——结构主义的研究范式
分的算术化导致集合论的建立，从而形成数学基础三大学派:逻辑主义、形式主义与直觉主义，进而引发了更为普遍的哲学思潮。以逻辑实证主义为代表的分析哲学运动主张，逻辑是哲学的唯一合法的研究领域，形而上学问题源于语言的误用，没有任何意义而应当从哲学中清除出去，数学哲学成为数学语言的逻辑分析，成为关于数学语言的逻辑句法学与逻辑语义学。20世纪30年代哥德尔不完全性定理的提出，从逻辑上阐明了对于数学语言的逻辑分析无法完全封闭形成自我满足的有限世界，数学语言除了具有逻辑的
重庆理工大学学报(社会科学) 2013年3期2013-08-15
- 单调类定理的一个集合论证明
调类定理的一个集合论证明王小特（陕西能源职业技术学院，咸阳 712000）本文利用集合论中的序数理论和超限归纳法，给出概率测度论中一个集族生成的最小σ代数，最小λ类和最小单调类的具体形式，并给出单调类定理一个直接的证明.单调类定理；集合论；最小σ代数；最小λ类；最小单调类1 引言与预备我们首先介绍概率测度论中的一些概念.定义1.1［1］设Ω为一个集合，C为Ω的一个子集族.①Ω∈C； ②A，B∈C，B⊂A得A－B⊂C； ③An∈C，n≥1，An↑A得A∈C.
大学数学 2012年4期2012-11-02
- 构造性数学与构造集合论
良基集合的经典集合论基础之上的，即公理系统ZFA(ZFC-+AFA)。Rathjen断言 Barwise和 Moss的大部分工作都可以建立在包含非良基集合的构造性全域(constructive universe)的基础上，而不是经典集合全域。也就是说，Barwise和Moss的大部分工作都可以在构造集合论(constructive set theory)的意义下进行。正如公理系统ZFC对应着康托经典数学的形式化一样，构造集合论起源于Myhill的努力，他为
华北水利水电大学学报(社会科学版) 2012年5期2012-07-04
- 非良基公理的本质及其应用
形成新的非良基集合论。这样形成的精确图还是不太合理，考虑图4：（图4）一个严格的但不是同构外延的可达点图（图5）一个同构外延的但非外延的可达点图这是严格的且外延的图。底端的每个结点被一个等于自己的单元素集所装饰，装饰这两个结点的集合似乎应该相等，需要更严格的精确图概念。随着中国城镇住房金融制度的改革，改革开放40年中，住房金融市场逐步衍生、发展和繁荣。纵观改革开放40年，我们不难发现，中国城镇住房金融对开发商获得土地、商品房开发、商品房购买和消费提供了金融
湖北大学学报（哲学社会科学版） 2012年5期2012-06-22
- 集合论观点下的一类恒成立问题的辨析
318020)集合论观点下的一类恒成立问题的辨析●祝敏芝(三门教育局教研室 浙江台州 317100) ●洪秀满(黄岩教育局教研室 浙江台州 318020)集合论是19世纪德国数学家康托(Cantor)创立的，现在已发展为独立的数学分支，其基本概念与方法已渗入到数学的各个领域，成为现代数学的基石.对于含有存在量词的存在性问题与含有全称量词的恒成立问题，本文试用集合论的基本概念与方法对恒成立进行辨析，挖掘这类问题的数学本质，让其思想更深刻，形式更简约.1 问题
中学教研(数学) 2010年1期2010-12-01
- 底层集合论
“什么是集合？集合论的创始人Cantor曾作如下描述： ‘一个集合是我们直觉中或理智中，确定的，互不相同的事物的一个汇集，被设想为一个整体 （单位）’.这些事物叫做这个集合的元素，或者说这些元素属于这个集合，也说这集合包含这些元素.Cantor的描述对人们直观地理解集合概念是很有价值的.例如，它说一个集合的元素是 ‘确定的’，这意味着某个事物是否属于某个集合的元素是 ‘确定的’，某个事物是否属于某个集合是没有丝毫含混余地的；又如，它说一个集合的元素是 ‘互
湖南农业大学学报（自然科学版） 2010年1期2010-06-08
- 矩阵在离散数学中的应用
数的概念,然而集合论和图论是离散数学的范畴,从表面上看没有什么联系,这篇文章把矩阵和关系、关系的复合、关系的幂、关系的性质、关系的闭包以及有向图、图的通路和回路数有机地结合起来,另辟蹊径,打开了思路。矩阵;离散数学;集合论;图论“宇宙间的万物是相通的”,任何事物之间都存在着这样或那样的联系,线性代数与离散数学之间同样存在着相关性。特别是矩阵在集合论和图论中的应用,使得集合论和图论中的某些问题变得容易理解。一、矩阵在集合论中的应用1.关系矩阵设非空有限集A=
长沙民政职业技术学院学报 2010年3期2010-01-05
- 对阿兰·巴迪欧“数学等于本体论”的思考
不但把康托尔的集合论引入哲学中,而且为当代哲学注入了新鲜活力。关键词:本体论 康托尔 集合论 空集 无限中图分类号:O1-0文献标识码:A文章编号:1006-8937(2009)03-0143-01巴迪欧提出一个著名的命题:“数学=本体论”,但是,巴迪欧在这里提及的数学并非一般意义上的数学,这与弗雷格开创的哲学的数学-逻辑学转向并没有太大关联。更准确的说,巴迪欧在这里依靠的是一种特殊的数学范畴——集合论,尤其是康托尔之后的集合论发展的诸多成果。康托尔是德籍
企业技术开发·中旬刊 2009年3期2009-10-12
- 罗素悖论与第三次数学危机
代数学中被称为集合论,其基本概念几乎渗透到数学的所有领域,它的创始人康托尔也因此被誉为20世纪最伟大的数学家之一。既然同学们都学过集合知识,那有个问题要考考大家。假设有一个集合S,它由一切不是自身元素的集合所组成。那么请问,S是否属于S?我们知道,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,如果S属于S,那么根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S就应该属于S。这就是著名的“罗素悖论”,它非常浅显易懂,而且涉及的都是集合论
中学生天地·高中学习版 2009年6期2009-06-02