初等类的一个注记

裘江杰

初等类是模型论中的一个核心概念。对于任意的结构类K，K是初等类，当且仅当它对初等等价与超积封闭。这是关于初等类的一个基本刻画定理，在许多模型论教材中都有介绍。国内模型论方面的专著偏少，姚宁远的《初等模型论》是新近的一部优秀的著作，除了对基本结果的介绍，对Morley 定理以及稳定理论等相对现代的内容也作了细致的梳理。《初等模型论》在介绍了关于初等类的上述基本刻画定理后，还给出了初等类闭包的构造，这种构造的思路清晰，并且似乎在其他的模型论教材中未见讨论，因此比较新颖，也有益于初学者理解初等类这一概念；但是书中给出的构造方法似有漏洞，这一问题可能是作者疏忽了“共尾”现象造成的，而一旦注意到这一点就容易对之修补。笔者在给出修补的过程中发现或许可以引入一个自然的概念“取κ超积闭”，利用这个概念，可以“优化”上述的刻画定理，完成对构造的修补，而且也得到了一些小的结果，特别是对“初等等价”有了更多的认识；在严格的意义上，这些小结果不能算是新的，因为利用已经有的命题可以相对直接地推出它们，不过，它们可能在别处未出现过1笔者搜索了几本常见的模型论教材，未发现有相关的讨论；这些都是微小的结果，不过发表出来对模型论学习者或有帮助。，因此笔者写此小文作此介绍。

本文里使用的记号与概念都取自《初等模型论》等常见的模型论作品，不过为了完整性，也会在合适的地方论述它们。本文的具体安排如下：首先，我们会重述初等类的这一刻画定理以及《初等模型论》中据此给出的对初等类闭包的构造方法，并指出该构造方法的问题；然后引入那个自然的概念，利用它进行修补；同时给出有关的几个结果。

先引入一些要用到的记号和概念。

定义1.

(1) 用L表示一个一阶语言；用T表示一个一致的理论，理论是对后承封闭的句子集，一致指其推不出矛盾；用M,N表示结构，相应的论域记为M,N；用K表示结构类。

(2) 对于一个对象S，用|S|表示它的基数，比如，|L|表示的是语言L的基数，反映的是L的公式的个数。

(3) 对于结构M，|M|=|M|，即用一个结构的论域的基数来代表相应结构的大小。

(4) 对给定的L结构类K，用Th(K)表示K的理论，即Th(K)={φ为L句子|对任意的M ∈K，M|=φ}；当K={M}为单元集时，也用Th(M)表示。

(5) 对给定的L句子集Σ，用Mod(Σ)表示Σ 的模型类，即Mod(Σ)={M为L结构|M|=Σ}。

定义2.

(1) 称一个L理论T是完全的，如果对任意的L句子φ，φ与它的否定¬φ中恰好有一个在T中。

(2) 设M,N是结构，称它们是初等等价的，记为M ≡N，若Th(M)=Th(N)。

(3) 设K为L结构类，称K为初等类，若有L句子集Σ 使得K=Mod(Σ)。

(4) 设K1,K2为L结构类，称K2为K1的初等类闭包，若K2 是初等类，K1⊆K2并且对任意包含K1的初等类K3，K2⊆K3。

首先可以给出一些简单的相关的结果，它们根据定义就可以得到。

命题3.

(1) 设K1,K2为L结构类，并且K1⊆K2，那么Th(K2)⊆Th(K1)。

(2) 设Σ1,Σ2为L句子集，并且Σ1⊆Σ2，那么Mod(Σ2)⊆Mod(Σ1)。

(3) 设K为初等类，那么K=Mod(Th(K))。

后文要用到的超积与超幂稍复杂一点，但它们也是基本的概念，一方面为了完整性，另一面为了简洁，下面不给出证明地列出后文要用到的定义与结果。

定义4.设I为一个指标集，U为I上的超滤，Mi（i ∈I）为一族L结构，它们模U的超积，也是一个L结构，记为∏称为这族结构的超积；当所有的结构Mi都是同一个结构M时，则记为∏称为M的超幂。

命题5.

(1) 设I为一个指标集，U为I上的超滤，Mi（i ∈I）为一族L结构，那么对任意的L句子当且仅当{i ∈I |Mi |=φ}∈U。

(2) 设I为一个指标集，U为I上的超滤，M为结构，那么M初等嵌入到进而

(3) 设I为一个指标集，若Σ 对取有穷交封闭，即对Σ 的任意的非空有穷子集那么有I上的超滤U，使得Σ⊆U。

如果把（是）初等类看作为结构类的性质，那么对照的，还有一些自然的性质，我们罗列在下面，在后文中会讨论它们之间的关系。

定义6.

(1) 设K为L结构类，称K对初等等价封闭，若对任意的L结构M,N，如果M ≡N，并且M ∈K，那么N ∈K。

(2) 设K为L结构类，称K对超积封闭，若对任意的指标集I，对I上任意的超积U，对任意的

(3) 设K为L结构类，称K对超幂封闭，若对任意的指标集I，对I上任意的超积U，对任意的L结构M，如果M ∈K，那么∏

(4) 设K为L结构类，称K对超幂反向封闭，若对任意的指标集I，对I上任意的超积U，对任意的L结构M，如果∏那么M也在K中。

(5) 设K为L结构类，称K对同构封闭，若对任意的L结构M,N，如果M ∼=N，并且M ∈K，那么N ∈K。

(6) 设K为L结构类，称K对子结构封闭，若对任意的L结构M ∈K，M的所有子结构也都在K中。

可以从蕴含关系来看这些结构类上的性质之间的关系，那么，对初等等价封闭是相对强的性质。

命题7.

(1) 设K为L结构类，如果K对初等等价封闭，那么K对同构封闭。

(2) 设K为L结构类，如果K对初等等价封闭，那么K对超幂封闭。

(3) 设K为L结构类，如果K对初等等价封闭，那么K对超幂反向封闭。

关于初等类，有一个基本的刻画定理，它相当于说，（是）初等类是结构类上强的性质，我们也不给证明地给出它的表述。

命题8([4]，引理2.3.1).

设K为L结构类，那么K为初等类，当且仅当K对初等等价封闭并且K对超积封闭。

推论9.

(1) 设K为初等类，那么K对初等等价封闭。

(2) 设K为初等类，那么K对超积封闭。

(3) 设K为初等类，那么K对同构封闭。

(4) 设K为初等类，那么K对超幂封闭。

(5) 设K为初等类，那么K对超幂反向封闭。

给定任意的结构类K，一定有它的初等类闭包。

命题10([2]，第12 页).设K为结构类，那么Mod(Th(K))是K的初等类闭包。

利用命题3 容易证明这个命题。首先，Mod(Th(K))是包含K的初等类；其次，假设Θ 也是包含K的初等类，那么据命题3(1)有Th(Θ)⊆Th(K)，再据命题3(2)有Mod(Th(K))⊆Mod(Th(Θ))，而Θ 为初等类，因此Mod(Th(Θ))=Θ，这样保证Mod(Th(K))⊆Θ。

文献[4]利用命题8，试图给出求取一个结构类的初等类闭包的“构造性”的方法，这一构造进路基于一种一般性的思路，概言之，它们有着这样的统一架构：对于具有某种特征的结构类（在这里是初等类），先确定可以进行构造“操作”的作为必要条件的特征（在这里是对初等等价封闭以及对超积封闭，当然还有别的，比如对取同构封闭等），然后确定其中的一些必要条件组合起来可以构成充分条件（在这里是，对初等等价封闭以及对超积封闭这两个必要条件组合起来构成了（是）初等类的充分条件）。最后，利用这种组合确定相应的，获得该特征的闭包的“构造性”的方法（这里是初等类闭包），它们通常是分解为若干个步骤实施的，在每一步“部分”落实某个必要条件，对几个组合成为充分条件的必要条件，进行交替的“部分”落实，最后综合起来，使得所有的必要条件最终都被落实，从而完成工作。

这种架构与思路具有方法论的意趣，因此它们本身就有着被独立探讨的意义，那么就本文的主题，初等类与初等类闭包而言，尽管我们已经有命题10 这一结果，但是，基于命题8，在这种架构与思路下发展相应的“构造性”的方法，仍然是值得讨论的。

文献[4]中给出了如下的求取一个结构类的初等类闭包的“构造性”的方法。

注记11([4]，注2.3.1).

设K为L结构类，如下构造一个结构类的序列Ki，i ∈N：

(1)K0=K；

(2) 若i为奇数2n+1，那么使Ki={N是L结构|有L结构M ∈K2n使得M ≡N}；

(3) 若i为偶数2n+2，那么使Ki={N是L结构|N是K2n+1中一族结构的超积}；

首先需要说明，这一构造方法在一些情况下是有效的。

注记12.当K={M}为单元集时，据命题10，K的初等类闭包为Mod(Th(M))={N | N ≡M}，这意味着注记11 中的构造只需要走一步就可以了，因此这时注记11 的方法无问题。

受到注记12 的启发，我们可以确定一类特殊的结构类，它们作为初等类的充分条件。

命题13.设K为L结构类，并且Th(K)是完全的，如果它对初等等价封闭，那么它是初等类。

证明是简单的，设K对初等等价封闭且Th(K)完全，任取M ∈Mod(Th(K))，取一个结构N ∈K，那么由于它们都是Th(K)的模型，并且由于Th(K)的完全性，N ≡M，进而由K对初等等价封闭得M ∈K，因此K=Mod(Th(K))。

注记14.与注记12 中的理由一样，对于给定的结构类K，如果Th(K)是完全的，那么注记11 的方法对获得K的初等类闭包也是有效的，并且同样只需要实施一步即可。

与命题13 对偶的，也可以考虑另外一边，对超积封闭，是否有类似的结果。

问题15.是否可以确定一类特殊的结构类，使得对超积封闭是它们是初等类的充分条件？

我们稍偏题对这个问题作一点初步的讨论。

首先，最平凡的一个答案是命题8 的一个变体：所有对初等等价封闭的结构类都如此；那么有意思的是本身无法推出对初等等价封闭的性质，下面的命题给出我们一个回答。

命题16([1]，推论6.1.16).设K为L结构类，如果K对超积封闭、K对超幂反向封闭并且K对同构封闭，那么K对初等等价封闭，从而K是初等类。

这个命题的证明依赖于所谓的Keisler–Shelah 同构定理：对于任意的L结构M,N，M ≡N当且仅当存在指标集I，存在I上的超滤U使得∏对同构定理感兴趣的读者可以参看文献[3]第13 章。

命题16 给出了对问题15 的一个回答；利用它所依赖的同构定理还可以得到对问题15 的一个回答。

命题17.设K为L结构类，K对同构封闭并且K对子结构封闭，那么对超积封闭是它们是初等类的充分条件。

证明是简单的，只需要说明这时K对初等等价封闭；任意取相互初等等价的L结构M,N，设M ∈K，那么据同构定理取到两个同构的L结构∏与对超积封闭，那么对同构封闭，那么；而N初等嵌入到∏那么N与的一个子结构同构，最终由K对同构封闭以及它对子结构封闭得到N ∈K。

注意，单单“子结构封闭+同构封闭”与“超幂反向封闭+同构封闭”这两个条件是不同的。2感谢匿名审稿专家指出这一点。另外，仅凭对“同构封闭”以及对“子结构封闭”不能推出对“初等等价封闭”，例如，令K={M是群结构那么K对同构封闭并且对子结构封闭，但是K不对初等等价封闭，自然K也不是初等类。

我们再回到注记11 上来。假若按照注记11 中的方法，得到的序列Ki（i ∈N）满足如下的条件：对任意非零的自然数那么这一构造则可能会失效。

对每个零自然数的n，取Mn-1∈K2nK2n-1。那么Mi（i ∈N）为¯K中的一族结构，取U为N 上的非主超滤，那么∏U Mi不能保证一定在¯K中，因此不能保证¯K是初等类，这时注记11 中的方法失效。

问题18.有具体的结构类，使得注记11 的方法（即进行可数无穷步构造）对它获得初等类闭包失效？

注记11 中方法可能失效的问题出在构造的“步数”太少了，使得无法保证一定能对取超积封闭，另一面，如果可以允许取任意“多”的结构进行超积构造的话，那么，不管构造的“步数”放多少长，都会遇到同样的问题，因此修补的关键在于，是否可以在命题8 中放松对超积构造的“规模”，由此自然引出如下的概念。

定义19.设κ是一个基数，K为L结构类，称K是取κ超积闭的，如果，对任意的λ ≤κ，对任意的基数为λ的指标集I，对I上任意的超积U，对任意的

依据这一定义，立即可以得到下面命题。

命题20.

(1) 设K为L结构类，若K对超积封闭，则对任意的基数κ，K是取κ超积闭的。

(2) 设K为L结构类，若K是取κ超积闭的，那么对任意的基数λ ≤κ，K是取λ超积闭的。

另一面，我们或许会怀疑，依基数的大小，取不同规模的对超积封闭，是否无法造成真正的差别？下面的例子表明，确实是有真正的差别的。

例21.令K={M是群结构则K是取ℵ0超积闭的，但是不对取(2ℵ0)+超积闭。

注意K是真类。

易见这个例子里的K不是初等类，并且也不对初等等价封闭，不过如前面看到的，它对同构封闭，也对子结构封闭。

利用取κ超积封闭这个概念，首先可以“优化”命题8。

命题22.设K为L结构类，那么K为初等类，当且仅当K对初等等价封闭并且K对|L|超积封闭。

证明实质上与命题8 的证明是一样的，不过为了完整性，我们在这里再“复述”一遍。只需说明，从右到左也成立。

设|L|=κ，设L结构类K对初等等价封闭并且K对κ超积封闭。

记T=Th(K)，只需要说明K=Mod(T)。K ⊆Mod(T)平凡成立，因此只需说明K ⊇Mod(T)。

任取结构M ∈Mod(T)，记I是由Th(M)的所有的非空有穷子集组成的集合，注意这时有|I|=|Th(M)|=|L|=κ。

子命题.对任意的i ∈I，存在Mi ∈K，使得Mi |=i。

反证，假设有i ∈I，使得对任意的N ∈K，都有N |=¬(∧i)，那么¬(∧i)∈T，而T ⊆Th(M)，这将得¬(∧i)∈Th(M)，矛盾。

对每个φ ∈Th(M)，令Aφ={i ∈I |φ ∈i}；记Σ={Aφ |φ ∈Th(M)}，易见Σ 对取有穷交封闭，因此有I上的超滤U，使得Σ⊆U。

由于K对κ超积封闭，因此

注记23.设K为L结构类，如下构造一个结构类的序列Kα，α<(|L|)+。

(1)K0=K；

(2)α是非零极限序数时，令Kα=∪β<α Kβ；

(3)α是后继序数，并且α=β+2n+1，其中β为极限序数时，

令Kα={N是L结构|有L结构M ∈Kβ+2n使得M ≡N}；

(4)α是后继序数，并且α=β+2n+2，其中β为极限序数时，

令Kα={N是L结构|有指标集I，|I| ≤|L|，有I上的超滤U，有Mi（i ∈I）为Kβ+2n+1中的结构，使得

另一面，假设有初等类Θ 使得K ⊆Θ，那么使用归纳法可证，对任意的α<(|L|)+，Kα ⊆Θ，这样就得∪β<α Kβ=⊆Θ，这就保证了是K的初等类闭包。

至此，已经完成我们的主要任务。接下来，稍展开一点，初步了解一下相关的结果，它们可以理解为对“对初等等价封闭”这个结构类上的性质的一些“面貌”的反映。

据例子21 可知，对于一个给定的结构类，当它对小的基数κ，对κ超积封闭时，对大的基数λ>κ，未必会是对λ超积封闭的；而推论9 与命题22 一道则使我们可以得到一个可以向上提升的充分条件。

命题24.设K为L结构类，并且K对初等等价封闭，若K对|L|超积封闭，则对任意的λ>|L|，K对λ超积封闭。

这个结果由推论9 与命题22 直接可以推得：首先，据命题22，可得K是初等类，然后据推论9，K对超积封闭。

就如前面所言，某种意义上，这反映了“对初等等价封闭”是一个结构类上强的性质。

一个自然的想法是，是否可以结合命题16、命题17 也得到这样的充分条件？

似乎是不可行的，其原因是这两个命题都实质性地使用了Keisler–Shelah 同构定理，这会使得对超幂，进而对超积无上界“多”的结构族的构造；与命题24相对照，这也从另外一个侧面反映了初等等价的“力量”。

同样的道理，无法“优化”命题16，把其中的对超积封闭“降”为对|L|超积封闭。

不过使用Keisler–Shelah 同构定理，可以得到“对初等等价封闭”的一个刻画。

命题25.设K为L结构类，那么K对初等等价封闭，当且仅当K对超幂封闭，对超幂反向封闭，并且对同构封闭。

最后留一个问题。

问题26.是否有自然的性质，使得对任意的L结构类K，只要K具有这种性质，则K可以把对|L|超积封闭提升为对超积封闭？