一种模糊集合论的公理化方法

李 娜，杨 帆

(南开大学 哲学院， 天津 300350)

一种模糊集合论的公理化方法

李 娜，杨 帆

(南开大学 哲学院， 天津 300350)

模糊集合论是模糊理论的数学基础，其公理化可以从不同的逻辑语言出发。经典逻辑是较为简洁的一种方法。夏平基于扎德的模糊集概念创立了第一个公理化模糊集合论Za。这个公理化是ZF的。将它扩张为NBG是一种自然的考虑。这样的扩张将作为从非经典逻辑如模糊逻辑出发建立集合论的一个基础。

模糊集合论；公理化；NBG

Abstract: Fuzzy set theory (FST) is the foundation of fuzzy theory. The axiomatization of FST is almostly based on varieties of logic languages. Classical logic is a concise approach. Chapin gave the first axiomatization of FST named Za based on Zadeh’s concept of fuzzy sets. Za is a ZF-like axiomatization and an extension to NBG shall be discussed naturally. The extension will be a foundation of those constructions of set theory based on non-classical logic, such as fuzzy logic.

Keywords: fuzzy set theory; axiomatization; NBG

模糊集合论是美国工程学家扎德(Zadeh)于1965年创立的[1]，随后发展出了模糊数学理论，并在几十年间取得了巨大进展，现已与工程、计算机等领域密不可分。

对模糊集合论进行公理化研究，能够促进我们更好地把握模糊数学的性质，从而将定理和命题等形式化，夯实模糊数学的理论基础。我们都知道，康托的朴素集合论，正是经过策梅罗(Zermelo)和弗兰克尔(Frankle)等人的公理化形成的ZF系统，才使得集合论能够更为广泛地运用和影响到现代数学中去。同样，从模糊集合论到模糊数学，也需要公理化。

一、公理化的考量

首先对模糊集合论进行公理化的是夏平(Chapin)[2-3]。他考察了扎德的模糊集理论，发现扎德对属于关系∈持有“没有与其在经典集理论中相同作用”的观点。基于此，他从一个属于关系∈出发，构造了一个类似于ZF的理论。

夏平定义一个属于关系∈是一个三元关系∈(x,y,z)，表示x是y的元素，其隶属度至少为z，即[x∈y]≥z。在此基础上，他给出了一系列公理。这些公理有ZF中的外延公理、空集公理、对集公理、并集公理、无穷公理、替换公理、幂集公理、正则公理，以及选择公理和其他3个他单独给出的公理：

(1)关系公理，保证了∈接受y中x的隶属度，也接受所有“更小”的值，即如果x是y的元素的程度至少为z且w比z“更小”(包含于)，那么x是y的元素的程度也至少为w；

(2)非平凡公理，说明了可能的隶属度并非仅有空集。

(3)积公理，ZF理论中的笛卡尔积可以定义出来，而在这个理论中所有序对都是标准的，就不能通过笛卡尔积是PP(x∪y)的子集来得到。

值得注意的是，一些关于集合存在的公理是以不同强弱度给出的。一种声称幂集的存在，使得其成员都有最大隶属度；另一种则声称集合的存在，使得它们的成员有合适的非最小隶属度。相应地得出了Za及其扩张Za+，及二者加上选择公理的ZaC和Za+C。同时，夏平给出了基于此理论的一些代数运算等。

可惜的是，他并没有给出承诺的自然数、序数和基数理论。显然这些理论的缺失使得夏平的公理化模糊集合论并不完整。不过，他对谓词的率先定义却启发了很多学者的思路，之后的大多理论都基于夏平的理论而进行。后来，塔米尔(Tamir)等人提出可以从NBG(von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory)的角度对模糊集合论公理化的思路[4]，不过他们仅仅给出了一些定义和陈述性的分析，并未实际实现。

迄今为止，国内外对于模糊集合论的公理化，尚未形成一个达成一致的系统，众说纷纭，各有侧重。与从非经典逻辑出发去建构非经典集合论来拯救集合论的目的不同，模糊集合论的出现本身是为了补充关于扎德的模糊集概念而兴起的，对其公理化的逻辑选择也并非完全依赖于非经典逻辑。模糊集合论的公理化有多种方法，根据使用的逻辑不同，我们可以分为经典方法(即使用一阶逻辑作为语言)和非经典方法(即使用多值逻辑、模糊逻辑、乘积逻辑等作为语言)。本文在塔米尔等人的设想基础上，将夏平的方法进行推广，给出一个基于NBG的公理化理论。这是经典方法的一个推广。

二、一种NBG公理化方法

首先的问题在于谓词∈的定义。近年来，贝侯内克(Běhounek)等人选择将夏平的三元关系中表示隶属度的第三元“隐藏”为元语义层面[5]。不过，模糊集合论中的核心概念并非模糊集本身，而是元素对于模糊集的隶属程度。将隶属度单独考虑在某种程度上是必要的。所以，这里我们的定义仍然是三元谓词。∈(X,Y,Z)表示X按隶属度Z属于Y，或者X属于Y的程度为Z，即[X∈Y]=Z。

这定义了类和集合。我们之后用大写字母X,Y,Z,…,表示类变元，用小写字母x,y,z,…,表示集合变元。X是一个类，记作Cls(X)。如果一个类按任意的隶属度属于一个类，那么它就是一个集合，记作M(X)。不是集合的类就是真类(记作Pr(X))。

定义2.2Dg(X)=(∃Y)(∃Z)(∈(Y,Z,X))

这定义了度(degree)，一个类是一个度当且仅当它在关系∈中处于第三元。此后，我们可以将其记作Dg(X)。

这定义了空类，以后我们也将Em(X)方便地记作∅。

下面我们给出5组公理。这里的公理虽然是由哥德尔(Gödel)给出的形式[6]，但由于模糊集合的存在，会有些不同。

A1:Cls(x)

A3:(∀Z)(∃Y)(∈(X,Y,Z))→M(X)

A4:(∀X)(∀Y)((∀u)(∈(u,X,W)↔∈(u,Y,W))→X=Y)

A5:(∀x)(∀y)(∀W)(∃z)((∈(u,z,W)∧W≠∅)↔u=x∨u=y)

公理A1断言，每一个集合都是一个类。公理A2是新增加的，它确保了隶属度不只有∅。公理A3说的是，如果一个类按任意的隶属度属于一个类，那么它就是一个集合。公理A4即类的外延公理，集合的外延公理可以由A3得到。公理A5是无序对公理，z称作x和y的无序对，记作{x,y}。由无序对公理，我们有下面的定义：

定义2.4{x}={x,x}

定义2.5〈x,y〉={{x},{x,y}}

[x,y]称作x和y的序对。

定理2.6〈x,y〉=〈u,v〉→x=u∧y=v

定理的证明与通常NBG中的证明没有区别，故此略去。

定义2.6〈x,y,z〉=〈x,〈y,z〉〉

定义2.7〈x1,x2,…,xn〉=〈x1,〈x2,…,xn〉〉

定义2.8X⊆Y↔(∀Z)(∀W)(∈(Z,X,W)→∈(Z,Y,W)),X⊂Y↔X⊆Y∧X≠Y

这里给出了包含关系和真包含关系。

B1:(X)(∀x)(∀y)(∃Y)(∃w)(∈(〈x,y〉,X,Y)∧Y≠∅→∈(x,y,w)∧w≠∅)

B2:(X)(∀Y)(∃Z)(∀x)(∃W)(∃W′)(∃W″)(∈(x,Y,W)∧W≠∅∧∈(x,Y,W′)∧W′≠∅↔ ∈(x,Z,W′)∧W″⊆W∧W″⊆W′∧W″≠∅)

B3:(∀X)(∃Y)(∀x)(∃W)(∈(x,Y,W)∧W≠∅↔∈(x,X,∅))

B4:(∀X)(∃Y)(∀x)(∃W)(∈(x,Y,W)∧W≠∅↔(∃y)(∃W′)∈([y,x],X,W′)∧W′≠∅)

B5:(∀X)(∃Y)(∀x)(∀y)(∃W)(∃W″)(∈([y,x],Y,W)∧W≠∅↔∈(x,X,W′)∧W′≠∅)

B6:(∀X)(∃Y)(∀x)(∀y)(∃W)(∃W″)(∈([x,y],Y,W)∧W≠∅↔∈([y,x],X,W′)∧W′≠∅)

B7:(∀X)(∃Y)(∀x)(∀y)(∀z)(∃W)(∃W″)(∈([x,y,z],Y,W)∧W≠∅↔ ∈([y,z,x],X,W′)∧W′≠∅)

B8:(∀X)(∃Y)(∀x)(∀y)(∀z)(∃W)(∃W′)(∈([x,y,z],Y,W)∧W≠∅↔ ∈([x,z,y],X,W′)∧W′≠∅)

这组公理是类存在公理。

C1:(∃x)((∃w)(∈(∅,x,w)∧z≠∅)∧(∀y)(∀w′)((∈(y,x,w′)∧w′≠∅)→(∃z)(∃w″)(∈(z,x,w″)∧y⊂z∧w″≠∅)))

C2:(∀x)(∃y)(∀z)((∃w)(∈(z,y,w)∧w≠∅↔z⊆x))

C3:(∀x)(∃y)(∀z)(∀w)(∈(z,y,w)↔(∃t)(∃t′)(∃t″)(∈(z,t,t′)∧∈(t,x,t″)∧w⊆t′∧w⊆t″))

C4:(∀t1)(∀t2)…(∀tk)((∀x)(∃!y)An(x,y;t1,t2,…,tk)→(∀u)(∃v)((∀w)(∀r)(w≠∅→(∈(r,v,w)↔(∃s)(∈(s,u,w)∧An(s,r;t1,t2,…,tk))))))

这组公理是集合存在公理。公理C1是无穷公理，公理C2是幂集公理，公理C3是并集公理，公理C4是替换公理。这是由夏平给出的形式。

D:(∀X)(X≠∅→(∃x)(∃w)(∈(x,X,w)∧w≠∅∧(∀y)(∀w′)(∀w″)((∈(y,x,w′)∧w′≠∅)∨(∈(y,X,w″)∧w″≠∅))))

这条公理是类的正则公理。任意一个非空类X，它必定有一个模糊子集，而这个模糊子集与它没有相同的元素。与ZF中的基础公理不同，它要保证的是集合与类没有相同元素。

E:(∃X)((∀x)(∀y)(∀z)(∃w)(∈(〈x,z〉,X,w)∧∈(〈y,z〉,X,w)∧w≠∅→x=y)∧(∀x)(x≠∅→(∃y)(∃t)(∃t′)(∈(y,x,t)∧t≠∅∧∈(〈y,x〉,X,t′)∧t≠∅)))

可以看出，这条选择公理与哥德尔给出的差别不大。

至此，我们已经给出了所有的公理，将夏平的方法扩张到NBG系统中去。

三、结语

早期扎德提出模糊集后曾引起很大争议，美籍华裔数学家王浩也因模糊理论没有坚实的数学基础而对其持怀疑态度。对模糊集合论进行公理化能让我们较好地处理这些质疑，即为模糊理论提供一个坚实的数学乃至哲学基础考量。对比经典数学(相较于模糊数学，也可称为精确数学)及其基础集合论，从集合论公理化角度为模糊数学搭建一个同样的基础，正是印证该考量的方法。将现有的一些ZF式模糊集合论扩张为NBG，也是对理论的完善和丰富。另一方面，虽然模糊数学已经在应用中取得较大成功，其某些基础概念的定义仍不太明确，建立统一的、作为基础的集合论也可以化归这些定义。使用经典逻辑是比较简化的一种形式，这种形式将模糊集中的隶属度看作是三元关系中的一元。在逻辑语言选择上，还可以选取多值逻辑语言或者特定的模糊逻辑语言，这会在以后的文章中详细探讨。

[1] ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information & Control,1965,8(3):338-353.

[2] CHAPIN E W.Set-valued set theory.I[J].Notre Dame Journal of Formal Logic,1975,15(4):619-634.

[3] CHAPIN E W.Set-valued set theory.II[J].Notre Dame Journal of Formal Logic,1975,16(4):255-267.

[4] TAMIR D E,ZHI-QIANG C,KANDEL A,et al.An axiomatic approach to fuzzy set theory[J].Information Sciences,1990,52(1):75-83.

[6] GÖDEL K,BROWN G W.The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory[M].[S.l.]:Princeton University Press,1940.

(责任编辑张佑法)

AnApproachtotheAxiomatizationofFuzzySetTheory

LI Na, YANG Fan

(Philosophy College, Nankai University, Tianjin 300350, China)

B813

A

1674-8425(2017)09-0018-03

2017-05-24

国家社会科学基金重点项目“基于哲学逻辑的集合论研究”(16AZD036)

李娜(1958—)，女，河南开封人，教授，博士生导师，研究方向：现代逻辑。

李娜，杨帆.一种模糊集合论的公理化方法[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2017(9):18-20.

formatLI Na, YANG Fan.An Approach to the Axiomatization of Fuzzy Set Theory[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(9):18-20.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.09.003