小改编,大不同
——一道课本习题的改编历程

2017-06-05 15:11广东省惠州市惠阳区沙田中学
数学大世界 2017年13期
关键词:关系式切线课本

广东省惠州市惠阳区沙田中学 张 贝

小改编,大不同
——一道课本习题的改编历程

广东省惠州市惠阳区沙田中学 张 贝

一、改编题的来源

初中数学教材中有许多习题都蕴含着重要的数学思想和方法,对数学解题具有一定的导向作用,每一道课本习题都是经过编者不断推敲﹑揣摩的,蕴含着他们大量的心血。课本习题的教学是巩固学生双基﹑培养学生思维能力﹑提高学生解题能力的一条重要渠道,教学中,我们要善于对习题进行合理的变化和挖掘,我们将其改编是丰富原题内涵的有效途径,同时,在教学中将教材中的典型例题进行改编,既能够激发学生的学习兴趣,又能培养学生发现问题和解决问题的能力。我查找了平时教学中积累的典型习题,查阅了相关资料及近几年各地的中考题,特别是广东近几年的中考题,它们都是进行改编题的第一手资料。我最终选择以下习题进行改编,原题选自人教版《数学》(2009年3月第2版)九年级上册第24章第123页第14题。

原 题: 如 图1, ⊙O的 直 径AB=12cm,AM和BN是它的两条切线,DC切⊙O于E,交AM于D,交BN于C。设AD=x,BC=y,求y与x的函数关系式,画出它的图象。

图1

分析:本题以学生熟悉的圆与直角梯形为知识载体,主要突出对本章所学的核心概念(切线)和数学定理(切线性质及切线长定理)进行考查,涉及的知识点是最基础﹑最核心的数学知识。特别是图中所需的辅助线的构建,对发展学生的抽象思维,借助数学直观提炼基本图形所隐含的性质和结论有着重要的作用。

二、改编历程

1.初稿

如图2,⊙O的直径AB=12cm,AM和BN是它的两条切线,DC切⊙O于点E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BC=y。

(1)求y与x的函数关系式;

(2)用含x的式子表示求图中阴影部分的面积S。

解:(1) 如 图 2, 过 点 D作DF⊥BC于点F,

∵AM和BN是⊙O的两条切线,DC与⊙O相切,

∴AD=DE=x,BC=EC=y,

在Rt△DFC中, ,

图2

反思:课本习题考查的知识点较单一,综合性不强。改编后的题在图形上没有多大的变化,只是再添加了阴影部分,条件上没有增加新的条件,只是简单增设了一问。此题较原题就考查内容上有所丰富,增加考查了不规则图形的面积求法,涉及的知识点多,体现了一定的层次性针对。针对增加的第(2)问,在解答时发现,第(1)问为第(2)问解答做了铺垫,降低了题目的难度,使不同层次的学生的思维都得到了锻炼。习题中设问(1)(2)之间采取的是递进式的结构,采用递进式的结构能挖掘问题的深度。

2.磨稿

改编稿1:

如图2,⊙O的直径AB=12cm,AM和BN是它的两条切线,DC切⊙O于点E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BC=y。

(1)求y与x的函数关系式;

(2)用含x的式子表示图中阴影部分的面积S;

(3)当x,y满足何种关系时,S取得最小值?并求出最小值。

解:(1)如图2过点D作DF⊥BC于点F,

∵AM和BN是⊙O的两条切线,DC与⊙O相切,

∴AD=DE=x,BC=EC=y,

在Rt△DFC中,

反思1:此题在初稿的基础上增加了一问,增加的第(3)问让问题的设计变得更加有梯度,起到了引导学生思维的作用,增加的这一问仍然采取的是递进式的结构,巧妙地借助了设问(1)(2)的结论来解答,但美中不足的是在解(3)的时候用到了均值不等式,而这个内容在初中阶段来说是有超纲之嫌。

改编稿2:

如图2,⊙O的直径AB=12cm,AM和BN是它的两条切线,DC切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BC=y。

(1)求y与x的函数关系式;

(2)用含x的式子表示图中阴影部分的面积S。

(3)连接BE,当x为何值时,△BCE为等边三角形?并求当△BCE为等边三角形时图中阴影部分的面积。

解:(1)过点D作DF⊥BC于点F,

∵AM和BN是⊙O的两条切线,DE与⊙O相切,

∴AD=DE=x,BC=EC=y,

在Rt△DFC中, ,

(3)连接OE,过点O作OG⊥BE。

∵△BCE为等边三角形,∴∠EBC=60°,∴∠OBG=30°,在Rt△OGB中,

反思2:因为在改编稿1中的第(3)问存在超纲的嫌疑,所以在改编稿2中我否定了这种设问,再次改编后的(3)能够与(1)和(2)有更加紧密的联系,围绕着初中数学中常见﹑常考的等边三角形这个知识点,改编稿2继续进行着递进式结构,紧紧围绕着中考考纲,尽可能全面地考查学生的知识结构和能力。

总之,课本习题是编者精心设计和挑选的,具有典型性和探索性,所隐含的内容也相当丰富,现在很多中考题都能在课本中找到其原形。因此在教学中,教师要重视教材,吃透教材,钻研教材,加强对课本习题的挖掘,灵活使用习题,通过一题多变﹑一题多解把问题弄透,达到触类旁通﹑举一反三的效果,从而进一步提高学生的解题能力和探究能力,使教学达到“事半功倍”的效果。

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