罗素悖论与罗素定理

王海东

(天津市北方调查策划事务所 300050)

一个幽灵在集合论中徘徊，这个幽灵就是罗素悖论.

罗素悖论可以用以下公式表示：

∃y∀x(x∈y↔x∉x)

从这个公式来看，罗素悖论来自于集合论的一个常用语句.这个常用语句就是用属于符号∈构成的语句.由于集合论的所有表达式都离不开这个常用语句，所以集合论的所有表达式都会无一例外地受到罗素悖论的困扰.

有人认为，子集公理能够从集合论中排除罗素悖论.

子集公理可以用以下公式表示：

∀x∃y∀z(x∈y↔x∈z∧p(x))

但是，即使有了子集公理，罗素悖论仍然无处不在.因为，我们可以从子集公理中推出：

∀x∃y∀z(x∈y↔x∈z∧p(x)↔z∈p(x)↔x∈p(x)↔x∉x)

由此可见，子集公理只是把罗素悖论从某个集合推给了另一个集合.如果可以这样推下去，罗素悖论将会出现在所有集合之中.

那么，怎样才能从集合论中排除罗素悖论呢？显然，要想从集合论中排除罗素悖论，就必须找到罗素悖论在集合论中的形成条件.

那么，罗素悖论在集合论中的形成条件是什么呢？显然，罗素悖论在集合论中的形成条件，就是集合论一直没有解决集合定义问题.

有人认为，集合论不需要给出明确的集合定义.把集合视为一种可以任意定义的数学对象，就可以对号入座地解决各种各样的集合论问题了.这种看法是一种不符合数学要求的错误看法.从数学发展史来看，任何一种数学理论都是以数学定义作为理论起点的.不能给出明确的数学定义，就不能建立起严密的数学理论.只有给出了明确的数学定义，才能建立起严密的数学理论.几何学就是一个最好的先例.在几何学中，几何定义的理论地位高于几何公理，几何公理的理论地位又高于几何定理.在给出了各种几何定义之后，几何学才会进一步给出各种几何公理.在给出了各种几何公理之后，几何学才会进一步给出各种几何定理.如果我们将集合论视为一种数学理论，我们就必须让集合论遵循数学理论的发展规律.

更重要的是，如果我们所说的集合不是集合论所说的集合，而是人们在日常生活中所说的集合，那么这种集合也许不需要给出明确的定义.因为，人们在日常生活中所说的集合与人们的生活环境密切相关.人们可以通过各种不同的生活环境找到集合的明确定义.例如，一个学校的集合就是全校师生的集合，一支军队的集合就是全军官兵的集合，以此类推.但是，如果我们所说的集合是集合论所说的集合，而不是人们在日常生活中所说的集合，那么这种集合就必须给出明确的定义了.因为，集合论所说的集合是一种具有数学抽象性的集合.这种具有数学抽象性的集合与人们的生活环境毫无关系.如果不把这种具有数学抽象性的集合用数学语言明确地表述出来，人们就可以随心所欲地解释这种具有数学抽象性的集合了.这样一来，罗素悖论就会从集合论所说的集合中产生出来，集合论所说的集合就为罗素悖论提供了形成条件.

不过，我们也应该看到，虽然集合论一直没有解决集合定义问题，但是集合论已经为解决这一问题奠定了良好的理论基础.这个理论基础就是代表任意集合的集合公式：

∃A∀a(a∈A|a=an,0≤n≤∞)

根据集合公式，我们可以把集合定义为一组具有相同数学性质的数学对象.根据集合定义，我们可以将元素定义为包含在某个集合之中的最小数学对象.根据元素定义，我们可以将子集定义为包含在某个集合之中并包含其若干元素的数学对象.根据子集定义，我们可以将空集定义为包含在某个集合之中但不包含其任何元素的数学对象.根据空集定义，我们可以将非空集合定义为包含某个集合的所有元素但不包含其空集的子集.

由此可见，只要给出了集合定义，我们就可以给出元素定义.只要给出了元素定义，我们就可以给出子集定义.只要给出了子集定义，我们就可以给出空集定义.只要给出了空集定义，我们就可以给出非空集合定义.由于这五个集合论定义具有极其密切的理论联系，所以我们可以把这五个集合论定义称为集合论定义系统.令D代表集合论定义系统，d1代表集合定义，d2代表元素定义，d3代表子集定义，d4代表空集定义，d5代表非空集合定义，我们可以用以下公式来证明集合论定义系统：

已知

d1→d2→d3→d4→d5

又知

d1∈D

d2∈D

d3∈D

d4∈D

d5∈D

因此

∃D∀d(d∈D|d=di,0

证毕.

我们不难发现：集合论定义系统为集合论公理系统提供了理论依据.只要给出了集合论定义系统，我们就可以从中推出集合论公理系统.令G代表集合论公理系统，g1代表外延公理，g2代表空集公理，g3代表子集公理，g4代表偶集公理，g5代表并集公理，g6代表幂集公理，g7代表正则公理，g8代表无穷公理，g9代表替换公理，g10代表选择公理，我们可以用以下公式来证明这一发现：

已知

∃D∀d(d∈D|d=di,0

∃G∀g(g∈G|g=gj,0

又知

d1∈D→g4∧g5∧g8∈G

d2∈D→g1∧g9∈G

d3∈D→g3∧g6∈G

d4∈D→g2∈G

d5∈D→g7∧g10∈G

因此

∃D∀d(d∈D|d=di,0

证毕.

我们还会发现，集合论定义系统不仅为集合论公理系统提供了理论依据，而且为集合论公理系统提供了四个十分重要的集合论公理.这四个集合论公理就是包含公理、等于公理、包含等于公理和不属于公理.包含公理是指：包含在某个集合之中的任何一种数学对象都属于某个集合而不属于自己.等于公理是指：任何一种等于某个集合的数学对象都属于自己而不属于某个集合.包含等于公理是指：除了两个元素相同的集合，其他任何一种数学对象都不可能既包含在某个集合之中又等于某个集合.不属于公理是指：与某个集合的元素有关却又不属于某个集合的数学对象属于某个集合的空集.

包含公理可以用以下公式表示：

∃y∀x(x⊂y↔x∈y↔x∉x)

等于公理可以用以下公式表示：

∃y∀x(x=y↔x∈x↔x∉y)

包含等于公理可以用以下公式表示：

∃y∀x(x⊆y↔x⊂y∨x=y↔x∈y∨x∉y)

不属于公理可以用以下公式表示：

∀x∃y∀z(x∈y,x∈z|z∉y,z∈?,?∈y)

这样一来，我们就找到了从集合论中排除罗素悖论的方法.这个方法就是：将包含公理、等于公理、包含等于公理和不属于公理引进集合论公理系统.因为，在引进了这四个集合论公理之后，我们不仅可以将罗素悖论视为罗素定理，而且可以用以下方法来证明罗素定理：

已知

∃y∀x(x∈y↔x⊂y)

又知

∃y∀x(x⊂y↔x∉x)

因此

∃y∀x(x∈y↔x∉x)

证毕.

综上所述，不能从集合论中排除罗素悖论，说明不能用集合论证明罗素定理.不能用集合论证明罗素定理，说明集合论公理系统不完善.集合论公理系统不完善，说明集合论定义系统未建立.集合论定义系统未建立，说明集合定义问题没解决.只有解决了集合定义问题，才能建立集合论定义系统.只有建立了集合论定义系统，才能完善集合论公理系统.只有完善了集合论公理系统，才能用集合论证明罗素定理.只有用集合论证明了罗素定理，才能从集合论中排除罗素悖论.