集合论公理的选择：两种路径

寇 亮

一、引言

自上个世纪公理化集合论发展起来后，集合论的ZFC系统已经得到了普遍认可。与此同时，关于集合论新公理的讨论也一直不曾停止①诚然，一些数学家认为数学不需要新公理，但这个问题不在本文讨论的范围内。本文要讨论的是，目前集合论新公理讨论中的几种选项与它们各自的理由。。哥德尔在其《什么是康托的连续统假设》一文中提到：“康托的猜想必然或者为真或者为假，从今日已知公理得到的不可判定性仅能表明，这些公理没有包含对这一事实（this reality）的完全描述……集合论公理绝没有构成一个自身封闭的系统……”[1]

为集合论增加新公理这个问题在哥德尔和科恩的研究之后变得更为紧迫：连续统假设（CH）就是ZFC不能判定的一个有意义的数学命题。即，我们可以构造一个模型L，其中连续统假设为真；也可以构造一个模型M[G]，其中连续统假设为假。因此，ZFC不能证明CH，也不能证明CH的否定。

要为ZFC 添加什么样的公理，这是一个不容易的问题。例如，我们是否可以直接把CH 或CH 的否定作为公理呢？如果添加CH 作为公理，理由何在？除此之外，由于哥德尔不完全性定理的限制，任何ZFC 的扩张都存在不可判定的命题，特别地，它们都必然不能证明自身的一致性。受此限制，我们对新公理的探索到哪一步停下？添加新公理的目的又是什么呢？

当代集合论的两大主要分支：大基数和力迫，它们对以上问题的解决给出了两种备选项：大基数公理和力迫公理。

二、两组候选公理

（一）大基数公理

将大基数公理作为候选新公理是一个较为自然的选择，因为最早被发现的大基数——不可达基数——实际上是对第一个无穷ω的模仿。

我们已知所有的大于ℵ0的后继基数都是正则的①序数α的共尾cf(α)是最小的满足存在f:β→α使得sup(f[β])=α的序数β。一个基数κ是正则的当且仅当cf(κ)=κ。，因此奇异基数②一个基数是奇异的当且仅当其不是正则的。都是极限基数。反过来，是否存在正则的极限基数呢？豪斯道夫最早注意到，这样的基数κ必须满足κ=ℵκ，并且κ中极限点的极限就是κ。这样的基数被称为“弱不可达基数”。

观察ω和每一个自然数的关系，从自然数到达“更大”的集合无非通过两种方式。第一种是进行“后继运算”：κ→κ+；第二种是进行“幂集运算”κ→2κ。并且，任何自然数都不能通过先取一组基数较小的集合后取并集“堆起来”③即共尾运算：κ→cf(κ)。达到ω。容易发现，通过自然数的后继运算、取幂运算都无法达到ω，且ω的共尾就是ω，因此“从下面堆积”无法到达ω。一个自然的问题是，是否有其他的集合也满足这样的条件？塔斯基将ℵ0之上的这样的基数称为“不可达基数”。

假设广义连续统假设成立，则“弱不可达基数”与“不可达基数”等价。它们是已知的最小大基数④这里的“小”，指一致性强度。若T+φ 的一致性蕴涵T 的一致性，则我们称T+φ 的一致性强度不弱于（≥）T。假设ZFC+存在κ 是不可达基数一致，那么Vκ⊨ZFC，因此ZFC一致。，在ZFC之中我们不能证明存在这样的基数。

由以上可以总结不可达基数的几个特点：

a）不可达基数的定义是对第一个无穷ω的模仿；

b）不可达基数的一致性强度比ZFC更强；

c）ZFC+“存在不可达基数”是对ZFC的扩张⑤即ZFC中不能证明存在不可达基数。。

正是因为如此，哥德尔认为不可达基数这样的大基数公理是扩充ZFC 的良好选项：“……集合论公理所基于的集合概念暗示了公理系统的扩张，这些扩张的新公理断言存在‘……的集合’这一运算的更远迭代……这些强‘无穷公理’中最简单的就是断言存在＞ℵ0的不可达基数。”[1]520

回到引言中最末段的问题，我们加入新公理的目标是什么？斯蒂尔在其《哥德尔纲领》一文中将哥德尔在《什么是康托的连续统假设》中所提出的目标总结为：“哥德尔纲领在ZFC 获得良好辩护的（well-justified）扩张中决定那些独立于ZFC的数学上有趣的问题”[2]。

因此对于实现哥德尔纲领而言，实现目标有两个要点，一是解决独立性，二是获得良好辩护。获得良好辩护在哥德尔的语境下包含了内在辩护与外在辩护[1]519-521⑥对内在辩护与外在辩护的分析，还可参考寇亮《反映原理作为大基数内在辩护的不可行性》（《逻辑学研究》2020 年第4 期）。。不论是就解决独立性的目标，还是就获得良好辩护而言，大基数公理同时代的备选项还有哥德尔的可构成性公理V=L，因为V=L有如下一些优势：

a）L中可以获得一个可定义的良序，能知道CH是对的，能知道存在苏斯林树，进而苏斯林假设不成立，即可以解决大量独立性问题；

b）L是一个有秩序的、结构十分清晰的模型；

c）V=L使得我们对一些具体的数学概念有了更深的理解。例如假设V=L，可知κ是弱紧基数当且仅当不存在κ苏斯林树。

哥德尔所处的时代人们所能认识到的大基数公理与V=L都是相容的。从下面的定理可知，如果存在这样的大基数，那么这些大基数在L之中也存在：

定理1[3]

a）若κ是基数，则（κ是基数）L；

b）若κ是极限基数，则（κ是极限基数）L；

c）若κ是正则基数，则（κ是正则基数）L；

d）若κ是不可达基数，则（κ是不可达基数）L；

e）若κ是马洛基数，则（κ是马洛基数）L。

如果L与大基数相容，那么或许L的确就是那个独特的集合宇宙，或许在新公理下，所有有意义的数学命题都可以得到判定。但是，斯科特的结果表明，这是不能做到的：

定理2（Scott）[4]如果存在可测基数，则V≠L。

可测基数是从测度自然引入的一种大基数，它等价于存在某种形式的初等嵌入。可测基数是比不可达基数强得多的一种大基数。因此，大基数公理与V=L只能二选一。

事实上，不仅只有可测基数与V=L不相容，0#这样的大基数①0#的原始定义与一种不可辨元序列有关。如果0#存在，事实上0#=Σ={φ:Lℵω[ℵ1,…,ℵn]}，编码后是一个实数。也与V=L不相容。因为它等价于存在L到L的非平凡初等嵌入：

定理3（Kunen）[5]323

下列等价：

a）0#存在；

b）不存在j:L→L是非平凡初等嵌入。

而同时，不存在V到V的非平凡初等嵌入：

定理4（Kunen）[5]290若存在j:M→V的非平凡初等嵌入，则M≠V。

大基数公理与V=L不相容，但集合论学家、特别是柏拉图主义倾向的集合论学家不倾向于将L作为真实的集合宇宙②事实上，逻辑学家在这个问题上莫衷一是。递归论学家会认为V=L 是非常好的公理，柏拉图主义的集合论学家，如H.Woodin 绝不认为L是真实的集合宇宙，形式主义的逻辑学家则只考虑相对一致性结果和它的后承。。这基于多种理由。第一，0#之下的那些较小的大基数可以获得较为可靠的内在辩护；第二，大基数公理也蕴含着许多漂亮的结果，例如Woodin基数与PD 的等一致性；第三，有一些大基数公理成立的“证据”，例如HOD 猜想、终极L猜想等[6]。目前，数学哲学仍在探索大基数公理更受集合论学家青睐的理由。

除了上述这些大基数公理之外，还有更多比可测基数更强的大基数公理。这些大基数公理有着与可测基数定义相类似的形式，即都断言存在着某种形式的初等嵌入，例如超紧基数、Woodin 基数等等。在哥德尔纲领下，人们试图寻找容纳大基数公理和V=L两种优势的新集合宇宙，这是我们后文将会介绍的内模型计划。如前所述，大基数公理是哥德尔纲领下的候选新公理。

（二）力迫公理

哥德尔在《什么是康托的连续统假设》一文发表时，尚不知道（或刚刚知道）Cohen 的力迫法结果。Cohen 的力迫法证明CH 的独立性后，哥德尔探索集合概念的目标立刻受到了挑战。对哥德尔而言，集合概念是独一无二的实在。换言之，集合宇宙是唯一的，我们发现新公理的目标，只是帮助我们理解这个唯一的集合宇宙。

但以Cohen为代表的形式主义者不这么认为。对于形式主义者而言，独立性不过意味着，在ZFC这个公理系统下，CH 既不能被证明，也不能被证否，仅此而已。我们可以借助力迫法构造不同的模型，以此证明一个命题在不同的模型下可以有不同的真值。利用力迫法得出的相对一致性无非意味着，某个公理系统下一些命题是独立的。这种形式主义推而广之，则形成了集合多宇宙观，即没有一个独特的集合宇宙，而是有着诸多地位平等的集合宇宙①可见Shelah S.,“Logical Dreams”, Preprint Math, 2002, 此文中Shelah 并不认为所有的集合论模型都是完全平等的，但他没有给出“合法”集合宇宙的具体标准。持有多宇宙观这种观点的逻辑学家还包括J.D.Hamkins。。

构造不同的集合宇宙，并且获得诸多独立性命题的唯一方法是力迫法。通过力迫法，我们可以从一个给定的力迫偏序之中获得一些信息，利用与可数稠子集族的每一个稠子集都相交的脱殊滤（generic filter）G，我们可以构造一个外模型M[G]，这个模型之中的每一个元素都有由基底模型（ground model）M得到的“名字”。通过控制力迫偏序，我们可以获得有着不同事实的M[G]。

从力迫法之中获得信息的关键在于，存在一个滤G与可数稠子集族的每一个稠子集都相交[7]：

定义1

MA：∀κ＜2ω(MA(κ))。

由于能和更多的稠子集相交，因此马丁公理可以给我们更多信息。马丁公理可以帮助我们确定ω1和2ω上的很多信息，因此可以构造一个能帮助我们更好地理解实数理论②即可以确定很多实数子集相关的独立性命题。的集合论模型。例如，马丁公理蕴涵一般化的贝尔纲定理等[5]276-279。但这些都建立在连续统假设不成立的前提下，否则马丁公理并不能给我们带来更多信息。如果连续统假设的否定与马丁公理一致，那么我们就有理由将其作为一条公理。

使用迭代力迫，我们可以构造一个模型，其中MA成立而CH不成立，因此MA+¬CH一致：

定理6（索罗韦与特纳鲍姆[5]273）

设GCH在V中成立，令κ是大于ℵ1的正则基数。那么存在一个c.c.c力迫使得脱殊扩张V[G]满足马丁公理和2ℵ0=κ。

因此，我们的确有理由将马丁公理作为一条公理。这里将它作为公理的意思是，我们能从马丁公理得到一些有秩序的数学结论，同时我们能够构造出一些马丁公理成立的、有意思的集合论模型。因此，将马丁公理作为公理，并不蕴涵着一个独特的集合论宇宙。

注意到，马丁公理有两个要求，一是c.c.c 的力迫类，二是对||＜2ℵ0的稠子集族都有脱殊滤。在力迫法证明独立性的步骤中，c.c.c的要求主要用于保持基数不变[7]213，特别是保持ω1不变。因此，要加强马丁公理，我们可以直接考虑将c.c.c换成保持ω1。

我们使用记号FA（κΓ）表示一般的力迫公理，其中Γ 表示具有某种性质的力迫类，κ表示任意稠子集族||＜κ，则存在脱殊滤。可知MA 即FA2ℵ（0c.c.c）。现在我们同时加强κ和Γ。若将Γ加强为保持ω1的力迫，且κ=ω2，那么这个力迫公理毫无意义，因为它恒成立。

另一种保持ω1的方式是要求ω1封闭（ω1-closed）。若将Γ 替换为ω1封闭的力迫，且κ=ω2，则会不一致。因为可以使用迭代力迫构造一个破坏ω1封闭的力迫。

因此，我们希望能够选择合适的力迫作为Γ。这就是谢拉赫提出的真力迫[7]602：

定义3

根据T.Jech经典集合论教材的叙述[7]601，“真”是对c.c.c和ω1封闭的同时加强：

引理1

a）力迫是c.c.c的蕴涵力迫是合适的；

b）力迫是ω1封闭的蕴涵力迫是合适的；

c）力迫是合适的蕴涵力迫是ω1保持的。

定理7

若存在超紧基数，那么存在一个脱殊模型满足PFA。即Con（ZFC+超紧基数）蕴涵Con（ZFC+PFA）。

如果继续加强PFA，则可得到马丁极大（MM）。这里引入的是“半真”（semiproper）概念①可见Jech T.,Set Theory,Berlin:Springer Science&Business Media,2013,p.649.定义34.3，这里使用等价定义。：

定义4

同样，超紧基数蕴涵MM的一致性[5]684：

定理8

若存在超紧基数，那么存在一个脱殊模型满足MM。

以上的力迫公理也是新公理的一种候选项。

三、大基数公理与力迫公理的矛盾

大基数公理与力迫公理看起来都是ZFC 较为自然的扩张。大基数公理可以扩展我们对无穷的认识，而利用合适力迫可以得到大量无穷组合上的结果②可见Kunen K.,Vaughan J.Handbook of Set Theoretic Topology, Holland:Elsevier,2014.第21章合适力迫部分。，利用PFA可以获得一些整齐的结论[8]。不同力迫公理的一致性强度，还总是与大基数公理相关，二者似乎有着紧密的联系。那么我们是否可以同时接纳大基数公理和力迫公理呢？

正如前文介绍的那样，大基数公理背后的哲学是存在唯一的集合宇宙，因此与可以构造诸多集合论模型的力迫，在哲学上是有矛盾的。尽管力迫公理并不直接断言存在诸多地位平等的集合论模型，但它在整体上与大基数公理有着矛盾。

（一）大基数公理与内模型计划

前面我们提到大基数公理是哥德尔纲领下的新公理备选项。由于0#之上的那些大基数与V=L不相容，因此集合论学家不倾向于认为L是真实的集合宇宙。因此，基于大基数公理，一些集合论学家提出了内模型计划：寻找一个类似L的、与大基数相容的集合论模型。

假设存在可测基数，则我们可以构造一个模型L[U]，使得它是仅包含一个可测基数的集合论模型。按照类似的方法，我们可以继续往模型中加入大基数。米切尔Steel扩张模型能够在迭代假设（iteration hypothesis）下证明存在超强基数。这种方法下已知的最好结果来自尼曼，他证明存在一个内模型，其中存在一个Woodin 基数，它是一系列武丁基数的极限[9]。H.Woodin 在他的研究中[10]观察到，假设N是ZFC的内模型，δ是其中的超紧基数，若“δ是N中的超紧基数”被限制到N的一些扩张在V中见证（即：对任意γ＞δ，存在一个Pδ（λ）上的正则精细超滤U使得Pδ（λ）∩N∈U且U∩N∈N），则这样的模型（被称为弱扩张模型）满足一些很好的性质。

首先，N中的“基数”的确是V中的基数，V中的奇异基数也是N中的“奇异基数”；对这些“奇异基数”，N中算出来的“后继”就是这些奇异基数的后继。其次，与L[U]和向L[U]逐步添加基数不同，N中有许许多多可测基数。最重要的是，N中包含所有目前已知的大基数。

如何构造这样的弱扩张子模型，目前还没有让人满意的结论。但Woodin发现，HOD①遗传序数可定义集的类。有类似L的二歧性，即它或者很接近V，或者离V很远。若前者成立，则HOD 就是当κ是超紧基数时的弱扩张子模型。基于此，Woodin提出了终极L猜想：假设κ是可扩张基数，则存在模型N满足：

a）N是κ是超紧基数的模型；

b）N⊆HOD；

c）N⊨存在Woodin基数的真类。

内模型计划中，GCH总是成立。例如，L[U]中GCH成立，终极L猜想也蕴涵GCH成立。

（二）力迫公理的推论

在大基数公理中，MA 最早并不是被严肃地作为公理提出的。根据D.Martin 和R.Solovay 最早论文[11]140的报道，MA 只是用于讨论CH 替换项的产物：“我们迫切需要一个CH 的替换项。本文的目标即是考虑这样的备选项。我们引入一个‘公理’……”[11]

对Shelah 而言，引入合适力迫并非是作为MA 的一般化。他通过引入合适力迫得到了与Martin 和Solovay对c.c.c力迫平行的结论[12]334-393，借助合适力迫得到一些关于无穷组合的一致性结论。

真正引入合适力迫公理的是鲍姆加特纳[12]，他发现PFA 比MA 蕴涵一些强得多的结论。最典型的就是，MA 的一致性仅需ZFC 的一致性，但目前所知，PFA 的一致性需要超紧基数。尽管得到了诸多比MA 更强的结论，但正如MA 一样，集合论学家那时（1984 年）并不真正把PFA 作为一条公理来看待，只是出于技术性便利而称其为“公理”。

据J. Schatz 在其博士论文中的报道，这个情况在托尔多切维奇之后发生了重大转变[13]33。Todorcĕvić 研究了开染色公理（OCA），发现在OCA 下，连续统假设不成立，且2ℵ0=ℵ2[5]609。而PFA 蕴涵OCA，因此PFA蕴涵连续统假设不成立。除连续统假设之外，PFA的很多结论都与内模型计划中的结论相反。由此可见，力迫公理和大基数公理之间存在着矛盾。

四、如何选择？

既然力迫公理与大基数公理之间有矛盾，那么要如何在两者之间做出选择呢？

有一些集合论学家，例如M.Magidor 和Todorcĕvić 认为，PFA 应该被视为ZFC 的补充公理；另一些集合论学家则认为，大基数公理是更理想的ZFC 的补充公理。当然，也有很多集合论学家，包括一些研究力迫公理的学者——Baumgartner、Shelah 和Foreman 等，只关注力迫公理带来的独立性结果，只将它作为一种集合论研究中的技术手段。

本文在此不打算讨论他们各自的理由，也不打算对比哪一方的理由更有道理。仔细观察大基数公理与力迫公理，我们能在它们的不同之处中寻找到它们的一些相同之处。

大基数公理与力迫公理的不同之处主要在于二者追求的目标不同。同为新公理候选，大基数公理基于内模型计划，追求的是一个独特的集合宇宙；与此相反，力迫公理更追求一些相对一致性的结果，我们不仅可以借助相对一致性将力迫公理作为获得更多强数学结论的技术保障，还可以借助不同的力迫得到许多不同的集合宇宙。大基数公理和力迫公理常蕴涵一些相互矛盾的结果，甚至有时的一些结论从根本上排斥另一组公理。例如，如果存在Woodin 基数的真类，那么Th(L(ℝ))对力迫免疫。即力迫无法改变L(ℝ)中命题的真值。它们背后的哲学基础是截然不同的，前者是数学实在论，而后者是形式主义。

尽管大基数公理与力迫公理有诸多不同，我们仍可以发现两者的一些相同之处。限于篇幅，笔者在这里仅做一些简单的总结。

第一个相同之处是对极大的追求。大基数公理追求的是集合宇宙“高度”上的极大，即任何类似ω那样的无穷都可以被集合宇宙涵盖。力迫公理追求的极大是通过稠子集获得尽可能多的信息，在保证一致性的前提下，尽可能将力迫类和稠子集的条件放宽。正如哥德尔所言：“我心中的那些元数学结论都集中于一点，或者可以说仅仅只是一个基础事实的不同方面，或许可以被称为：数学的非完成性（incompletability）或无止境（inexhaustibility）”[14]

第二个相同之处是，二者都蕴含着某种带有“绝对性”意味的结论。这些绝对性表明，集合宇宙可能是唯一的，也可能是有多个的，但绝不是可以被主观随意改变的。内模型计划的终极L猜想毫无疑问蕴含着这样的结论。在力迫公理中，阿斯佩罗与辛德勒近来发现了如下定理：

定理9

MM++蕴涵Woodin的公理（*）[15]。

后者蕴涵存在一个(Hω2,∈,NSω1)的力迫不变的Π2理论。已知力迫可以容易地处理Π2命题，而Π2以上的命题很难使用Π2处理。因此，力迫公理实际上也蕴含着存在某种独特的实数子集的理论。困难之处仅在于，这样的Π2不变理论蕴涵CH 的否定，而内模型计划得出的结论CH 成立与此处矛盾。尽管如此，大基数公理与力迫公理都蕴涵某种具有独特性的绝对理论。

第三个相同之处在于，在某些强度的大基数公理和力迫公理处，大基数与力迫公理没有那么绝对对立。最典型的即是超紧基数的一致性蕴涵了PFA和MM的一致性。此外，我们还知道：

定理10（斯莫林）[5]611

若PFA成立，那么存在一个内模型，满足存在一个Woodin基数。

因此，如果出于相对一致性接受力迫公理，那么就必然接受一些大基数；如果接受大基数，除非我们有足够的理由接受一个独特的集合宇宙，那我们也要接受力迫公理的合法性。

从以上几个角度看，尽管大基数公理和力迫公理在最前沿的发展上有一些相互矛盾的结论，但它们之间哲学上的矛盾和分歧并非完全无法调和。总结这些哲学上的共同点，促进对集合论基础的讨论，获得更多的证据来探索集合宇宙，或许是未来做出集合论新公理选择的可能途径。