拓扑空间中紧致子集的性质研究

黄 瑞

（阜阳师范大学数学与统计学院，安徽阜阳236037）

点集拓扑是一般师范院校数学类相关专业的必修课程，也是后继课程，如代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑等的基础。点集拓扑的研究对象是拓扑空间，一般地，可以从“开集”、“闭集”、“邻域”、“导集运算”、“闭包运算”、“内部运算”、“基”和“子基”8个角度定义拓扑空间，即拓扑空间有8种等价的定义，现在的点集拓扑教材[1-5]更倾向于从开集角度定义拓扑空间。自然而然开集就成为了拓扑空间中特殊的子集，除开集之外，拓扑空间中还有一些特殊的子集，如闭集、连通子集、连通分支、道路连通子集、稠密子集和紧致子集等。紧致子集作为拓扑空间中一类特殊的子集，对其性质的研究具有重要意义，文献[6-7]研究了实数空间ℝ中的紧致子集的等价刻画，文献[8-10]分别研究了度量空间、伪度量空间和超距空间中的紧致性，文献[11-13]则研究了各种紧致空间及它们相互之间的关系。本文将类比连通子集的性质，系统地研究紧致子集的一些重要性质。需要说明的是文中所用的概念、符号同文献[1]。

1 预备知识

定义1[1]已知拓扑空间(X,Γ)，若(X,Γ)的每一个开覆盖都存在有限的子覆盖，则称拓扑空间(X,Γ)是紧致空间。

定义2[1]已知Y是拓扑空间(X,Γ)的子集，若Y作为(X,Γ)的子空间是紧致空间，则称Y是拓扑空间(X,Γ)的紧致子集。

引理1已知拓扑空间(X,Γ)，A⊂Y⊂X，则A是(Y,Γ|Y)的紧致子集⇔A是拓扑空间(X,Γ)的紧致子集。

证明A是(Y,Γ|Y)的紧致子集⇔(A,Γ|Y|A)=(A,Γ|A)是紧致空间⇔A是拓扑空间(X,Γ)的紧致子集。

引理2有限集上定义的任意一个拓扑空间必是紧致空间。

证明 设X是包含n个点的集合，Γ为X上的任意拓扑，则Γ⊂2X，则拓扑空间(X,Γ)中至多包含2n个开集，由紧致空间的定义知结论成立。

引理3若拓扑空间有一个有限基，则这个拓扑空间必是紧致空间。

证明设Φ={B1,B2,B3,…,Bn}是拓扑空间X的有限基，Λ是拓扑空间X的任一开覆盖，则∀A∈Λ，存在ΦA⊂Φ，使得A=。

令Φ*=，则Φ*⊂Φ，且Φ*是拓扑空间X的有限开覆盖。∀Bi∈Φ*，存在Ai∈Λ，使得Bi⊂Ai，令Λ*={Ai∈Λ|Bi∈Φ*,Bi⊂Ai}，则Λ*是Λ关于拓扑空间X的有限子覆盖，由紧致空间的定义知结论成立。

由引理2，3易得拓扑空间中任意子集都是紧致子集的两个充分条件。

定理1定义在有限集上的拓扑空间中的任意子集都是紧致子集。

定理2若拓扑空间存在一个有限基，则该拓扑空间中的任意子集都是紧致子集。

证明已知拓扑空间(X,Γ)，Φ是(X,Γ)的有限基，∀Y⊂X，则Φ|Y为(Y,Γ|Y)的有限基，由引理3知(Y,Γ|Y)是紧致空间，从而得到Y是(X,Γ)的紧致子集。

值得注意的是，定义在有限集上和存在一个有限基不是拓扑空间中的任意子集都是紧致子集的必要条件，比如，有限补空间ℝ满足任意子集都是紧致子集，但它既不满足定义在有限集上，也不满足存在一个有限基。

引理4[1]紧致空间中的每一个闭集都是紧致子集。

引理5[1]Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集。

引理6[1]设A是正则空间中的紧致子集，U是A的开邻域，则存在A的开邻域V，使得Vˉ⊂U。

引理7[1]设拓扑空间X是Hausdorff空间，A、B是拓扑空间X中两个无交的紧致子集，则存在A的开邻域U，B的开邻域V，使得U∩V=∅。

引理8[1]已知拓扑空间X,则下列条件等价：

（1）拓扑空间X是不连通空间；

（2）拓扑空间X中存在两个非空的开集A、B，满足A∪B=X,A∩B=∅；

（3）拓扑空间X中存在两个非空的闭集A、B，满足A∪B=X,A∩B=∅；

（4）拓扑空间X中存在既开又闭的非空真子集。

引理9设Y是拓扑空间(X,Γ)中的非空连通子集，A、B是拓扑空间X中的无交开（闭）集，且Y⊂A∪B，则或者Y⊂A或者Y⊂B。

证明A、B是拓扑空间(X,Γ)中的无交开（闭）集，则A∩Y、B∩Y就是连通空间(Y,Γ|Y)中的开（闭）集，且(A∩Y)∩(B∩Y)=∅,(A∩Y)∪(B∩Y)=(A∪B)∩Y=Y。由引理8知，要么A∩Y=∅，要么B∩Y=∅。若A∩Y=∅，则B∩Y=Y，即Y⊂B；若B∩Y=∅，则A∩Y=Y，即Y⊂A。

2 紧致子集的性质

2.1 紧致子集的并是紧致子集的充分条件

定理3设A、B是拓扑空间(X,Γ)中的紧致子集，则A∪B是(X,Γ)的紧致子集。

证明设Λ是由拓扑空间(X,Γ)中的开集作成的A∪B的开覆盖，则Λ也是紧致子集A和B的开覆盖，于是Λ存在关于紧致子集A的有限子覆盖Λ1，关于紧致子集B的有限子覆盖Λ2，易见Λ1∪Λ2就是Λ关于A∪B的有限子覆盖，即A∪B是(X,Γ)的紧致子集。

由定理3的证明易得下面的定理。

定理4扑空间中有限个紧致子集的并仍是紧致子集。

注：拓扑空间中无限个紧致子集的并未必是紧致子集。

例1{[n,n+1]|n=1,2,3,…}是实数空间ℝ中的紧致子集族，但[n,n+1]=[1,+∞)不是实数空间ℝ中的紧致子集。

2.2 紧致子集的交是紧致子集的充分条件

定理5拓扑空间中紧致闭子集族的交仍是紧致子集。

证明设{Aγ}γ∈Γ是拓扑空间X中的紧致闭子集族，令=A，易见A是拓扑空间X中的闭集。取γ0∈Γ，则A⊂Aγ0，于是A∩Aγ0=A是紧致空间Aγ0中的闭集，由引理4知A是拓扑空间X的子空间Aγ0中的紧致子集，再由引理1知A是拓扑空间X中的紧致子集。

定理6Hausdorff空间中紧致子集族的交仍是紧致子集。

证明设{Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空间X中的紧致子集族，由引理5知{Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空间X中的紧致闭子集族，再由定理5知结论成立。

定理5、6给出了紧致子集族的交仍是紧致子集的两个充分条件。一般地，拓扑空间中紧致子集的交未必是紧致子集。

例2已知拓扑空间X是实数空间ℝ和平庸空间{0,1}的积空间，证明Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})和Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})是积空间X中的紧致子集，并说明Y1∩Y2不是积空间X中的紧致子集。

证明积空间X中的开集形如A×{0,1}，其中A是实数空间ℝ中的开集。设Λ是由积空间X中的开集构成的Y1的任意开覆盖，对于Y1中的点{0}×{1}，存在Λ中的开集A0×{0,1}，使得{0}×{1}∈A0×{0,1}，其中A0是实数空间ℝ中包含0的开集，易见{0}×{0}∈A0×{0,1}。对于Y1中的点{x}×{0}，x∈(0,1]，存在Λ中开集Ax×{0,1}，使得{x}×{0}∈Ax×{0,1}，其中Ax是实数空间ℝ中包含x的开集，易见{x}×{1}∈Ax×{0,1}。

综上，Λ还是由积空间X中的开集构成的Y1*=[0,1]×{0,1}的一个开覆盖。又[0,1]，{0,1}分别是实数空间ℝ和平庸空间{0,1}中的紧致子集，则Y1*=[0,1]×{0,1}是积空间X中的紧致子集，于是Λ存在关于Y1*=[0,1]×{0,1}的有限子覆盖Λ1。显然Λ1也是Λ关于Y1的有限子覆盖，故Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})是积空间X中的紧致子集。

同理可得Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})也是积空间X中的紧致子集。易见Y1∩Y2=(0,1)×{0}，而(0,1)不是实数空间ℝ中的紧致子集，故Y1∩Y2也不是积空间X中的紧致子集。

2.3 紧致子集的闭包是紧致子集的充分条件

定理7设A是正则空间(X,Γ)中的紧致子集，Y⊂X，满足A⊂Y⊂，则Y是正则空间(X,Γ)中的紧致子集。

证明设Λ是由正则空间(X,Γ)中的开集作成的Y的一个开覆盖，又A⊂Y，则Λ也是紧致子集A的开覆盖，于是Λ存在关于A的有限子覆盖Λ*={A1,A2,A3,…,An}，其中Ai∈Λ,i=1,2,3,…,n。

令U=，则U是正则空间(X,Γ)中的开集，且A⊂U，即U是A的开邻域，由引理6知，存在A的开邻域V，使得A⊂V⊂⊂U。

又Y⊂，故，即Λ*也是Λ关于Y的有限子覆盖，因此Y是正则空间(X,Γ)中的紧致子集。

由定理7易见正则空间中紧致子集的闭包仍是紧致子集。下面给出拓扑空间中紧致子集的闭包不是紧致子集的例子。

例3已知正整数集ℤ+，定义Γ={E⊂ℤ+|1∈E}∪{∅}，易见(ℤ+,Γ)是拓扑空间。令A={1}，则A是(ℤ+,Γ)中的紧致子集，证明Aˉ不是(ℤ+,Γ)中的紧致子集。

证明(ℤ+,Γ)中的开集是∅和包含1的正整数集ℤ+的子集，即(ℤ+,Γ)的每一个非空开集都包含1，故(ℤ+,Γ)不是正则空间。

(ℤ+,Γ)中的闭集是∅、ℤ+和不包含1的正整数集ℤ+的子集，即包含1的闭集只有ℤ+，因此Aˉ=ℤ+。令A1={1},A2={1,2},A3={1,3},A4={1,4}，…，则Λ={A1,A2,A3,…}是由(ℤ+,Γ)中的开集构成的ℤ+的一个开覆盖，显然Λ不存在关于ℤ+的有限子覆盖，因此(ℤ+,Γ)不是紧致空间，从而Aˉ=ℤ+不是(ℤ+,Γ)中的紧致子集。

2.4 紧致子集的交是连通子集的充分条件

定理8已知U是拓扑空间(X,Γ)中的开集，Ω是由(X,Γ)中的紧致闭集构成的集族，若A⊂U，则存在Ω的有限子集族{A1,A2,A3,…,An}，使得Ai⊂U。

证明取∞∉X，令X*=X∪{∞}，Γ1={E*⊂X*|X*-E*是X中的紧致闭集},则Γ*=Γ∪Γ1∪{X*}是X*的一个拓扑，且称紧致空间(X*,Γ*)是(X,Γ)的一点紧化空间[1]。

∀A∈Ω，A是(X,Γ)中的紧致闭集，故X*-A∈Γ1⊂Γ*。

又U∈Γ⊂Γ*，故X*-U是紧致空间(X*,Γ*)中的闭集，由引理4知X*-U是(X*,Γ*)中的紧致子集。

定理9设Ω是Hausdorff空间(X,Γ)中的非空紧致子集族，若Ω中任意有限个非空紧致子集的交都是(X,Γ)中的连通子集，则A是(X,Γ)中的连通子集。

证明由引理5知Ω是(X,Γ)中的非空紧致闭子集族，从而得到A是(X,Γ)中的闭集，再由定理5知A是(X,Γ)中的紧致子集，故A是(X,Γ)中的紧致闭集。

3 结束语

紧致子集是拓扑空间中一类特殊的子集，文中分别研究了拓扑空间中任意子集是紧致子集、紧致子集的交是紧致子集和紧致子集的并是紧致子集的充分条件。类比连通子集的性质，定理7给出了在正则空间中若一个子集被“夹在”紧致子集和这个紧致子集的闭包之间，则该子集是紧致子集，从而得到正则空间中紧致子集的闭包仍是紧致子集，同时还给出了拓扑空间中紧致子集的闭包不是紧致子集的一个具体例子。文章的最后利用拓扑空间的一点紧化空间证明了拓扑空间中紧致闭子集族的一个性质，由此给出Hausdorff空间中紧致子集族的交是连通子集的一个充分条件。