多重模糊蕴涵与生成模糊蕴涵的新方法

李 芳,裴道武

(浙江理工大学理学院,浙江杭州310018)

多重模糊蕴涵与生成模糊蕴涵的新方法

李 芳,裴道武

(浙江理工大学理学院,浙江杭州310018)

提出一种生成模糊蕴涵的新方法,即通过一个或多个选定的模糊蕴涵作多重迭代生成新的模糊蕴涵,称为多重模糊蕴涵.从选定的模糊蕴涵出发,根据不同的迭代次数,分别证明迭代结果仍为模糊蕴涵.进一步,分析当选定的模糊蕴涵具有某种性质时,所生成的多重模糊蕴涵是否仍保持这些性质.还对选定的模糊蕴涵分别为(S,N)-蕴涵和R-蕴涵这两种重要情形,进行更深入的分析.这些结果将为模糊蕴涵在控制及决策等领域的应用提供支持.

模糊逻辑;模糊蕴涵;二重蕴涵;多重蕴涵

§1 引 言

模糊蕴涵在很多领域都有非常重要的作用,例如模糊控制,模糊决策等.在文献[1]中,作者主要研究模糊蕴涵在模糊控制方面的应用,在其构造的模糊控制系统中,核心组成部件是模糊规则库,在模糊规则库中事先给定了若干条模糊控制规则.

X和Y为论域,Ai,Bi分别为论域X和Y的模糊集(i=1,2,...,n),模糊规则库为：

第i条规则：如果x是Ai,则y是Bi,i=1,2,...,n.

这里的第i条模糊规则为X到Y的模糊关系Ri,它由某个模糊蕴涵Ii所确定,即

一般说来,模糊控制器的规则库中含有足够多的规则,这也要求有足够多的模糊蕴涵.本文从一个或多个给定的模糊蕴涵出发,通过累次迭代的方法构造二元函数,从而生成新的模糊蕴涵.还针对给定的模糊蕴涵相同与互异两种情形,分别讨论生成的模糊蕴涵及其性质.

在文献[2]里,作者们主要研究了由两个模糊蕴涵生成新的蕴涵,而在本文中将更一般地考虑由任意有限个蕴涵生成新的蕴涵.

§2 预备知识

本节介绍三角模,三角余模,模糊蕴涵与模糊否定的一些必要的概念与结论.

本文记U=[0,1],并且使用T,S,N和I分别记三角模,三角余模,模糊否定及模糊蕴涵.

定义2.1[3]U上的二元运算T被称为三角模,简称t-模,如果T满足交换律,结合律,单调性,并且以1为单位元.

定义2.2[3]U上的二元运算S被称为三角余模,简称t-余模,如果S满足交换律,结合律,单调性,并且以0为单位元.

定义2.3[4]U上的二元运算I被称为模糊蕴涵,简称为蕴涵,如果I关于第一变元不增,关于第二变元不减,并且满足边界条件：I(0,0)=I(0,1)=I(1,1)=1,I(1,0)=0.

由模糊蕴涵的定义不难看出,任何模糊蕴涵必具有以下性质：

(1)左边界条件(LB)：I(0,y)=1,y∈U;

(2)右边界条件(RB)：I(x,1)=1,x∈U.

定义2.4[5]U上的一元运算N被称为模糊否定,简称为否定,如果N单调递减,并且满足边界条件：N(0)=1,N(1)=0.

进一步,若否定N还是连续的与严格递减的,则被称为严格否定;若否定N还满足对合律,即N(N(x))=x对于任何x∈U成立,则被称为强否定.

定义2.5[6]设I为蕴涵.定义

称NI为I的自然否定.

定义2.6[7](i)映射ρ：U→U称为U的自同构,如果它是连续的,严格递增的,且ρ(0)=0,ρ(1)=1.

(ii)设ρ是U上的自同构,F是U上的二元运算.以下定义的运算Fρ称为F关于ρ的共轭：

对于一些特殊类型的蕴涵,还满足以下一些性质[4,8,9]：

(1)左单位元性质(NP)：I(1,y)=y,y∈U;

(2)恒等原则(IP)：I(x,x)=1,x∈U;

(3)交换原则(EP)：I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z)),x,y,z∈U;

(4)序性质(OP)：I(x,y)=1⇐⇒x≤y,x,y∈U;

(5)强否定性(SN)：I的自然否定NI为强否定;

(6)关于否定N的逆否对称性(CP)：I(x,y)=I(N(y),N(x)),x,y∈U.

最常见的三种模糊蕴涵的生成方式如下[6,10,11]：

(S,N)-蕴涵：由t-余模S和否定N生成,I(x,y)=S(N(x),y),x,y∈U;

R-蕴涵：为t-模T的剩余形式,即IT(x,y)=sup{z|T(x,z)≤y},x,y∈U;

QL-蕴涵：由t-模T,t-余模S,强否定N生成,I(x,y)=S(N(x),T(x,y)),x,y∈U.

§3 二重蕴涵及其性质

首先考虑由相同的蕴涵生成新的蕴涵.

定义3.1 设I是U上的二元运算.称以下定义的U上的二元运算FI是由I生成的二重函数：

特别地,当FI为模糊蕴涵时,称其为由I生成的二重模糊蕴涵,简称为二重蕴涵.

注3.1 在文献[2]中,作者们从两个模糊蕴涵I和J出发,通过类似于定义3.1的方法,生成新的模糊蕴涵：

这里的模糊蕴涵的运算⊗被称为⊗-合成.

这里只从一个二元运算I出发,生成新的二元运算,与[2]是不同的.但是,当I=J为模糊蕴涵时,定义3.1可以看成[2]的特例.

例3.1 当I为Lukasiewicz蕴涵,即I(x,y)=min(1,1-x+y)时,

显然,FI为模糊蕴涵.

更一般地,有以下结论：

定理3.1 当I为蕴涵时,FI也为蕴涵,即二重蕴涵.

证 作为文[2]相应结论的特例,FI确实为蕴涵.

从例3.1可以看出,尽管蕴涵I满足性质(OP),但是由I生成的二重蕴涵FI却不必满足该性质.因此,一个自然的问题是,究竟二重蕴涵FI继承了I的哪些性质?

命题3.1 当蕴涵I满足(IP)(或者(NP),(EP))时,FI也满足(IP)(对应地,(NP),(EP)).

证 (1)作为[2]中相应结论的特款,当I具有性质(IP)或(NP)时,FI也对应地具有性质(IP)或(NP);

(2)由I满足(EP),对一切x,y,z∈U,I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z)).于是,

这表明,FI也满足(EP).

注3.2 (i)文献[2]指出,尽管两个蕴涵I和J都满足(EP),新的模糊蕴涵I⊗J也可能不满足(EP).然而,在本文的情形,二重蕴涵FI却保持性质(EP).

(ii)一般说来,多重蕴涵也不保持逆否对称性(CP).这个事实可以由以下例子得到证实.

例3.2 取I为例3.1中的Lukasiewicz蕴涵,N为标准否定,即N(x)=1-x.则由

可知蕴涵I关于标准否定N满足性质(CP).然而

这表明FI(x,y)关于N不满足性质(CP).

这个例子说明二重蕴涵FI不必保持性质(CP).

命题3.2 设I是蕴涵,ρ是U上的自同构,则二重蕴涵FI关于ρ的共轭为

证 关于二重蕴涵F,有

现在考虑由两类特殊的模糊蕴涵生成的二重蕴涵.

命题3.3 设I为(S,N)-蕴涵,即I(x,y)=S(N(x),y),其中S,N分别为s-模与任意模糊否定,F=FI为由I生成的二重蕴涵,则

(1)F必满足(NP);

(2)如果I满足(IP),或者(S,N)满足(LEM),那么F满足(IP),其中(LEM)叫做排中律,是指S(N(x),x)=1对于任何x∈U成立;

(3)如果I满足(SN),当S满足(IP)时,此时S为S(x,y)=max(x,y),则F满足(SN).

证 众所周知,任何(S,N)-蕴涵都是蕴涵,具有性质(NP)和(EP),而且其自然否定NI与N恰好一致[3].

(1)对一切x∈U,有F(1,x)=I(1,I(1,x))=I(1,x)=x.因此,F满足(NP);

(2)(S,N)-蕴涵I满足(IP)当且仅当(S,N)满足排中律(LEM),而且此时I满足(OP)[3].于是,对一切x∈U有

因此,F满足(IP);

(3)由(S,N)-蕴涵I的自然否定NI与N一致,且I满足(SN),所以对一切x∈U,有NI(NI(x))=N(N(x))=x.由S满足(IP),得

从而NF(NF(x))=N(N(x))=x,所以F满足(SN).

对于R-蕴涵,先看下面的例子.

例3.3 取连续t-模T(x,y)=xy,则由T生成的R蕴涵为：

I=IT满足交换原则(EP).取x=0.5,y=0.4,z=0.3,则

这表明,由I生成的二重蕴涵FI也满足交换原则(EP).更一般地,有以下结论.

命题3.4 设I为由t-模T生成的R-蕴涵,而F=FI是由I生成的二重蕴涵,则

(1)F必满足(NP);

(2)当T为左连续时,则I满足(EP),F也满足(EP).

证 (1)由R-蕴涵的定义容易证得;

(2)当T为左连续时,根据文献[4]的定理2.5.7可知,I满足(EP),再由命题3.1可知,F也满足(EP).

§4 多重模糊蕴涵及其性质

一般的n重模糊蕴涵是上节提出的二重模糊蕴涵的自然推广.

例4.1 取n=5,I为Godel蕴涵,即

自然地,以下结论是有重要意义的.

证 只须利用定理3.1及[2]的相应结论可得.

与n=2的情形类似,不难证明以下几个命题成立.

命题4.1 当蕴涵I满足(IP)(或(NP),(EP))时,也满足(IP)(对应地,(NP),(EP)).

命题4.3 设I为(S,N)-蕴涵,即I(x,y)=S(N(x),y),其中S,N分别为s-模与任意模糊否定,为由I生成的n重蕴涵,则

(2)如果I满足(IP),或者(S,N)满足(LEM),那么满足(IP);

注4.1 (1)由n=2的情形不难看出,当模糊蕴涵I满足性质(OP)(或(CP))时,不必保持这些性质;

(2)由例4.1引出一个问题,模糊蕴涵I在什么情况下,满足=I,由其结构形式可得,(x,y)=I(x,IN-1(x,y))=I(x,y).

情形1.I满足(OP).则当x≤ y时,有I(x,y)=1;当x＞ y时,有I(x,y)=y.这表明I为Godel蕴涵;

情形2.I不满足(OP).则当I(x,y)=y,且I(0,0)=1时,有

(3)与前面定义的n重蕴涵类似的函数形式有

其中I为模糊蕴涵.

从而产生一个自然的问题,这三种迭代方式是否也可以生成模糊蕴涵?单纯根据定义进行判断,很难得出答案.而且发现,这三种迭代方式有可能产生不出模糊蕴涵.这一点可从下例看出.

例4.2 对二重函数组合GI,取蕴涵I为Kleene-Dienes蕴涵,即I(x,y)=max(1-x,y),x,y∈U.则对于任何x,y∈U,有

GI(x,y)=I(max(1-x,y),y)=max(1-max(1-x,y),y)=max(min(x,1-y),y).

这里x1＜x2,但是,却有GI(x1,y)＜GI(x2,y).这表明GI不是蕴涵.

至于需要对给定的蕴涵I增加哪些条件限制,才能分别保证以上迭代方式生成模糊蕴涵,仍然是一个未解决的问题.

§5 由不同的蕴涵生成的多重蕴涵及其性质

设{I1,I2,...,In}为区间U上n个模糊蕴涵构成的集合,类似于从同一个给定的蕴涵生成n重蕴涵的形式,可以定义下面具有更广意义的n重函数与n重蕴涵.

定义5.1 设I1,I2,...,In为n个蕴涵.U上的二元运算JI1,I2,...,In称为由(I1,I2,...,In)生成的n重函数,

特别地,当JI1,I2,...,In为模糊蕴涵时,称其为由(I1,I2,...,In)生成的n重模糊蕴涵,仍简称为n重蕴涵.

不难看出,定义5.1是定义3.1,定义4.1以及[2]中相应概念的推广.

例5.1 取n=3,I1为例4.1所给出的Godel蕴涵,I2为例3.1所给出的Lukasiewicz蕴涵,I3为Reichenbach蕴涵,即I3(x,y)=1-x+xy.那么

计算得到

由下述命题可知,J为模糊蕴涵.

命题5.1 当I1,I2,...,In都是蕴涵时,J=JI1,I2,...,In也为蕴涵,即n重蕴涵.

证 对上述n重函数J,取x1,x2,y∈U,且x1≤x2,由I1,I2,...,In都为蕴涵,有

以此类推得J(x1,y)≥J(x2,y).所以,J(x,y)关于第一个变量递减.

取y1,y2,x∈U,满足y1≤y2.由I1,I2,...,In为模糊蕴涵,得到

以此类推得J(x,y1)≤J(x,y2).所以,J(x,y)关于第二个变量递增.

由模糊蕴涵定义可知,当I1,I2,...,In都为蕴涵时,J也为蕴涵.

命题5.2 当蕴涵I1,I2,...,In都具有性质(NP)或(IP)时,J=JI1,I2,...,In也对应地具有性质(NP)或(IP).

证 (1)当I1,I2,...,In都满足(NP)时,

所以J也满足(NP);

(2)当I1,I2,...,In都满足(IP)时,

所以J也满足(IP).

注5.1 (1)当I1,I2,...,In具有性质(OP)或(CP)时,JI1,...,In未必对应地具有性质(OP)或(CP),这可以从上节看出;

(2)当I1,...,In都具有性质(EP)时,JI1,...,In未必具有性质(EP).这个事实可从下例看出.

例5.2 在例5.1中,蕴涵I1,I2,I3均具有性质(EP),而且

取x=0.92,y=0.85,z=0.6.则

这表明J不具有性质(EP).

命题5.3 当蕴涵I1,I2,...,In都具有性质(ME)时,J=JI1,I2,...,In也对应地具有性质(EP).

证 由文献[2]可知,取n=2,当I1,I2满足(ME)时,JI1,I2(x,y)满足(EP);

取n=3,当I1,I2,I3满足(ME)时,

由数学归纳法得,当n为一般正整数时,JI1,I2,...,In(x,y)也满足(EP).

§6 结论

当应用领域出现多个模糊蕴涵时,可以通过函数组合的形式把这些模糊蕴涵组合在一起,以生成新的模糊蕴涵.本文提出一种新的模糊蕴涵生成方法,即从一个模糊蕴涵或多个模糊蕴涵,通过迭代的方法得到新的模糊蕴涵,并研究这种模糊蕴涵的性质,得到一些有趣的结论.这里的生成模糊蕴涵的方法与相应结论推广了文献中已有的成果.

在以后的工作中,将考虑由这种方法生成的多重蕴涵的其他性质,如逆否对称性(CP)等.尽管在例3.2中已经看到,一般说来,多重蕴涵不保持(CP),但是,可以进一步讨论在初始蕴涵满足什么条件下,多重蕴涵才保持(CP).另一个需要研究的课题是,随着重数的增加,多重蕴涵的性质将会发生怎样的变化.自然地,将这种方法生成的多重蕴涵应用于实际的模糊推理问题[12,13],也是具有重要意义的.另外,还可以模糊蕴涵与模糊蕴涵代数的关系[14],考虑由聚合算子生成模糊蕴涵[15],以及模糊蕴涵的其它组合形式,例如,凸组合形式[16]等,为模糊蕴涵的实际应用提供更多的选择.

致谢 对审稿人提出的宝贵意见和建议表示衷心的感谢!

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Multiple fuzzy implications and novel methods to generate fuzzy implications

LI Fang,PEI Dao-wu
(School of Sciences,Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou 310018,China)

This paper proposes some new methods for generating fuzzy implications.Some new fuzzy operations can be generated by using some selected fuzzy implications through multiple iterations.According to di ff erent iterative methods,all of the new fuzzy operations have been proved to be fuzzy implications.Furthermore,when the selected fuzzy implications satis fi ed some important properties,whether multiple fuzzy implications still keep these properties or not is also discussed.Two important cases have been investigated：the selected implications are(S,N)-implications or R-implications.This work provides some new possible selections of fuzzy implications for some applied fi elds such as fuzzy control and fuzzy decision making.

fuzzy logic;fuzzy implication;double implication;multiple implication

03B50;03B52

O141.1

A

：1000-4424(2016)04-0467-09

2016-02-25

2016-10-20

国家自然科学基金(11171308;61379018;61472471;51305400)