对充要条件教学的再认知

☉江苏省无锡市堰桥高级中学 陆旌霞

中学数学第一章集合论可以说是现代数学的基础，有了集合论规范的表述，才有了后来各种数学知识的学习.集合论教学中，子集、交集、并集、全集、补集是集合中最基本的五大要点，形成了集合论的基础.比如：子集关系是运用到各种知识衔接的重要知识.以命题为例：“若p，则q”指的是就是集合论中的子集关系，但是学生在学习中却鲜有将知识串联在一起思考.因此教师教学需要打通这些知识的单一性，形成教学的全方位处理，形成知识的综合理解成为关键.

一、概念的认识

充要条件的概念在教材中仅仅是描述性的介绍，并没有实质性的阐述和解释，常常在论坛中听到学生这样抱怨：充分条件是什么意思？老师叫我们记住“左边推出右边”叫充分条件，这是为什么？笔者认为：这样的抱怨说明了几个问题：第一，概念教学没有做到真正理解，更多是以灌输性的教学进行；第二，教师自身没有全面思考充分条件的概念，更多地是站在孤立的角度去思考概念，发现概念不好阐述，因此用比较生硬的强行记忆的方式进行了灌输.那么我们如何理解充分条件的概念才是合理的？笔者认为需要结合以往的知识一起来思考、理解.

1.知识的对比

众所周知，集合论中其实早就存在了充分条件，只是表述不一，我们挖掘其中的知识来对比概念，使其对于何为充分性有足够的认识.观察下表：

基本概念 数学化符号集合论：p是q的子集 p⇒q命题：若p，则q p⇒q Venn图示子集关系 p⇒q

上述知识都是p⇒q的数学化符号不同形态，有子集形态、命题形态等等.这里教师需要对上述三方面知识进行合理的总结，使学生理解知识，打通这些知识之间的相关联系.

师：我们发现，这些知识其本质是一样的，也就是说q怎么样才能成立？

生：只要p成立，一定可以有q成立.

师：那这样成立的条件够充分吗？

生：足够充分了！

师：所以，今天我们在上述三个基本概念的基础上，引入全新的一种更加数学化的说法：我们把p⇒q称之为p是q的充分条件，意思就是条件p足够充分推导出结论q了！

生：明白了！原来充分条件的概念非常容易理解，只要对比命题和集合论就可以了.

师：另一方面，q是p应该怎么称呼呢？

生：集合论中没有倒过来的讲法啊！

师：的确如此.我们可以这样想，命题q成立的时候必须要求命题p作为要求保障，因此可以说q是p的必要条件.

生：这样对概念的理解，我们比较清楚了.

意图：单一的概念教学显然是比较孤立的，学生之所以不理解充分和必要，主要因素在于教师讲解概念的时候过于孤立和抽象，其实引用集合论中子集的概念以及命题中“若p，则q”的表述，我们不难真正理解充分性的含义了.

2.知识的具象化

另一方面，为了进一步加深充分条件的认知，我们可以借助数学相关实验去尝试，这里经典的实验正是借助物理电器元件的电路图来实现的.我们知道，电路的通畅与否很好地展示了充分与必要的关系.设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B.

分析1：观察图1，我们发现当开关A闭合时，灯泡B必然会亮，这说明“若p，则q”是成立的，即开关A闭合充分保障了灯泡B必然会亮，这是充分性最好的实验体现.反之，若灯泡B会亮，不能说明一定是开关A闭合的结果，有可能是开关C闭合，因此“若q则p”是不成立的，这样来说A是B成立的充分不必要条件，因此电路实验较好地反映了这一数学本质.

图1

图2

图3

图4

分析2：观察图2，我们发现当开关A闭合时，灯泡B不会亮，这说明“若p则q”是不成立的，即开关A闭合无法充分保障灯泡B会亮.反之，若灯泡B会亮，说明开关A必须是闭合的结果，因此“若q则p”是一定成立的，这样来说A是B成立的必要不充分条件，因此概念的反馈跃然纸上.

分析3：观察图3，我们发现当开关A闭合时，灯泡B必然会亮，这说明“若p则q”是成立的，即开关A闭合充分保障了灯泡B必然会亮，这是充分性最好的实验体现.反之，若灯泡B会亮，说明一定是开关A闭合的结果，因此“若q，则p”是成立的，这样来说A是B成立的充分必要条件，因此充要条件的数学本质体现了充分的等价性原则.

分析4：观察图4，显然是既不充分也不必要条件了.

意图：数学实验电路是充分显示充分必要条件的一种具象化操作，这种操作大大加快了学生对于充分必要条件的理解，有了这种实验作为保障，形成了充要条件概念的再认知，从感官角度思考得到了充分性和必要性，从而摆脱了教学的刻板和灌输性，获得了知识形成的过程性，符合课程标准提出的数学抽象这一最重要的核心素养要求.

二、问题的探索

从充要条件的概念理解来说，学生达到了一定的认知，进一步在数学学习的过程中体会充要条件是必不可少的.可以这么说，数学知识的学习可以分为三个步骤：第一是概念的学习，即通过数学具象感受数学本质；第二是数学问题的解决，通过问题的解决丰富概念的理解，从多角度、多层次中去体会数学本质；第三是知识的内化，对问题进行反思，才能真正进一步的去理解知识、体会知识，这也是学习的最后层次.从本知识来说，我们通过具体案例来思考这充要条件的深刻意义.

问题1：方程x2-2mx+m-1=0有两个不同正根，求实数的取值范围.

分析：本题对于高一学生而言并不困难，因为大部分学生都是尊崇初中数学二次方程韦达定理这一知识寻求解决，解方程组

变式1：方程x2-2mx+m-1=0有两个不同且大于1的根，求实数m的取值范围.

分析：按照问题1的解决思路，学生自然形成了这样的解题方式殊不知这样的解决方式已经出现了错误，这里的原因是什么呢？我们可以借助充要条件来说明这个典型的错误.从等价性的角度分析因此问题1的解决思路没有任何问题，既没有扩大解集也没有缩小解的范围，而之是不能成立的，即不等价，这里的反例很明显若取无法推出这恰恰是充要条件未能保障到位的结果.这样的问题在中学数学中往往较多的存在.

问题2：已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范围.

分析：这又是充分必要条件转化不到位的一个典型问题.首先来看一看常见的错解.

（1）+（2），得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，（2）×（-1），得-1≤y-x≤1.（3）（1）+（3），得0≤2y≤4，故而代入f（2）=4x+2y，得0≤f（2）≤12.

显然上述解答是有问题的，原因何在呢？其仅仅保障了问题的充分性，未能考虑到必要性，通俗的说也就是无形中放大了变量的范围，导致求解范围的扩大，正解范围还应该缩小一些.看一下正解.

正解：f（2）=4x+2y=3f（1）+f（-1），由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而两式相加可得2≤f（2）≤10.

意图：通过两个经典问题的反思，我们不难发现数学问题的求解探索过程就是不断转化充要条件的过程，将形式复杂的问题转化为简捷的表述，正是数学转化与化归思想的体现，这一步一步的体现需要一个重要的依据，即等价，也就是充要条件.

总之，数学学习的过程恰恰是充要条件的一个缩影.理解充要条件的概念反映了数学概念学习过程中具象化策略的重要性，帮助学生进一步理解充要条件对于学习数学的等价性原理、转化化归思想也有着极为重要的作用.对于充要条件的再认知，笔者以教学一线的实践做了一番自我的思考，恳请读者给予指点和斧正.

1.宋一卫.从生“动”到生动，诠释充要条件教学［J］.中学数学月刊，2015，5.

2.方可石.逻辑教学中诠释思维品质［J］.数学通讯，2012，1.

3.沈恒.浅谈中学数学课堂教学的适度形式化［J］.中小学数学，2010，5.