论“无穷事物”的定量认知（Ⅷ）——新、旧无穷集合论和数学分析基础理论中的三个不同特征

（闽南师范大学 数学系，福建 漳州 363000）

新无穷理论体系的产生决定了“新数学分析理论”和“新集合论”的产生——我们将以经典无穷理论体系为基础的“第一、二、三代数学分析理论”（标准分析前的数学分析、标准分析、非标准分析）称之为“现有经典数学分析理论（旧数学分析理论）”，将以新无穷理论体系为基础的新数学分析理论称之为“第四代数学分析理论”[1-6]，将以经典无穷理论体系为基础的现有经典无穷集合论称之为“第一代无穷集合论（旧无穷集合论）”，将以新无穷理论体系为基础的新无穷集合论称之为“第二代无穷集合论”[7-13].

1 “半阿基米德性”

研究证明，数学中存在一种“具有可定量认知性质的抽象概念与规律的数学载体（比如现有数学中的虚数、模糊数、无穷小变量、单子……）”，这些“数学载体”可参与有穷数量形式的任何运算、却又无法知道它们确切的数值，我们将这种“数学载体”定义为：具有“半阿基米德性”的数量形式.数学史证明，人们需要对那些具有“阿基米德性”或“半阿基米德性”的数量形式开展各种各样必要的定性、定量认知与研究[20-41].

2 新、旧数学分析基础理论中的几个同、异之处

2.1 新、旧数学分析基础理论中的主要相同之处

新、旧数学分析基础理论中存在相同的定性、定量认知动机和相同的定量认知工具，这两个主要相同之处决定了“第四代数学分析理论”保留了“第一、二、三代数学分析理论”自古以来所积累的许多宝贵知识财富[25-34].

2.2 新、旧数学分析基础理论中的主要不同之处

虽然“第四代数学分析理论”保留了“第一、二、三代数学分析理论”自古以来所积累的许多宝贵知识财富，但是如下三个主要不同之处决定了许多工作思路、具体操作和认知结果必然是不同的——基础理论的几个本质性区别决定了新、旧数学分析理论之间是不可能完全等价的[13-35].

2.2.1 以不同的“无穷理论体系”为基础理论

由于新数学分析以新无穷理论体系为基础，它必然与“潜无穷、实无穷”概念毫无关系——不同的基础理论决定了新、旧数学分析理论之间的不等价性.在新数学分析中，人们以新的、科学的“无穷载体理论”为基础，在对“与无穷相关的数量形式”开展定性、定量认知和研究时，必然会产生一些与旧数学分析理论不同的过程与结果；最重要的是，在新数学分析中，不可能产生和滋养芝诺悖论家族的任何成员[13-35].

2.2.2 对“与无穷相关的数学事物（数量形式）”的定性认知理论与结果的不同

“第四代数学分析理论”以新无穷理论体系为基础，新无穷理论体系只承认一种“无穷”概念，与“潜无穷、实无穷”概念毫无关系，与“变量、单子、潜无穷数、实无穷数”毫无关系.所以，不存在2500 多年来一直困扰旧数学分析的如上两个与“无穷概念—无穷数量形式”相关的理论问题.在新数学分析中，参与所有数量运算的“与无穷相关的数量形式”是一种用于表示抽象无穷规律（概念）的存在、具有数量意义性质（半阿基米德性）的“抽象无穷规律的数学载体”.它们都是新数量体系中有明确定义的、具有明确数量性质的数，而不是将“永远处于变化中的抽象无穷规律”作为数量来运算.这种对“无穷数学事物”认知与研究思路的改变，解决了旧数学分析理论体系中无法对“与无穷相关的数量形式”进行科学、有效与系统的定性认知的致命缺陷.新的“无穷载体理论”决定了在“第四代数学分析理论”中，人们应该是对具体的“无穷载体”进行定量认知、而非对“既是潜无穷又是实无穷的数量形式（时隐时现的‘鬼魂’）”进行定量认知；是具体的“无穷载体”之间有数量上的不同、而非“既是潜无穷又是实无穷的数量形式（时隐时现的‘鬼魂’）”之间有数量上的不同.所以，在“第四代数学分析理论”中，不存在所有芝诺悖论新、旧家族成员，不存在贝克莱悖论家族中的所有成员；根本就不可能存在互相矛盾、五花八门的“无穷”概念及其相关的内容.以新无穷理论体系为基础的“第四代数学分析理论”依据“新载体理论”，在对“无穷数学事物”进行定量认知与研究前，先对“与无穷相关的数量形式”开展定性研究，分析、了解、确认它们在与无穷相关的数量类型体系（数谱）中的位置，它们所具有的数量性质、数量意义，从而保证了定量研究的科学性与有效性——因为非常清楚的知道它们是什么.所以新数学分析中不可能存在由于对“无穷事物”定性认知的缺席所必然产生的与定量认知相关的悖论[14-35].

2.2.3 对“与无穷相关的数学事物（数量形式）”的定量认知理论与结果的不同

“第四代数学分析理论”以新无穷理论体系为基础，所以，新数学分析中的所有定量认知理论与操作（比如极限论及其相关的操作）不会受到“潜无穷、实无穷”概念的任何不良影响与束缚.新“抽象无穷规律（概念）的载体”理论的构建与开发引领我们进入一个新的、系统的对数学分析中各种各样“与无穷相关的数量形式（抽象‘无穷’概念的载体）”的定量认知领域.人类数学的性质与特点决定了人们必须用适合自己的“数学载体”来表现数学中所有抽象的“自然规律、数学性质、概念……”.正是由于这种“抽象事物的载体（比如数量形式）”的存在，使许许多多“看不见、摸不着的抽象数学事物”成了“看得见、摸得着的数学载体”.“无穷”概念进入数学后，人们只能（必须）用“与无穷相关的数量载体”来对“无穷性质、无穷概念、与无穷相关的抽象事物”进行定量认知.科学家的使命就是不断研究、了解、完善这种无法拒绝的“抽象事物—抽象事物的载体”科学内容，研究相关的载体处理理论与操作技术，使这些科学内容可以帮助人类更好的开展对“与无穷相关的客观事物”的科学、系统定量认知活动.新发现的“过渡数、非确切数”，是人类科学里的一种新的“科学抽象物载体”，是与无穷相关的新数谱中用来表示“与无穷相关的某类客观事物”的一种数量形式、一种“数学载体”，是极限论所处理的数学内容.“与无穷相关的新数量体系”是极限论的重要基础理论之一.新数学载体“过渡数、非确切数”的产生与存在决定了与无穷相关的新数量体系（数谱）的产生与存在：零数、绝对的无0（Number of Zero），无穷小数（Number of Infinitesimal），过渡小数（Interim-Small Number，Non-Definite-Small Number），有穷数Δ（Finite Number），过渡大数（Interim-Great Number，Non-Definite-Great Number），无穷大数（Number of Interim-Great），彦数、绝对的有∞（Number of Yan）.在这个新构建的“与无穷相关的新数量体系”中：“绝对的无”就是“数0”的唯一的“数量性质”，就是人们对这类数量形式的唯一定量认知结果，这决定了人们不需要、不可能对这类数量形式进行更多的定量认知与研究；由于“有穷数Δ”是“与‘可定量认知性质（阿基米德性）’相关的数量形式”，这决定了人们必然要对这类数量形式进行定量认知与各种各样的研究；由于“过渡数、非确切数（比如过渡小数、过渡大数”是“与‘可定量认知性质（半阿基米德性）’相关的‘无穷规律’的载体”，所以人们也必然要对这类数量形式进行定量认知与各种各样的研究；由于“无穷数（比如无穷小数、无穷大数”是“与‘可定量认知性质’无关的‘无穷规律’的载体”，无法定量认知与研究的“无穷无尽”规律是这类数量形式的唯一的“数量性质”，决定了人们不需要、不可能对这类数量形式进行与“可定量认知载体”相关的任何定量认知与研究；“绝对的有”就是“彦数∞”的唯一“数量性质”，就是人们对这类数量形式的唯一定量认知结果，这决定了人们不需要、不可能对这类数量形式进行更多的定量认知与研究[1-35].

新数谱的开发与应用解决了2500 多年来在与无穷相关的数量形式定量认知过程中致命的“无穷数学载体缺失”缺陷[20-35].在对数学分析这个数学分支中的任何内容进行实际定量认知操作之前，人们必须先按“与无穷相关的数学载体理论（数谱）”对它们进行真正意义上的“数学分析”，分析那些“与无穷相关的数量载体”在与无穷相关的新数谱中所处的位置，它们所具有的数量性质、数量意义、表现形式，然后才进行有针对性的定量认知操作（比如在新数量体系中，许多“x→0 无穷数学事物”属于“过渡数”、被称之为“过渡小”）.我们的研究证明，正是整个“无穷数学载体理论（无穷载体—与无穷相关的数量体系）”缺失，才导致人们在旧数学分析具体的定量认知过程中，往往混淆了“抽象无穷概念”与“抽象无穷概念的载体”这两种不同类型的数学事物，混淆了“数0”、“过渡数”、“无穷数”与“彦数∞”这四种不同类型的数量形式，使人们根本就不可能对各种各样与无穷相关的数量形式开展科学、有效的定量认知与研究活动，这是导致“第一、二、三代数学分析理论”中那些悬而未决的悖论家族产生并且繁荣昌盛的一个重要原因[15-17].新构建的“与无穷相关的数谱”的产生（特别是“过渡小数、过渡大数、彦数”三种新数量形式的发现），填补了三代旧数学分析理论体系中对“与无穷相关的数量形式”性质与存在形式认知上的一个空白，解决了自数学分析理论创立以来对各种“无穷事物”定量认知过程中各种各样致命的“‘潜无穷—实无穷’混乱”缺陷[1-35].

3 “第一代无穷集合论”和“第二代无穷集合论”基础理论中的同、异之处

以新的无穷理论体系为基础，我们得到新的无穷集合定义；

（1）每一个“无穷集合”由“无穷多个元素（无穷载体）”构成；

（2）每一类“具有特殊性质、特殊存在条件、特殊表现形式和特殊关系的无穷载体（无穷元素）”构成了“每一个与众不同的无穷集合”[13-31].

我们的研究证明，新、旧两代无穷集合论基础理论中存在着同、异之处.

3.1 新、旧集合论基础理论的两个主要相同之处

新、旧集合论基础理论有相同的定性、定量认知动机和相同的定量认知工具，这两个主要相同之处决定了“第二代无穷集合论”保留了“第一代无穷集合论”自古以来所积累的许多宝贵知识财富[25-34].

3.2 新、旧集合论基础理论的三个主要不同之处

虽然“第二代无穷集合论”保留了“第一代无穷集合论”自古以来所积累的许多宝贵知识财富，但是如下三个主要不同之处决定了新、旧集合论的许多工作思路、具体操作和认知结果必然是不同的——基础理论的几个本质性区别决定了新、旧两代无穷集合论之间不可能是完全等价的[25-34].

3.2.1 以不同的“无穷理论体系”为基础理论

由于“第二代无穷集合论”以新无穷理论体系为基础，它必然与“潜无穷、实无穷”概念毫无关系，所以必然不存在“第一代无穷集合论”中无法避免的与“潜无穷、实无穷”概念共存的如上那些导致悖论的因素.“第二代无穷集合论”以新的、科学的“无穷载体理论”为基础，必然会淘汰“第一代无穷集合论”中的许多错误的内容、必然会产生一些新的过程与结果.最重要的是，在“第二代无穷集合论”中不可能产生和滋养任何与“潜无穷、实无穷”概念相关的罗素悖论家族成员[24-35].

3.2.2 对“与无穷相关的数学事物”定性认知理论与结果的不同

由于以经典无穷理论体系为基础的“第一代无穷集合论”无法摆脱“潜无穷、实无穷”概念混淆的束缚，在许多场合中，人们不得不将无穷集合中各种各样“与无穷相关的数学事物”都当做由“潜无穷、实无穷”这两个概念所衍生的“潜无穷数学事物、实无穷数学事物”混杂在一起的数学事物.在“第一代无穷集合论”中，人们无法自圆其说的回答如下两个与“无穷数学事物”性质相关的认知问题：

（1）应该如何科学认知无穷集合的第二个性质——不知如何科学认知互相矛盾的“潜无穷数学事物、实无穷数学事物”?

这必然导致互相矛盾的两种认知行为：一方面否认无穷集合第二个性质中“元素—集合”之间的必然关系（完全不知道是因为“具有不同特性的元素”的存在才导致不同无穷集合的存在？），坚决否认不同无穷集合中各自所含元素所具备的存在意义、表现形式、存在条件、相互关系等方面的本质性区别，构造出一种与无穷集合的第二个性质相悖的“二次抽象”基数理论；通过“二次抽象”，将许多无穷集合中各自所含的元素都变成了一堆堆“毫无性质区别、毫无存在条件区别、毫无表现形式区别和相互关系区别、毫无数量意义的、抽象存在的无穷无尽的‘几何点’”，保证它们都具有相同的“基数”而使许多不同的无穷集合中所含的元素数量都相等.集合中所含的元素经过“二次抽象”以后，就都失去了它们原有的各种性质（包括“数量”性质），“无穷无尽”成了许多不同无穷集合中各自所含元素数量的唯一性质（正如我们所知道的那样，所有线段上的点都只是一堆堆“毫无性质区别、毫无存在条件区别、毫无表现形式区别和相互关系区别、毫无数量意义的、抽象存在的无穷无尽的事物”，所有线段上的点都具有相同的“基数”，它们的数量都统一是“无穷无尽”）.所以，在现有经典集合论中，通过“二次抽象”后，许多子集与母集中所含的元素数量都一样多——许多集合中所含的元素都具有相同的“基数”，没有数量区别的“无穷无尽”成了它们所含元素数量的唯一性质.另一方面却是突然承认无穷集合第二个性质中“元素—集合”之间必然关系，坚决承认无穷集合中元素的性质、表现形式、存在条件、相互关系的本质性区别的重要性，承认正是因为“具有不同特性的元素”的存在才导致不同无穷集合的存在；突然否认“二次抽象”理论，不打算对所要认知的无穷集合中所含的元素进行“二次抽象”，从而保证可以应用与“二次抽象”完全无关的T={x|x∉x} 理论来找到某些无穷集合中没有经过“二次抽象”、仍然具备其原始特殊性质的元素，完成某些无穷集合比另一些无穷集合含有更多元素的证明.比如，实数集合中所含的无穷多元素比自然数集合中所含的无穷多元素更多、任何无穷集合中所含的无穷元素比其幂集中所含的无穷元素更少——无穷实数集合比无穷自然数集合更无穷、任何无穷集合比其幂集更不无穷…….实际上，在人类数学现有的数量体系（数谱）中根本就不存在没有具体数量意义的“基数”这类数量形式.研究证明，经典无穷理论体系中无法摆脱的“潜无穷、实无穷”概念混淆，决定了康托的“二次抽象”基数理论与操作无法自圆其说、不具科学性与系统性，这必然导致人们根本就不可能对不同无穷集合中所含元素开展科学、有效、系统的定性与定量研究.

（2）为什么会有互相矛盾、五花八门的“无穷”概念？

由于“第一代无穷集合论”以经典无穷理论体系为基础，人们可以用“生成原理”制造“超穷数、超超穷数、超超超穷数……”的“无穷”概念，也可以用“幂集定理”编造“比较无穷、比较不无穷、更无穷、更更无穷、更更更无穷……”的“无穷”概念.几百年来，人们一直在努力研究、编造各种各样的“无穷概念”，在努力研究、编造与“互相矛盾、五彩缤纷的‘无穷’概念”相关的各种形式逻辑、形式语言与“流水线”操作.“第二代无穷集合论”以新无穷理论体系为基础，新无穷理论体系只承认一种“无穷”概念，与“潜无穷、实无穷”概念毫无关系.“第二代无穷集合论”不仅认为必须对不同无穷集合中的元素进行定量认知与研究，而且认为最重要的是必须对它们的各种性质开展科学的定性认知与研究.它始终如一的承认无穷集合第二个性质的必要性和科学性，承认“正是与‘二次抽象’完全无关的各种不同类别的无穷元素的存在，才构成各种不同无穷集合”这个科学事实.所以，新集合论中淘汰了“二次抽象”的基数理论，肯定不同无穷集合中元素的表现形式、存在意义、之间关系的本质性区别与无穷集合之间的必然关系.这种对“元素—集合”之间关系的认知与研究思路的变革，根除了“第一代无穷集合论”没有对集合中所含元素进行科学、有效与系统的定性认知的致命缺陷.新的“无穷载体理论”决定了在“第二代无穷集合论”中，人们应该是对具体的“无穷载体”进行定量认知、而非对“既是潜无穷又是实无穷的抽象物（时隐时现的‘鬼魂’）”进行定量认知；是具体的“无穷载体”之间有数量上的不同、而非“既是潜无穷又是实无穷的抽象物（时隐时现的‘鬼魂’）”之间有数量上的不同.所以，在“第二代无穷集合论”中，必然存在许许多多数量上“大—小，多—少”不同的“无穷载体”；实数集合中的元素（无穷载体）比自然数集合中的元素（无穷载体）多，任何集合中的元素（无穷载体）比其幂集中的元素（无穷载体）少，许多母集中的元素（无穷载体）必然会比子集中的元素（无穷载体）多…….集合论中根本就不应该存在各种各样的“无穷”概念、不应该存在“超穷数、超超穷数、超超超穷数……”、“更无穷、更更无穷、更更更无穷”……这类内容.“第二代无穷集合论”在新无穷理论体系的框架内承认如上所述无穷集合的三个性质.依据“新无穷载体理论”，人们在对集合论中与“无穷”概念相关的数学事物进行定量认知与研究前，必须先对它们开展定性研究，从而保证了定量认知的科学性与有效性——因为人们可以非常清楚的知道集合论中与“无穷”概念相关的数学事物是什么，所以新集合论中不可能存在由于对“无穷事物”定性认知的缺席所必然产生的与定量认知相关的悖论[19-34].

3.2.3 对“与无穷相关的数学事物”定量认知理论与结果的不同

由于“第一代无穷集合论”以经典无穷理论体系为基础，互相矛盾的“潜无穷、实无穷”概念使人们在对无穷集合中的元素进行定量认知、研究时，根本就不可能知道所认知的数学事物是“潜无穷数学事物”或“实无穷数学事物”或是二者的混合物或者二者都不是的数学事物.所以，人们在“第一代无穷集合论”中对数学事物进行定量认知、研究时，非常自由、随心所欲：既可以证明有理数集合中所含元素与自然数集合中所含元素一样多，也可以证明有理数集合中所含元素比自然数集合中所含元素多；既可以用T={x|x∉x}理论来制造罗素悖论，也可以用T={x|x∉x}理论来制造“幂集定理”、编造“永远有空房间的希尔伯特旅馆”故事——将罗素悖论家族中的所有悖论成员都“严格数学化”而将它们都变成各种各样的“罗素定理”！由于与应用数学关系不大，人们根本就无法验证集合论中许多实际定量认知操作与结果的科学性.所以，在现有经典无穷集合论的定量认知过程中所存在的不科学内容远比现有经典数学分析中的多、定量认知行为可以更随心所欲[1-35].

在以新无穷理论体系为基础的“第二代无穷集合论”中，“无穷载体理论”是人们在对无穷集合中的许多“与无穷相关的数学事物”进行定量认知、研究的基础理论.新数学载体“过渡集（Non-Definite-Set，Interim-Set）”的产生与存在决定了新集合类型体系（集合谱系）的产生与存在：空集（Empty Set），有穷集（Finite-Set），过渡集（Non-Definite-Set、Interim-Set），无穷集（Infinite Set），彦集（Yan Set）[7-41].在这个新构建的“与无穷相关的集合谱系”中，由于“空集”中不含有任何元素，“元素数量为零”就是人们对这类集合中所含元素数量的唯一认知结果，决定了人们不需要、不可能对这类集合中所含元素数量进行更多的定量认知与研究；由于“有穷集”中含有“与‘可定量认知性质（阿基米德性）’相关的数学载体”，许多不同的有穷集合中含有数量不同的元素，人们必然要对这类集合中所含元素数量进行定量认知与各种各样的研究；由于“过渡集”中所含的元素是“与‘可定量认知性质（半阿基米德性）’相关的‘无穷规律’的载体”，所以人们也必然要对这类集合中所含元素数量进行定量认知与各种各样的研究；由于“无穷集”中所含的元素是“与‘可定量认知性质’无关的‘无穷规律’的载体”，无法定量认知与研究的“无穷无尽”规律是这类集合中所含元素的唯一的“数量性质”，决定了人们不需要、不可能对这类集合中所含元素数量进行更多的定量认知与研究；而在“彦集”中，“毫无类别、性质之差的宇宙万物”就是这种集合所含的元素（只承认万物的存在），决定了人们不需要、不可能对这类集合中所含元素数量进行任何定量认知与研究.我们的研究证明，“第一代无穷集合论”中整个“无穷数学载体理论（无穷载体—集合谱系）”缺失，导致人们在具体的定量认知过程中，往往混淆了“抽象无穷概念”与“抽象无穷概念的载体”这两种不同类型的数学事物，混淆了“过渡集”、“无穷集”与“彦集”这三种不同类型的集合，使人们根本就不可能对各种各样无穷集合中所含的元素开展科学、有效的定量认知与研究活动，这是导致“第一代无穷集合论”中那些悬而未决的悖论家族产生的重要原因之一[15-17].

以新无穷理论体系为基础的“第二代无穷集合论”中的所有定量认知理论与操作（比如“一一对应理论”和“极限论”）不可能受到“潜无穷、实无穷”概念的任何不良影响与束缚.新“无穷载体（比如与无穷相关的新集合谱系、新数谱）”理论的构建与开发引领我们进入一个新的、系统的对“无穷集合中所含元素数量”的定量认知领域，使我们可以对集合论中各种各样的“‘无穷’载体”开展科学、有效、系统的定量认知与研究.在对“集合论”这个数学分支中的任何内容进行实际定量认知操作之前，人们必须先按“无穷载体理论”对它们进行真正意义上的“数学分析”，核对、分析这些以“无穷数学载体”形式存在的“与无穷相关的数学事物”在与无穷相关的数量类型体系（数谱）、集合类型体系（集合谱）中的位置，它们所具有的数量性质、数量意义、表现形式，然后才进行有针对性的定量认知操作（比如有理数集合、实数集合、自然数集合就属于，它们各自所含的元素数量不同；而由“几何点”、“常数1”所构成的无穷集合就都属于，“无穷无尽”是这类无穷集合中所含元素的唯一“数量性质”）.新构建的与无穷相关的数谱和集合谱的产生，填补了“第一代无穷集合论”中对“与无穷相关的数学事物”性质与存在形式认知上的一个空白，解决了自无穷集合论创立以来对各种“无穷事物”定量认知过程中各种各样致命的“‘潜无穷’—‘实无穷’混乱”所导致的缺陷.

4 结论

我们的研究证明，自古以来人们一直没有注意到以“潜无穷、实无穷”为基础的现有经典无穷理论体系基础理论中的缺陷.所以，不可能了解到以经典无穷理论体系为基础的现有经典无穷集合论和经典数学分析理论中存在完全相同的“无穷事物”定量认知缺陷，不可能了解到这两个数学分支中与“无穷”概念相关的各种悬而未决的悖论家族之间的必然关系，根本就不可能找到解决这些悖论家族成员的科学方法——第二次、第三次数学危机在以经典无穷理论体系为基础的现有哲学和数学理论体系中是不可解的.以新无穷理论体系为基础的第四代数学分析和第二代无穷集合论的产生，是人类科学中正常（必然）发生的新陈代谢活动，而非对现有经典数学分析与集合论的全盘否定.但是，不同的基础理论决定了新、旧数学分析之间不可能完全等价，决定了新、旧无穷集合论之间也不可能完全等价.