康托集合论为什么是错误的理论

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

康托集合论为什么是错误的理论

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

康托集合论的基本观点是，一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，或者说部分可以和全体相等，而这个观点正是康托集合论的一个定理的结论。因此，只要我们能够证明康托集合论的上述定理是错误的，那么，我们也就证明了康托集合论是一个错误的理论。本文首先根据客观事实对康托的上述定理提出质疑，然后详细地证明上述康托集合论的定理的证明是错误的，最后我们得出结论，康托集合论是错误的理论。

还有一点值得特别注意，众所周知，对于康托集合论的基本观点，即部分可以和全体相等，法国大数学家柯西却认为，部分和全体相等是自相矛盾的。本文就是证明了柯西是正确的，而康托尔则是错误的。

一、康托集合论关于“一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等”的观点存在的疑问

为了指出上述疑问，我们必须首先引述康托的上述定理及其证明以及为了这个定理的证明所必需的两个定义。现在将康托给出的这两个定义引述如下：

定义1：[0，1]的基数为c。

定义2：如果存在函数y=f（x）为集合A→B的一个双射函数，则集合A和B为一一对应的关系。

现在我们再将康托的上述定理及其证明引述如下：

定理，令a，b为实数，且a＜b，则[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。

证明：令y=f（x）=a+（b-a）x，显然f为[0，1]→[a，b]的一个双射函数，这就证明了[a，b]的基数也是c。

这个定理表明，一个无穷集合可以和它的真子集一一对应，部分可以和全体相等。下面我们将指出上面关于部分和全体相等的观点是存在疑问的。

根据上述康托集合论的观点，由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，所以无穷集合[0，2]和它的真子集[0，1]是一一对应的，并且[0，1]是[0，2]的一部分，由于它们是一一对应的，所以部分[0，1]和全体[0，2]是相等的。（这里的相等指的是，在函数y=2x的条件下，这两个集合是一一对应的，则它们的元素或者点的数目是相等的）现在令A=[0，1]，B=[0，2]。对于集合[0，2]，我们取出区间[1，2]中的无理数点，而只剩下有理数点，这时在区间[0，2]的[1，2]部分只剩下有理数点，令这样得到的在区间[0，2]上的点的集合为C。要注意，这时集合A=[0，1]依然是集合C的真子集，但是这时y=2x就不是集合A=[0，1]→C的双射函数了，或者说，集合A=[0，1]→C就不存在双射函数。这也就是说，有时候一个无穷集合和它的一个真子集之间就不存在双射函数，或者说在这种情况下，康托的上述定理就不能成立。

再有，我们来比较集合B=[0，2]和集合C，看哪一个集合的点的数目多，由于集合C是去掉了[0，2]的[1，2]部分的无理数部分，所以集合B=[0，2]的点的数目比集合C的点的数目要多。但是根据康托集合论的理论，由于集合A=[0，1]和集合B=[0，2]是一一对应的，因此它们的基数相等，即点的数目相等，于是，集合A=[0，1]的元素的数目或者点的数目就比集合C的元素或者点的数目要多。前面已经指出，集合A=[0，1]是集合C的真子集，这样就得出部分A=[0，1]大于全体C的结果。这个结果显然和康托集合论的上述定理关于部分和全体相等的观点是自相矛盾的。

根据以上的事实，我们完全可以怀疑康托集合论“关于一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等”的观点的正确性。下面我们就来证明康托集合论的上述定理的证明不能成立。

二、康托上述定理的证明存在的错误

1.错误之一

为了显而易见地看出康托集合论的上述定理在证明中存在的错误，我们再一次将康托集合论的上述定理及其证明引述如下：

定理：令a，b为实数，且a＜b，则[a，b]的基数等于[0，1]，即等于c。

证明：令y=f（x）=a+（b-a）x，显然f为[0，1]→[a，b]的一个双射函数，这就证明了[a，b]的基数也是c。

在上述定理的证明中，判断“令y=f（x）=a+（b-a）x，显然f为[0，1]→[a，b]的一个双射函数”是一个错误的判断，根据这个错误的判断得出的结果“这就证明了[a，b]的基数也是c”就不能认为是正确的结果，也就是说，上述定理的证明不能成立。下面我们就来证明这一点。

我们要考虑[a，b]的一个具体情况，即让a=0，b=2，现在让我们使用康托集合论的方法，即使用函数来判断[0，1]和[0，2]之间的对应关系。现在最重要的是要认识清楚下面的一个事实：即在[0，1]和[0，2]都在x轴上的时候，函数y=2x并不是[0，1]→[0，2]的一个双射函数，但是在[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上的时候，函数y=2x则为[0，1]→[0，2]的一个双射函数，而这个事实是显而易见的。根据上述的事实，我们可以进一步作出判断，即在[0，1]和[a，b]都在x轴上的时候，y=f（x）=a+（b-a）x并不是[0，1]→[a，b]的一个双射函数，但是在[0，1]在x轴上，[a，b]在y轴上的时候，f才是[0，1]→[a，b]的一个双射函数，也就是说，有时候，或者有的情况下，f并不是[0，1]→[a，b]的一个双射函数，而有的时候，或者有的情况下，f又是[0，1]→[a，b]的一个双射函数。显而易见，在康托集合论的上述定理的证明中的判断“令y=f（x）=a+（b-a）x，显然f为[0，1]→[a，b]的一个双射函数”是和上述客观事实互相矛盾的，因此是一个错误的判断，根据这个错误的判断作出的结论“[a，b]的基数也是c”就不能成立，因此康托集合论的上述定理的证明就不能成立，而根据这个定理建立起来的康托集合论的基本观点，即一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等的观点也就是错误的观点，因此康托集合论也就是错误的理论。

2.错误之二

对于上节论述的康托集合论的上述定理在证明中存在的错误，由于康托本人的粗枝大叶并没有发现。在康托看来，他根据他的两个集合间一一对应的定义对上述定理的证明是正确的，因为在他看来，他的两个集合间一一对应的定义无疑是正确的，但是事实上，这个定义又出了错误，那是为什么呢？下面我们就来讨论这个问题。

在上节我们已经指出，对于[0，1]和[0，2]两个集合，在[0，1]和[0，2]都在x轴上的时候，y=2x并不是[0，1]→[0，2]的一个双射函数，因此它们并不是一一对应的关系，而是非一一对应的关系。

但是，当[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上的时候，y=2x是[0，1]→[0，2]的一个双射函数，因此这时，[0，1]和[0，2]才是一一对应的关系。这时，我们还要注意到这样一个显而易见的事实，即在y=x的条件下，[0，1]和[0，2]却是非一一对应的关系。而[0，1]和[0，2]是两个实数点的集合，这是康托集合论的上述定理的前提；而两个实数点的集合不可能在一种条件下是一一对应的，而在另一种条件下就是非一一对应的。我们要特别注意的是，[0，1]和[0，2]在y=2x的条件下是一一对应的，但是在y=x的条件下却是非一一对应的，这是一个客观事实，而客观事实应该是我们进行推理和判断的基础。因此我们可以得出结论：使用函数（例如y=2x或者y=x）是不能正确判断两个实数点的集合是一一对应的还是非一一对应的。

现在，我们再引述一次康托的两个集合间一一对应的定义如下：令A，B为两个集合，如果存在函数f为A→B的一个双射函数，则A和B为一一对应的关系。

前面我们已经指出，使用函数是不能正确判断两个实数点的集合是一一对应的关系还是非一一对应的关系，而康托的两个集合间一一对应的定义就是使用函数来判断的，因此这个定义就是错误的。而康托就是根据这个定义来证明康托集合论的上述定理的，因此康托集合论的上述定理不能成立。

根据以上的论述，我们可以得出结论，康托的上述定理的证明不能成立，康托集合论的理论也就不能成立。

自然有人要问，为什么不能使用函数来判断两个集合间是否一一对应呢？这个问题比较复杂，我打算在另外的文章中给予回答。另外，使用超实函数的理论也能解决前面的问题，有兴趣的同志可以参阅我的论文“超实集合论”和“康托集合论存在的矛盾”。

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张喜安，1942年生，男，汉族，辽宁辽阳人，高级工程师，研究领域：集合论﹑微积分和数学哲学。从2000年发表8篇论文，代表作：“超实集合论”和“康托集合论存在的矛盾”。