说三道四话“空集”

裘家英 虞关寿

进入高中学习，高中数学的第一个内容是集合，对于初学者来说，集合中“空集” 是较难理解的概念.在解决集合中有关问题时，特别是求参数范围时，常常由于少考虑到“空集”这个因素，使得问题的求解变得不完整，甚至出现错误.可以这样说这类问题的求解错误都是“空集”惹的祸 .

鉴于此笔者想对“空集”进行一番“说三道四”，望能起到“抛砖引玉”之功效.

一、“说三”：说一说空集概念的三个方面

一说空集的定义

教材上空集的定义是这样给的：我们把不含任何元素的集合叫做空集.按这个定义的意思，我们可以这样去理解：空集不是无，它是客观存在的，例如{x∈R|x2+x+1=0}是空集，{（x，y）|x2+y2<0}是空集，但它们的内部没有元素.这对我们初学者来说是一个难点.我们可将集合想象成一个装有元素的袋子，袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的.这种想法或许对我们理解空集有所帮助.

二说空集中的一个规定（性质）

在教材中有这样的一个规定：空集是任何集合的子集，即A，A为任一集合.按子集的定义，这个规定是说集合 的每个元素都得属于A.对这个规定的理解，可从反证的角度去解释，若这个规定不真，那中至少有一个元素不在A中，由于中没有元素，也就是没有的元素不属于A了，从而得到的每个元素都属于A，即是A的子集.

三说空集的符号

我们用一个特定的符号来表示空集，这可要区别于{}、{0}、{空集}等符号.一般地，{}不是一个空集，它表示一个集合构成的集合;{0}不是一个空集，它表示一个数0的集合;{空集}也不是一个空集，它表示一句话“空集”的集合.表示空集的形式可以是数集的形式，也可以是点集的形式，也可以其它形式的集合给出，但本质都是空集.任何两个以不同特点形式给出的空集应认为是相等的.例如{x∈R|x2+1<0}={（x，y）|x2+y2+1<0}=.

例1 你认为下面两个集合有可能相等吗？若有可能请给出理由，并求实数a的值：

A={x|ax+1<0}， B={（x，y）|x2+y2<0}.

分析 集合A是以数集的形式给出，集合B是以点集的形式给出，一般情况下它们是不可能相等的，只当这两个都是空集的情况下才能相等.观察到集合B是空集，所以当A=时才成立.容易知道当a=0时，A=B=.

例2 用符号“=、、”填空：

（1）{x|x+1=x-1}______{};

（2）{x∈R|x2+1=0}______

{（x，y）|x2+y2+2<0};

（3）______{};

（4）______{{1}，{2}，{1，2}，}.

解 （1）因为{x|x+1=x-1}为空集，{}不是空集，所以应填.

（2）因为{x∈R|x2+1=0}是空集，{（x，y）|x2+y2+2<0}也是空集，所以应填=.

（3）因为{}不是空集，所以应填.

（4）因为{{1}，{2}，{1，2}，}不是空集，所以应填.

注 若填上去的符号没有限制，在第（3）、（4）题中，把看作一个元素，则还可以填符号∈.

二、“道四”：道一道在解决问题时要考虑到“空集”这个因素的四个方面

1.在要你写出某个集合的子集或要你求出某个集合的子集个数时不要漏掉空集.

例3 （1）设集合A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则满足C（A∩B）的集合C的个数是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

（2）设集合A={直线}，B={圆}，设C=A∩B，则集合C的子集个数是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.4

解 （1）解方程组4x+y=6，

3x+2y=7x=1，

y=2.所以C=或C={（1，2）}.故选C.

（2） 因为A∩B=，所以C=， 故选B.

2.当碰到“AB”这个符号时，要考虑到A有可能是.

例4 已知集合A={0，1}，B={x|xA}，则下列关于集合A与B关系正确的是（ ）.

A.AB B.AB C.BA D.A∈B

解 因为xA，所以B={，{0}，{1}，{0，1}}.则集合A={0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.

3.当碰到“A∪B=B”这个符号时，要考虑到A有可能是.

例5 设A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}.

（1）若a=15，试判定集合A与B的关系;

（2）若A∪B=A，求实数a组成的集合C.

解 （1）由x2-8x+15=0，得x=3或x=5，所以A={3，5}.当a=15时，由ax-1=0，得x=5，所以B={5}，所以BA.

（2）因为A={3，5}，又A∪B=A，所以分二种情况：①若B=，则方程ax-1=0无解，有a=0;②若B≠，则a≠0，由ax-1=0，得x=1a，所以1a=3或5，即a=13 或15.故C={0，13，15}.

4.当碰到“A∩B=A”这个符号时，要考虑到A有可能是.

例6 已知A={x∈R|x2-2x-8<0}，B={x∈R|x2+2x-3>0}，集合C为C={x∈R|x2-3ax+2a2<0}.试求实数a的取值范围使得（A∩B）∩C=C.

解 ∵A={x∈R|x2-2x-8<0}={x|-21}，

∴A∩B={x|1

∵（A∩B）∩C=C，

∴分二种情况：①若C=，∵集合C={x∈R|x2-3ax+2a2<0}={x|（x-a）（x-2a）<0}，

∴a=0;②若C≠，设f（x）=x2-3ax+2a2，

∵（A∩B）∩C=C，

∴C{x|1

∴可由二次函数图象得：f（1）≥0，

f（4）≥0，即1-3a+2a2≥0，

16-12a+2a2≥0，

解得1≤a≤2.综上可知实数a的取值范围是1≤a≤2或a=0.