解决集合论悖论的雷歇尔方案——兼论解决集合论悖论的方法论

李娜 叶发扬

康托尔（G.Cantor）创立的朴素集合论作为数学的基础，其在数学发展中作用重大。但在19 世纪末20 世纪初，一些悖论却先后在其中被发现，主要包括布拉里-福蒂（C.Burali-Forti）的最大序数悖论、康托尔的最大基数悖论和罗素（B.Russell）提出的罗素悖论。学界一般将它们统称为集合论悖论。由于集合论悖论的出现直接导致了人们对集合论作为数学基础的可靠性质疑，进而引发了数学基础危机。因此，解决悖论成为了集合论学家、数学哲学家以及逻辑学家的共同诉求。霍斯顿（L.Horsten）说道：“逻辑（或更好的：集合论）悖论需要得到解决，而数学的基础可以忽略语义悖论（并且这样做了）。”（[11]）由此可见，集合论悖论的解决对于数学发展的重要性。

在逻辑学中，关于解悖问题的研究主要涉及一般方法论、具体解悖方案及其相关的哲学研究三个层面1关于逻辑学中悖论消解的这三个层面的详细说明请参见[23]的第32–34 页。，其中关于具体解悖方案及其哲学问题的研究成果颇丰，但对于方法论的探索却十分不足。对集合论悖论而言，关于解悖方法论的专门研究更为缺乏。所谓的方法论指的是分析问题、解决问题的一般原则、范式与模型，其从宏观上回答“如何做”的问题，为具体方法提供指导。关于解悖方法论存在不同的立场，大致可分为绝对主义和相对主义。绝对主义认为，存在一种解决所有悖论的普适性方法。相对主义又存在温和与激进之分，温和的相对主义强调不同类型的悖论存在不同的解决方法，同一类型的悖论具有相同的解悖模式；激进的相对主义则声称，每一个悖论都有完全不同的解决方案。总体而言，大多数学者是温和的相对主义者，本文也将基于该立场而展开。在温和的相对主义立场上，集合论悖论作为一种特定的悖论类型可能会存在统一的解悖模式。本文旨在以集合论悖论为研究对象，以罗素悖论为典范案例，尝试扼要地梳理集合论悖论的主要解悖方法论，然后着重就雷歇尔（N.Rescher）的解悖方案进行深入探讨。

1 解决集合论悖论的评判标准

解悖标准是衡量一种解悖方法论或具体解悖方案好坏的依据。张建军在罗素、策墨罗（E.Zermelo）以及哈克（S.Haack）等人的基础上将解悖标准高度概括为“‘罗素–策墨罗–哈克标准’，简记为‘RZH 标准’”（[23]，第28 页），这是目前学界相对较为公认的解悖评判标准。其包括三个原则，可概括为“三个足够”：足够狭窄——能够消除悖论；足够宽广——能够尽可能地避免损害必要的命题与定理，保持数学原貌；足够自然——能够提供哲学解释，阐明其非特设性。

按照哈克的标准，上述三个原则实质上可归约为两个标准：形式上的解决和哲学上的解决。“足够狭窄”和“足够宽广”属于形式上的解决，“足够自然”属于哲学上的解决。形式上的解决容易实现，但哲学上的解决却难以达到。所谓哲学上的解决，其大致意思是：“阐明被拒绝的前提或原则，其相对于所独立存在的拒绝理由（即该理由独立于其导出的悖论），是存在缺陷的。”（[10]，第139 页）换言之，前提的虚假性只能通过内在证伪而非外在证伪的方式实现，理应寻求充分的哲学依据。这两个标准存在着紧密的联系，哲学上的解决为形式上的解决提供指导，形式上的解决检验和评价哲学上的解决。对于哈克标准，有学者认为，其做法较罗素和策墨罗更有深度、更系统，但仍然不够清晰。

如果是这样，那么有必要略览康蒂（L.Conti）在[4]中的新阐释，他区分了解释悖论和解决悖论两个维度。解释悖论就是识别似乎可接受的前提或不可接受的结论所存在的缺陷，而解决悖论的关键在于使如此之前提或结论被接受。具体而言，“解释一个导出的矛盾，应当完成在其必要前提中选择有问题的前提和识别其明显缺陷的双重任务。相应的解决方案应该通过改变所选择的前提来实现这种解释所提供的指示，以消除其缺陷。”（[4]）由此可知，解释悖论本质上就是哲学上的解决，解决悖论则蕴含着形式上的解决。

以RZH 为基点，结合集合论的学科特殊性以及解悖方法论的研究实况，我们试图进一步澄明相关的标准。具体而言，一方面，“足够宽广”标准实际上是基于集合论的数学基础地位及其在数学实践中的作用提出的，因而我们将“足够宽广”标准称为数学实践标准。另一方面，在形式标准中，研究者们主要关注“足够狭窄”，却鲜有论及“足够宽广”，而且“足够宽广”显然是集合论悖论特有的标准。鉴此，我们考虑将“足够宽广”从形式标准中分离出来，而形式标准将只指代“足够狭窄”。因此，我们形成了本文所遵循的三条稍微不同的标准：形式标准、哲学标准和数学实践标准。其中，前两者直接关乎悖论，而后者本质上与解悖无关，因而在满足顺序上，用罗素的话来说，形式标准和哲学标准必须满足，数学实践标准最好满足。另外，本文所述的解悖方法论几乎都未论及数学实践标准。在这种情况下，本文将只以形式标准和哲学标准为参照，仅在结论部分对数学实践标准进行简要探讨。

2 解决集合论悖论的主要方法论

根据悖论的基本结构，可将相关解悖方法论的探索概括为四要素解悖策略。关于悖论较为统一的理解是，“从表面上可接受的前提出发，通过表面上可接受的推理得出表面上不可接受的结论。”（[16]，第1 页）由此可知，悖论由三个要素组成：“正确的推理、真实的前提和虚假的结论”（[12]，第6 页）。悖论的出现表明，要么前提或推理存在缺陷，要么结论并非不可接受。据此奥林（D.Olin）在[12]中概括出三种解悖的方法论类型，库克（R.T.Cook）将其明确称谓为：拒绝前提、拒绝推理和接受结论。拒绝前提策略表明真实的前提实质上是错误的，拒绝推理策略揭示推理存在错误或不接受经典逻辑作为理论的基础，接受结论策略强调矛盾性结论并不矛盾或接受“真矛盾”的存在。后来库克又增加了拒绝概念策略，该策略涉及与前提或推理相关的一些概念，具体说来，所谓的拒绝概念策略就是以其他方式拒绝一个或多个涉及该论证的概念是不连贯的或有缺陷的。（[6]，第20 页）由此最终形成了四要素解悖策略。

从悖论的结构维度来看，集合论悖论的解悖方案也包含于这四大策略。其中类型论、公理化集合论ZFC 等都属于拒绝前提策略，直觉主义集合论、弗协调集合论属于拒绝推理策略，而弗协调集合论同时也是承认“真矛盾”的接受结论策略的典型案例。2这里所列举的都是具体的解悖方案，其中除了罗素的类型论有其对应的方法论原则VCP（详见下文2.1 节），其他的方案实质上都只有一个基本的解悖思想的指导，并未明确提出具体的解悖方法论。相较而言，拒绝推理和接受结论策略实质上都修改了经典逻辑，远离了康托尔的朴素集合论，而且它们都未在方法论层面上进行过探讨，而拒绝概念策略在集合论悖论的解悖过程中鲜有论及。因此，正如库克所说：“大多数解决集合论悖论的方法都等同于拒绝前提策略。”（[6]，第124 页）然而，在拒绝前提策略中似乎又逐渐形成了定性与定量两条不同的进路。在这两条进路上，本文将简述的解悖方法论直接或间接地相关于集合论悖论。

2.1 定性进路：恶性循环原则和统一解原则

罗素基于对集合论悖论的研究发现，恶性循环是悖论的共同结构特征。普里斯特（G.Priest）将此思想以更直观的方式阐述为所谓的罗素模式或封闭模式（Inclosure Schema，简称IS）。具体内容如下：给定一个性质φ和一个函数δ，考虑如下两个条件：

(1)w={x:φ(x)}存在

(2) 如果x是w的一个子集：

(a)δ(x)∈/x

(b)δ(x)∈w

其中(2a)是超越条件，(2b)是封闭条件。（[13]）

事实上，罗素模式所表达的恶性循环思想较早由理查德（J.Richard）提出，后来庞加莱（J.Poincaré）将其称谓为“非直谓性定义”，也就是自指定义，他将恶性循环视为产生集合论悖论的主要根源。（[19]）罗素接受了庞加莱的观点，并由此提出了著名的解悖方法论：恶性循环原则（Vicious Circle Principle，简称VCP）。该原则强调没有一个总体能够包含只能用该总体所定义的那些成员，其旨在为所有自指悖论提供统一的解悖方法论。可以说，这是关于集合论解悖方法论的最早研究。

此外，较早对悖论进行分类型解决的是拉姆齐（F.Ramsey），他把悖论分为集合论悖论和语义悖论（[14]）。集合论悖论通过简单类型论解决，而以说谎者悖论为代表的语义悖论则通过分支类型论解决。显然，拉姆齐是一个温和的相对主义者，他已然认识到同一类型的悖论存在相同的解悖方法。特别地，他已经将集合论悖论作为一个独立的悖论类型进行处理。遗憾的是，他只提出了具体的解悖方案，并未论及一般方法论。但是，他的分类解悖思想对后继研究者产生了重大影响。而且其分类标准后来也被证明具有一定的合理性，但在当时并未得到认同。

普里斯特认为，拉姆齐的分类界限模糊，语义悖论中也存在自指现象，罗素模式才是悖论的真正根源。鉴此，他基于罗素模式和拉姆齐的分类思想来划分悖论类型，而且相较于罗素而言，普里斯特视角下符合罗素模式的悖论以集合论悖论为主体但不仅限于此。最后，他提出了解悖的方法论——统一解原则（Principle of Uniform Solution，简称PUS）：“同样的悖论，同样的解决方法。”（[13]）该原则强调悖论的类型与解悖方法之间的关系，相同类型的悖论具有相同的解悖方法，不同类型的悖论理应具有不同的解悖方法。

IS 和PUS 提出后遭到了吉尼斯（I.G.Guinness）、阿巴德（J.V.Abad）、库克等人的责难。吉尼斯认为，由PUS 所产生的元哲学问题需要得到解释，尤其是结构优于指称、弗协调逻辑优于其他逻辑的问题。同时，为什么一个共同的结构应该决定不同语境下的悖论的解决方法呢？据此他提出了语境类型解决方案，即“每一个悖论都有它自己的语境和内容，这些决定了做出的反应和提出的解决方案。”（[9]）阿巴德也认为罗素和普里斯特的结构描述存在局限，IS 未能为自指悖论的存在提供一个充分条件，在解悖时我们仍需考虑不同悖论的语境。“无论是IS还是（假定）任何一个能被一个悖论族满足的结构描述，都不能强加一个确定性的解决方案。这是由于这样的事实，即任何悖论背后的问题都不能仅仅从结构或语法方面来描述。它们涉及到我们对一个给定论证情形的信念和看法：其前提的内容和真实性，结论的虚假性以及推论的有效性。”（[1]）显然，吉尼斯和阿巴德都坚持激进的相对主义立场，强调并不存在统一的解悖方法，每个悖论都有特定的解决方案。此外，库克以非循环悖论——雅布洛悖论（Yablo’s Paradox）为例对IS 和PUS 进行反驳，指出循环并非所有悖论的原因。因此，“我们确实需要放弃的想法是，我们可以对导致所有悖论的一种病状类型进行单一、全面的分析，至少如果这样的分析是基于循环的话。”（[5]）总之，由于IS 存在问题，因此基于此而提出的方法论也存在问题。

综上可知，罗素模式为集合论悖论的分析与解决提供了一个结构关系视角，这一定程度上有利于我们基于不同悖论之间所共有的结构特征而提出一种统一的解悖模式，VCP 和PUS 的产生就是最好的诠释。然而，我们也应该看到，虽然VCP和PUS 在形式技术层面上解决了悖论，但是其在哲学解释上并未取得成功，上述质疑已然充分说明了这一点。总体而言，其最大的问题是没有提供一个自然的哲学解释。例如，VCP 是通过主观性的本体论承诺来提供哲学说明的，即不承认“罗素集”“序数集”“基数集”等的存在，进而对于所采取的具体解悖方案也就无法给予非特设性说明。所以，基于罗素模式的方法论探索并不成功。

2.2 定量进路：主观概率模式与信念修正模式

近年来，有学者试图用概率逻辑与认知逻辑中的相关思想研究悖论，我们可以尝试将其视为从定量维度来研究解悖方法论的新进路。当然他们在解悖方法论上似乎坚持一种绝对主义立场，因为其研究不仅限于集合论悖论，而是试图为所有悖论提供统一的方法论。下面将介绍两个较为新颖的解悖模式：主观概率模式和信念修正模式。这两个模式虽然并非为集合论悖论专门铸造，但它们一般都会以集合论悖论为典范案例加以分析，而且集合论悖论的产生与直觉、信念直接相关，所以将它们置于集合论悖论视域下，作为集合论悖论的一种解悖方法论似乎更科学合理。下面就此进行简要短评。

第一种方法论是由库恩左（M.Cuonzo）提出的贝叶斯主观概率解悖模式，其思想来源于概率逻辑。它揭示了悖论产生的原因是直觉的错误，解悖方法就是对直觉进行再培养（reeducation），解悖过程就是降低命题概念的过程。他说：“我们也看到，悖论的解决方法可以视作是指向悖论的一部分，然后表明应该降低悖论的主观概率。”（[8]，第42 页）显然，该模式是通过概率对命题信念进行量化处理，从而为悖论的解决提供一个方法论。值得注意的是，其还试图以信任度作为核心概念来实现哲学上的解决。但信任度本身具有较强的主观特设性，而且具有相同信任度或相同概率的前提如何选择？这必然使其陷入困难。如果诉诸更低层次命题的概率或信任度，必然导致无限倒退或先验论；该问题的最终出路又不得不回归到对终极哲学解释的寻找。因此，虽然这一方法论在视角上具有很大的创见性，但它仍然不能为所放弃的前提提供有效的辩护与合理的解释。

第二种方法论是由袁永锋和张建军提出的信念修正模式，他们认为悖论本质上是一种信念矛盾，解悖的过程就是信念的修正过程。具体而言，悖论的形成、发现与解决实质上是一种膨胀–巩固模式的信念改变过程。（[22]）同时，他们试图以高置信度的核心信念作为前提集中命题缺陷的判据，此核心信念一般来源于先验真理和经验真理，而且特别强调在解决纯粹的逻辑悖论时可以只把逻辑–数学先验真理作为核心信念。“但受直观性干扰，似然前提的内在缺陷是难以寻找的，从而其所违背的先验真理或经验真理都是难以发现的。”（[22]）这揭示了信念修正模式似乎只是将前提缺陷在哲学解释上的困难转移到由诸多信念构成的信念集中，简言之，将对前提集中前提的客观选择演变成了对信念集中信念的客观选择。但是，置信度是一个主观性标准，而且如何选择核心信念在真实的解悖实践中也存在重重困难。值得一提的是，他们在以罗素悖论作为典范案例时，试图诉诸集合与外延之间的关系为一个所谓的外延之外的对象不是集合提供非特设性哲学说明。3关于这一解悖方法论和罗素悖论的案例分析，具体参见[22]，第22–24 页。他们表明由于一个对象超出了一个谓词的外延，因而该对象不是集合。事实上，这一论证已经特设性地预设了“任何谓词都有外延，并且只有集合才是谓词的外延。”因此，这一方法论虽然给我们提供了一个解悖的新视角，但似乎也难以摆脱特设性的困扰，无法完美实现哲学上的解决，它注定只能是一种“理想化”的解悖模式。

由上分析可知，无论是定性还是定量进路上的解悖方法论都在哲学解释上存在困难。当然，达到哲学上的解决难度较大，但也并非不可实现。雷歇尔就曾深入哲学内核，提出了一个解悖方法论，其包括两个原则：有效识别要求（Valid Identification Requirement，简称VIR）和成功引入原则（Successful Introduction Principle，简称SIP）。对集合论悖论而言，这可谓是解悖方法论探索史上的一个重大突破。

3 解决集合论悖论的雷歇尔方案

雷歇尔撰写的《悖论及其根源、范围与解决》（[15]）一书旨在为所有悖论提供一个一般解悖方法论，但是他的这一尝试最终被证明并不成功。事实上，雷歇尔不仅提出了面向所有悖论的解悖方法论，他还特别提出了关于解决集合论悖论的一般方法论，这一点显然已被研究者们忽视了。他在该书的序言中开篇明义地强调VIR 和SIP 是解决数学悖论4根据雷歇尔在数学悖论的章节内容来看（详见[15]第十章，第159–190 页），他所论述的数学悖论实质上就是集合论及其相关悖论。的重要创新方法。不仅如此，他还特别说明，虽然哲学上的解决是一个艰难的挑战，但是VIR 和SIP 是很有前景的方法论。他说：“准确地确定如何解决问题——也就是说，为消除困难所需的具体步骤提出一个有说服力的基本原则——往往是一个巨大而困难的挑战。……在这方面，通过尊重适当的识别和引入条件来避免空指称似乎是一个很有前景的设想。”（[15]，第189–190 页）具体而言，VIR 实现了哲学上的解决，SIP 达到了形式上的解决，两者的结合构成了集合论悖论的解悖方法论。

3.1 有效识别要求

雷歇尔认为所有的集合论悖论都根源于一个共同原因：无根据预设（unwarranted presupposition），即“不适当地预设了某些事实上不存在的事物存在。”（[15]，第189 页）他曾以康托尔悖论为例，和大多数研究者一样认为，朴素集合论中的概括原则存在问题。但目前的解悖方案都因不同程度地未满足哲学标准而被诟病。雷歇尔力图实现哲学上的解决，他强调解决悖论要注意某些前提出错的地方与出错的方式。最终发现集合论悖论根源于无根据预设，所有的集合论悖论都是一种无根据预设悖论。据此，“我们很容易提出一个避免悖论的建议：‘禁止做无根据预设’。然而，此种同义反复的做法毫无帮助。”（[15]，第190 页）因为我们很多时候可能并不知道在做无根据预设，悖论就是在如此之情形下产生的。换句话说，如果不知道一个对象是否是无根据预设对象，那么“禁止做无根据预设”这样的建议在具体的集合论实践中是无法实施的。因此，解悖的关键在于无根据预设对象的识别。

据此，雷歇尔提出了解悖的一般方法论原则——有效识别要求VIR。其基本原理是：“为了通过形式为‘满足条件C的x’的识别性描述将某物适当地引入讨论阶段，必须独立地预先确定该描述的唯一对象的可用性。”（[15]，第163 页）换言之，引入一个对象的前提是确定该对象已经存在，对象的存在是引入的必要条件，因为唯有存在的对象，方能赋予其有意义的性质。具体而言，包括两层逻辑涵义：一个对象的存在不必然导致该对象被引入，一个对象不存在则必然不能被引入。从解悖方法论视角来看，他更强调第二层涵义的作用，因为悖论源于无根据预设，只要无根据预设对象被识别，悖论产生的原因就被找到，悖论也随之迎刃而解。但是雷歇尔的思想似乎更深刻，VIR 的作用不仅限于已存悖论的发现与解决，其似乎更强调悖论的预防。因为一个不存在的对象不能被引入讨论，抑或不能被提及，因此悖论必然不可能由此而生。

对于如何识别无根据预设对象，雷歇尔诉诸的是逻辑和数学分析的方法，其中最重要的一个是反证法，但是他并未对该方法进行详细阐释。所谓的反证法，是指通过假设与欲证论题的矛盾论题成立，推导出矛盾结论，进而说明反论题为假，再根据排中律得到欲证论题为真。为了更好地理解反证法的作用，我们先来看看它在悖论发现过程中所扮演的角色。以罗素悖论为例，罗素构造了一个由所有不属于自己的集合构成的集合R={x| x∈/x}。现在的问题是R是否属于它自己？如果R ∈R，由于R中的所有元素x都满足条件x∈/x，那么R∈/R，这与R ∈R矛盾。相反，如果R∈/R，由于R中的所有元素x都满足条件x∈/x，那么R ∈R，这与R∈/R矛盾。无论R是否属于自己都会导致矛盾。这就是罗素悖论。在该论证中，反证法仅用于揭示悖论，并未对对象R形成任何断定，对于R是否是集合、是否存在等问题，我们无从得知。

然而，从雷歇尔的视角来看，他从悖论的证明过程中发现了一个更为深刻的问题，即悖论的产生是由于假设了R的存在。根据VIR 原则，唯有存在的对象才能被引入，无根据预设对象无法进入讨论阶段。因此，他将反证法用于无根据预设对象的识别。按照他的思路，我们可以将罗素集R的存在性证明构造如下：假设R存在，如果R ∈R，由于R中的所有元素x都满足条件x∈/x，那么R∈/R，这与R ∈R矛盾。相反，如果R∈/R，由于R中的所有元素x都满足条件x∈/x，那么R ∈R，这与R∈/R矛盾。所以R不存在，它是一个无根据预设对象。

上述两个证明表面上相似，实质上存在显著区别。从形式结构上看，第一个证明较于第二个而言，缺少了开头关于R的存在性假设与结尾关于R不存在的结论。如果按照文兰基于反证法的视角为悖论提供的新解释：“悖论是反证法的掐头去尾”（[20]，第9 页）。5文兰从反证法视角对悖论的解释与雷歇尔利用反证法证明无根据预设对象具有高度一致性，但是两人在思想发展上看不出存在相互借鉴的情况，他们都是独立提出和发展的。其中“头”指的是反证法开头明确宣示的假设，而“尾”指的是反证法结尾处关于该假设不成立的结论。具言之，悖论就是反证法删除开头的假设和结尾的结论剩下的中间段，解悖就是找到处于反证法开头的假设，但是该假设通常是隐蔽的。（[20]，第4–10 页；[21]）基于文兰的解释，第二个证明是一个完整的、标准的反证法样式，而第一个证明则是第二个证明（反证法）的掐头去尾；第一个证明表明了悖论的存在，第二个证明则揭示了悖因并解决了悖论。

从关注问题来看，罗素集R被构造出来后，在第一个证明中，我们关注的是它的性质，即R是否属于自己。而在第二个证明中，我们首先关注其存在问题，在假设R存在的前提下，再合法地关注其性质。之所以产生如此之差异，原因在于雷歇尔认为“只有当我们知道所讨论的‘它’是什么时，我们才能有意义地将任何描述性特征归于它。”（[15]，第173 页）所以，从雷歇尔的立场来看，第一个证明似乎是存在问题的。

进一步说，悖论只能表明问题的存在，但具体症结何在？我们并不清楚。因此，基于不同的悖因分析，也就产生了不同的解悖思想与解悖方案。有人认为诸如罗素集这类集合太大而不能存在，在这样的理念下产生了类型论、ZFC 等。有人认为根据造集原则构造的对象都是存在的，但应该进一步区分集合和真类，这些“太大的集合”本质上是真类。悖论根源于将真类作为其他类的元素，据此就产生了公理集合论系统NBG。此外，康托尔还区分了一致多重体（consistent multiplicities）和不一致多重体（inconsistent multiplicities），并规定只允许一致多重体的存在。这些举措实质上都有一个共同特征：它们都主观地断言对象的存在问题，诉诸的是形而上学的本体论承诺。如VCP 虽然指导了类型论的成功构建，但却隐性地规定了不存在“太大的集合”。因此，它们都未提供一种充分自然的哲学说明。

反观雷歇尔的VIR，其并非主观地规定某物的存在或不存在，而是诉诸分析性的逻辑或数学方法对对象加以客观性识别。正是奠基于这类客观性方法，使得该原则既提供了合理的哲学解释又阐明了非特设性要求。但是VIR 仅仅提供了哲学解释，并未论及形式技术标准上的方法论。这就涉及到成功引入原则SIP。

3.2 成功引入原则

总体而言，如果VIR 满足了哲学标准，SIP 则满足了形式标准。SIP 的基本原理是：

如果要有意义地将一个对象引入讨论阶段，则引入描述不得假定该对象已经存在。即如果要通过一个定义描述将某物引入讨论，该描述采取的识别形式是“（唯一的）对象x为Cx所获得”，那么这个识别描述C不得指称或量化那个对象本身——无论如何间接。（[15]，第165 页）

换言之，一个对象的识别条件一定不能直接或间接地自我指称，禁止自指是成功引入对象的前提条件。具体而言，包括两层逻辑涵义：禁止自指不必然成功引入对象，自我指称一定不能成功引入对象。就解悖方法论而言，其强调后者的作用，因为一个对象只要存在自指，则该对象无法被引入。依据VIR 该对象就是无根据预设对象，只要它无法被引入，悖论便得以化解。例如，罗素集R的条件描述是“所有不属于自己的集合构成的集合”。当讨论R时，无论是讨论R ∈R抑或R∈/R，在该条件描述中都存在自指现象，这违反了SIP 的要求。

不难发现，SIP 与VCP 似乎存在很大的相似性，因为两者在形式上都强调禁止自指。但雷歇尔却认为SIP 与VCP 完全不同，前者是一个纯方法论原则，后者是一个本体论原则。他说：“这里通过成功引入原则（SIP）所设想的论证路线与罗素的VCP 是完全不同的，尽管它完成了几乎相同的工作。因为它不解决什么类型的集合或收集存在或不存在的本体论问题。”（[15]，第173 页）然而，康蒂尼（A.Cantini）声称这两个原则都很模糊，难以区分。西翁（A.Sion）则持一种相对温和的观点，“对罗素而言，由自我指称所定义的类是不存在的，而对雷歇尔来说，我们甚至不能开始使用或讨论这样一个类，因为它好像什么都没有说。在我看来，这两种观点都是正确的。”（[17]）这些不同的观点与争论，哪一种才是合理的？

要对其进行回应，我们有必要进一步理解VCP 和SIP 的关系。关于VCP，至少就罗素而言，它是一个解悖的语法与形式原则，同时还具有很强的哲学动机。基于前一方面可以将VCP 理解为一个方法论原则，基于后一方面可以将其理解为一个本体论原则。因此VCP 是一个集本体论与方法论为一体的解悖原则。而SIP 作为一个纯方法论原则似乎是毋庸置疑的，因为它只是在形式上提出了一个描述规则，而且其本体论或哲学解释工作是依靠VIR 独立实现的。据此推知：SIP 是一个纯方法论原则，而VCP 是本体论与方法论的统一体。基于这一认识，我们能否将VCP 等同于SIP 和VIR 的结合呢？答案是否定的。因为这种等同仅仅是表面上的，它们实质上并不相同。具体而言，虽然SIP 和VCP 都提供了一种形式上的解悖方法论，但两者在哲学解释上完全不同，SIP 依赖于具有非特设性的VIR，而VCP 诉诸的是主观性的本体论承诺，这也正是VCP 遭到质疑与责难的重要原因。因此，雷歇尔视SIP 为一个纯方法论原则、VCP 为一个本体论原则抓住了彼此之间的本质区别，但忽略了其密切的联系。而康蒂尼将它们都视为模糊的，似乎不成立。真正中肯的评价来自西翁，他不仅认识到了自指所定义的无根据预设对象的非存在性，还看到了雷歇尔的方法论在预防悖论上的深刻作用。

综上所述，VIR 作为哲学层面的一般方法论，其不涉及本体论承诺，具有明显的非特设性。SIP 作为形式层面的一般方法论，它是VIR 的推理后承。VIR 识别事物的存在，SIP 描述存在的条件。这两个原则的有机结合为集合论悖论的解决提供了一种成功的方法论。

这一方法论对集合论悖论的整体解决思路是：仍以罗素悖论为例，所有不属于自己的集合构成的集合R={x|x∈/x}。首先，根据VIR 原则，该对象被识别失败，换言之，罗素集R不存在。其次，罗素集R也无法成功引入讨论阶段，因为引入描述“所有不属于自己的集合构成的集合”违反了SIP 原则，无论是讨论R ∈R抑或R∈/R，在该条件描述中都存在自指现象。因此，无论是基于哲学标准还是形式标准，罗素悖论都得以有效化解。

4 雷歇尔方案的疑难审思与问题弥合

虽然VIR 和SIP 为集合论悖论的成功化解提供了一种更自然、非特设的方法论，但它也存在一些不足与问题。概而言之，VIR 的最大遗憾莫过于普适性识别方法的缺失，而SIP 遭遇到禁止一切自我指称所带来的疑难。

4.1 有效识别要求之识别方法

雷歇尔在根据VIR 识别对象的存在性时，隐约地提及一些识别方法。例如，在判定全集时说，集合论的幂集定理表明该集合不存在；而在论及罗素集时说，罗素集的论证表明该集合不存在。从中可以发现，根据其仅以只言片语描述识别方法，折射出他未认识到识别方法的重要性。毋庸置疑，VIR 在哲学标准上的成功，关键在于非特设性的哲学说明，即无根据预设，而无根据预设对象的识别依赖于识别方法的客观性。因此，识别方法的重要性不言而喻。为弥补该缺憾，除引入上文中提及的反证法6反证法及其在识别无根据预设对象上的应用，在上文中已经作了详细介绍，这里不再赘述。外，本文还打算介绍另一种普适性方法——生产性原则（productivity principle）。

这一方法与袁永锋和张建军（[22]）在罗素悖论的解决中所采取的方法极其相似，正如上文所说，他们通过诉诸外延与集合之间的关系，揭示超外延对象不是集合。他们的方法的确非常适用于无根据预设对象的识别，但由于其中涉及到谓词、外延以及集合之间的复杂关系，要真正厘清其中的内在关联是困难的。7事实上，关于谓词、外延与集合之间的关系，是否所有谓词都有外延，谓词的外延是否一定是集合，类尤其是真类是否可作为谓词的外延。这些主题在集合论悖论的研究中已经产生了很多成果，但似乎并未最终达成共识。相较而言，生产性原则与其原理非常相似却简单很多。所以，本文就该识别方法做一个简要介绍。

生产性原则是由乔利纳（B.Čulina）提出的一种区分集合和悖论类（真类）以及显示不允许真类存在的逻辑机制。为了理解该原则，我们首先要弄清乔利纳对集合和类的定义，他并非直接在一阶逻辑语言L={∈}中定义，而是区分了两种语言L={∈}和LL={∈}，利用LL={∈}进行定义。之所以如此设计，是因为在LL中比在L中定义更简单。LL与L有相同的词汇表，只是解释略微不同，其对象是类，可表示为集合的类称作集合，其他的称作真类或悖论类。基于此他将集合和真类定义如下：

(1)A是一个真类或悖论类当且仅当∀X(A∈/X)。

(2)A是一个集合当且仅当A不是一个真类。（[7]）

由该定义可知，乔利纳的做法与NBG 非常相似，区分了真类与集合，而且真类不能作为其他类的元素。定义(1)表明真类不能作为其他类的元素，定义(2)表明不是真类的类则是集合，真类与集合之间是非此即彼的关系。

基于此，乔利纳提出了生产性原则，“根据这一原则，悖论类正是那些有生产性选择的类，即为类的每个子集s选择一个在s之外的类的对象c的方法。”（[7]）

在语言LL中，该原则可描述为如下命题：

命题1([7]).C是一个真类，当且仅当对于任一集合s ⊆C，存在x ∈Cs。

也就是说，如果C是一个真类，则对于C的任意子集s，能在属于C但不属于s的范围内找到一个对象x；反之，如果对于C的任意子集s，能在属于C但不属于s的范围内找到一个对象x，则C是一个真类。

由于该原则本质上是区分真类与集合的一种方法，如果要把真类识别为不存在、集合识别为存在，终究还将诉诸本体论承诺，即规定集合存在而真类不存在。如果诉诸此路径，势必又会陷入特设性困境，致使VIR 的失败。因此，VIR 作为一种非特设性的方法论原则，生产性原则无法直接为其所用，我们需要略微改进。既然真类是一种无根据预设对象，集合论悖论根源于预设了真类的存在。因此，解悖的关键在于该对象被识别失败，也就是表明其不存在。据此，作为VIR 识别方法的生产性原则在语言LL中理应描述为如下命题：

命题2.C被识别失败，当且仅当对于任一集合s ⊆C，存在x ∈Cs。

也就是说，如果对于C的任意子集s，能在属于C但不属于s的范围内找到一个对象x，则C被识别失败（即C不存在）。同时，如果对于C的任意子集s，不能在属于C但不属于s的范围内找到一个对象x，则C被识别成功（即C存在）。

以最大序数悖论为例，我们用Ω 表示全体序数所构成的序数类，假设存在一个由所有序数构成的集合A ⊆Ω，同时产生一个与A对应的新序数δ，显然，δ ∈Ω且δ∈/A。即δ ∈ΩA。所以，根据生产性原则，Ω 被识别失败，抑或Ω 不存在。

4.2 成功引入原则之自我指称

SIP 作为一般解悖方法论原则，无疑是非常成功的。因为循环自指是悖论产生的形式因，所以禁止循环必然能消除悖论。但是，禁止一切形式的循环似乎难以做到。比隆（A.Billon）曾指出，即使能禁止显性循环定义也难以禁止隐性循环定义，而隐性循环与显性循环一样都会面临相同的困难，因此我们似乎无法全面禁止循环。（[3]）最重要的是，循环现象在我们的现实世界中并不罕见，如数学、逻辑学、情境理论以及人工智能等领域都存在各种各样的循环。所以，一刀切的做法会导致一些重要的循环现象无法得到刻画，有些重要的理论被排除。

例如，最著名的公理集合论系统ZFC，假如我们仅从循环角度来看，这个系统可视作SIP 方法论的实例化方案。在该系统中，由于只承认良基集合，反对非良基集合的存在，于是通过在系统中添加基础公理（或良基公理）FA 来杜绝循环现象。此举导致的直接后果是，该系统论域中的对象只有良基集合，而非良基集合未得到有效刻画。幸运的是，在阿采尔（P.Aczel）等人的努力下，构造了能够刻画循环现象的非良基集合论系统ZFA。这个系统是通过将ZFC 中的基础公理FA去掉，再添加反基础公理（或非良基公理）AFA 后得到的一个集合论系统。该系统的优势在于，不仅能刻画非循环性质的良基集合，还能刻画具有循环性质的非良基集合。关于非良基集合系统的重要性，巴威斯（J.Barwise）在为阿采尔的《非良基集合》一书做序时更是意味深长地说道：“非良基集合的AFA 理论是一个很好的理论，它在数学和符号系统中的应用充满了潜力。”（[2]，第xii 页）

由此可见，SIP 采取禁止一切循环自指的做法存在排除重要定理和重大理论的风险。所以，我们也许应该进一步区分良性循环与恶性循环。恶性循环需要得到全面禁止，而良性循环不仅不能禁止，还需要加以适当地刻画。

5 结论与进一步的讨论

关于集合论悖论的解悖方法论研究，似乎可概括为定性与定量两条进路。但无论是定性进路上的VCP 和PUS 还是定量进路上的主观概率和信念修正模式，它们都因未真正满足哲学标准而致使研究者们对其啧有烦言。在这种不乐观的背景下，雷歇尔提出的VIR 和SIP，可谓是目前最优的解悖方法论。它不仅实现了形式上的解决，而且实现了哲学上的解决。虽然雷歇尔的方案在识别方法和自我指称方面存在一些不足，但通过反证法和生产性原则的引入，良性循环和恶性循环的区分，这些问题将得到有效弥合。因而雷歇尔的方法论整体上是成功的。

截至目前，我们对雷歇尔方案的辩护实质上都只依赖于形式和哲学标准，并未涉及数学实践标准。那么在数学实践标准下，雷歇尔的方法论相较于其他方法论而言是否成功？当然，其他方法论由于深陷哲学解释的泥潭，从满足顺序来说，似乎根本无从谈起数学实践标准，某些方法论也确实并未将之纳入考虑范围。相较而言，雷歇尔的方法论已在前两个标准上取得了成功，因此我们可以尝试考察其在数学实践标准下的情形。在数学实践视角下，一个解悖方法论的成功似乎很难基于自身直接考量，其只能诉诸该方法论指导下所建立的具体理论的成功，即该理论在提供数学基础和促进数学实践方面的功用。由于雷歇尔的方法论在形式技术上体现为禁止自指，在这一原则的指导下似乎至少可以以类型论和ZFC 作为典范系统。因此，我们将通过考察这两个系统在数学实践上的成功来为雷歇尔解悖方法论在数学实践标准上的满足提供辩护。就ZFC 而言，其被选定为数学的正统基础似乎已经提供了最好的论据。具体而言，在逻辑主义、形式主义和直觉主义三大数学基础学派的竞争中，最后学界选择ZFC 作为数学的基础。因为ZFC 不仅可以消除已有悖论，也未发现新悖论；重要的是其保留了朴素集合论的核心内容，为经典数学提供了可靠的基础；而且其作为数学基础推动了数学的高速发展，集合论本身也逐渐成为了一门内容丰富的独立性学科。这一数学事实已然证明了雷歇尔方法论在数学实践标准上的成功。

对于类型论来说，近年来，随着定理机器证明的兴起，计算机深度参与到数学定理的证明与验证工作中，沃沃夫斯基（V.Voevodsky）在数学基础上提出了一种基于类型论的一价基础（Univalent foundations）计划（[18]），并与ZFC 形成了竞争态势。如果这一计划得以实现，必将推动数学更高程度的发展。已有的数学实践似乎已经提供了一些好的导向，如实验数学等新数学分支的产生，四色定理等复杂性定理的证明。因此，如果类型论成为数学的基础，这些已存或可能的数学事实都将再次表明雷歇尔方法论的成功。有人可能会问，类型论是VCP 指导下的直接成果，岂不是应该证明VCP 的成功吗？事实并非如此，虽然就数学实践标准而言VCP 似乎是成功的，但如前所述它在哲学辩护上已经失败了。总之，无论数学基础在VCP 和类型论中作何选择，这都将充分证明雷歇尔方法论的成功。

综上，无论是基于形式和哲学标准，还是新视角上的数学实践标准，我们现在都可以说：雷歇尔的解悖方法论是成功的。