带形区域上SLE壳的性质

田爽爽, 蓝师义

(广西民族大学理学院,广西南宁530006)

带形区域上SLE壳的性质

田爽爽, 蓝师义∗

(广西民族大学理学院,广西南宁530006)

利用带形区域上SLE的性质与Schwarz反射原理,讨论了带形区域上SLE壳的性质.给出了R-对称共形映射与带形区域内壳的关系;得到了带形区域内由一对不相交的壳组成集合与Loewner共形映射之间的关系;导出了R-对称共形映射的提升在带形区域的壳空间内以及带形区域的壳对空间上的相关映射是连续.这就将上半平面上SLE壳的有关性质推广到了带形区域的情形.

Loewner方程;SLE;壳;共形映射

§1 引 言

随机Loewner演变(Stochastic Loewner evolution,简称SLE)是2000年Schramm[1]在研究回路删除随机游动和一致生成树的尺度极限时引入的一种研究离散物理模型的一个随机过程.这类随机增长的过程是由驱动项为时间乘以一个参数κ的一维Brownian运动的经典Loewner微分方程来描述的.已经知道SLE迹的行为依赖于参数κ.当κ∈(0,4]时,它是一条简单曲线;当κ∈(4,8)时,它是一条自交的曲线;当κ∈[8,∞)时,它填满整个空间.同时,SLE与统计物理中网格模型的尺度极限有密切联系.已经被证明,临界点渗流探索路径收敛于SLE6[2];回路删除随机走动收敛于SLE2与一致生成树Peano路径收敛于SLE8[3];调和探索过程路径与离散Gaussian自由场的回路线收敛于SLE4[4]及FK Ising模型的接口收敛于SLE16/3[5]等.

文[6]通过上半平面SLE的性质研究了其相应壳的性质,结合耦合技术讨论了反向SLE与粘合的对称性.在本文中,讨论带形区域S1上SLE壳的有关性质.首先,利用带形区域上Loewner共形映射定义了S1-壳的积与商,同时给出了一个对称集合相关于S1-壳的萎陷与提升的定义,并讨论了它们一些相关性质;其次,讨论了R-对称共形映射与带形区域内壳的关系.给定一个定义在Ω上的R-对称共形映射S与一个S1-壳H,证明了一定存在唯一一个定义在Ω通过H提升的集合ΩH上的R-对称共形映射T使得它关于H的萎陷等于S(见定理1);接着,通过带形区域上Loewner共形映射定义了由S1一对不相交的壳组成集合之间的映射,得到它们之间的互逆关系及其相应壳的积与并的关系(见定理2);最后,导出了R-对称共形映射的提升在带形区域的壳空间内以及带形区域的壳对空间上的相关映射按Hausdor ff度量是连续的(见定理3).这样就将上半平面上的壳的有关性质推广到了带形区域的情形.

本文组织如下：§2给出通弦SLE和带状SLE的定义和一些相关的性质;§3定义带状SLEκ壳的积与商,导出了带状SLEκ壳与R-对称共形映射关系;带状SLEκ壳之间的映射及其相互关系在§4讨论;壳空间上相关映射的连续性在§5证明.

§2 通弦SLE和带状SLE

在这一节,简要给出通弦SLE和带状SLE的定义和一些相关的性质,更详细的内容与背景知识可参见文[7-9]等.

通弦SLE 假设Bt是实轴R上开始于B0=0的标准Brownian运动,对于κ＞0,令W(t)=表示上半平面,则对于z∈H{0},令gt(z)为下面常微分方程的初值问题

的解.容易看出,只要gt(z)-W(t)有界且不等于0时,则这个初值问题的解总是存在的.

用τ(z)表示第一次时间τ使得当t→τ时,0是gt(z)-W(t)的极限点,也就是

则容易验证,对于一切t≥ 0,Kt是紧集,Gt是开集.把含有参数t的映射集合(gt：t≥ 0)称为通弦SLEκ(Schramm-Loewner evolution).集合Kt称为通弦SLEκ的壳.也容易验证,对于每个t≥0,映射gt：Gt→H是一个共形同胚映射,而且Gt是HKt的无界分支.过程W(t)称为通弦SLEκ的驱动过程或驱动函数.

带状SLE 设Sp={z∈C：0＜Imz＜pπ}是一个宽度为pπ的一个带形区域且κ＞0.如前面令其中Bt是一个标准的一维Brownian运动.则对于每个z∈Sp{0},考虑下面偶极Loewner微分方程

的解gt(z).当gt(z)-W(t)不等于0时,初值问题(2.4)有解.

那么,St=SpHt且映射gt：St→Sp是一个共形同胚映射使得gt(±∞)=±∞.将含参数t的映射集合(gt：t≥0)称为带状SLEκ;把(2.5)式中的Ht称为带状SLEκ的壳或Sp-壳.

值得指出,当p→∞时,带状SLEκ就变成通弦SLEκ.也就是,p是一个伸缩量.因此,不失一般性,可设p=1,下面将只讨论带形区域S1上偶极SLEκ壳的性质.

带状SLEκ的迹γ定义为

其中z从带形区域S1内趋近于0.文[10]已经证明迹γ在有限时间内碰到上边界的概率为零,也就是,γ只有在无限时间内碰到上边界.由于偶极SLEκ迹局部等同于通弦或径向SLEκ迹,因此,这推出当κ≤4时带状SLEκ的壳与迹是一致的,而后者是S1内一条简单曲线,它不碰到下边界即实轴R但碰到上边界即iπ+R上某个随机点时就停止;当κ≥4时迹γ不是一条简单曲线且S1内的点被吞没,而二者之并就构成带状SLEκ的壳,这个壳与下边界相交且迹γ碰到这个边界无穷多次,然而一旦它碰到上边界某个随机点就停止.

考虑带形区域S1={z∈C：0＜Imz＜π}.对每一个定义如在(2.5)的第二个式子S1-壳H(这里省略了下标t),则一定存在唯一的共形映射gH：S1H →S1把S1H映到S1且满足gH(z)=z+c/z+O(1/z2)当z→±∞时.通常把gH称为Loewner共形映射;常数c称为H的S1-容量,并记为scap(H).令fH=g,则容易知道,g∅=f∅=idS1,其中idS1表示S1上的恒等映射.

对于z∈C,定义IR(z)：=一个集合H⊂S1∪R∪IR(S1)称为内部壳,若H是紧的且(S1∪R∪IR(S1))H是连通的.对于任意一个包含多于一点的内部壳H,则一定存在唯一一个共形映射φH：(∪IR())H→(∪IR())U使得φH(±∞)=±∞ 且φH(±∞)＞0,其中U表示单位圆盘.并记ψH=φ,这将在下一节用到.

§3 带状SLEκ壳与R-对称共形映射关系

在这一节应用带形区域上Loewner共形映射技术定义带状SLEκ壳的积与商,并讨论它们的一些性质.然后,给出带状SLEκ壳与定义在一个区域Ω⊂S1上R-对称共形映射的关系.

定义1 设H1和H2是两个S1-壳.(i)若H1⊂ H2，则定义H2/H1=gH1(H2H1). 并称H2/H1为H2的一个商壳，记为H2/H1≺H2.(ii)积H1·H2定义为K1∪fH1(H2).

则有

命题1 (a)商H2/H1也是S1-壳对于任意S1-壳H1⊂ H2;积H1·H2也是S1-壳对于任意S1-壳H1与H2.

(b)对任意S1-壳H1与H2，有H1⊂ H1·H2与H2=(H1·H2)/H1≺ H1·H2. 并且，若H1⊂ H2，则H1·(H2/H1)=H2.

(c)带有积“·”的S1-壳空间是一个单位元素为∅的半群,且≺在这个空间内是可迁的.

(d) 在S1内成立fH1·H2=fH1◦ fH2;在S1(H1·H2)内成立gH1·H2=gH2◦ gH2.

(e)scap(H1·H2)=scap(H1)+scap(H2).若H1⊂ H2或H1≺ H2，则scap(H1)≤ scap(H2).

证 由定义1,并结合§2中gH与fH的定义,容易推出该命题成立.

由命题1(d)的第一个等式得到fH1=fH1·H2◦gH2(z ∈ S1H2). 因此，fH1是fH1·H2◦gH2的解析延拓,这蕴含着H1是由H1·H2和H2唯一确定的.于是下面的定义是合理的.

定义2 设H1和H2是满足H1≺ H2的两个S1-壳.则令H2：H1表示唯一的S1-壳H ⊂H2使得H2/H=H1.

对于一个S1-壳H,集合BH=∩R是H的基.定义H的双倍为=H∪IR(H)∪BH.则gH可以延拓到(∪IR())内的一个共形映射,仍记为gH,满足gH(±∞)=±∞,(±∞)=1与gH◦IR=IR◦gH.而且gH((∪IR()))=(∪IR())ΛH，其中ΛH⊂R是某一个紧集,称之为H的支撑,如图1所示.因此,fH被延拓到从(∪IR())ΛH到(∪IR())的一个共形映射.

图1 一个带形区域S1-壳H的双倍ˆH(左边)与它的支撑ΛH(右边)

引理1 共形映射fH不能解析延拓到紧集ΛH⊂R.

图2 ΩH是Ω通过H的的萎陷

附注1 由定义3(ii)容易推出ΩK1·K2=(ΩK1)K1和ΩK1·K2=(ΩK2)K1,若它们两边都有意义.

图3 ΩH是Ω通过H的提升

定义4设S是区域Ω上R-对称的一个共形映射.令H是一个S1-壳使得⊂Ω与±∞∈/S().记SH为gS(H)◦S◦fH共形扩张到ΩH,并称之为S通过H的萎陷.

图4 定理1的情形,存在唯一的T,也记为SH

§4 带状SLEκ壳之间的关系

图5 一对S1-壳(H1,H2)唯一决定另一对S1-壳(K1,K2),反之也是一样

§5 带状SLEκ壳映射的连续性

在这一节利用带形区域内壳空间的紧致性,将证明R-对称共形映射的提升在带形区域的壳空间内以及带形区域的壳对空间上的相关映射按Hausdor ff度量是连续的.

定义7 对于(K1,K2)∈Q∗,定义K1与K2的商并为K1∨K2=H1∪H2,其中(H1,H2)=f∗(K1,K2).

对任意一个紧子集F⊂R,令HF表示带形区域S1内其支撑包含于F的壳的集合,那么空间(HF,dH)是紧致的,其中dH表示Hausdor ff度量(见文[11]).于是,有

定理3 (a)设F⊂R是一个紧致集,S是一个定义域包含F的R-对称共形映射.则S∗：HF→HS(F)是连续的.

(b)设E与F是R的两个非空的紧致子集使得E∩F= ∅. 则f∗与(K1,K2)K1∨K2在HE×HF上是连续的.

证 (a)由定理假设知道,S∗在HF上有定义,S∗的值域是HS(F).设{Hn}是HF内的一个子序列且Hn→H0∈HF.要证明S∗的连续性,只需要证明S∗(Hn)→S∗(H0)即可.假定这个结论不成立.因为HW(F)是紧致的,所以通过遍历一个子序列,可以假设S∗(Hn)→K06=S∗(H0).对每个nk,在fHnK(ΩF)上有SHnk=fS∗(Hnk)◦S◦gHnk.同时,在fH0(ΩF)上序列{gHnk}局部一致收于gH0,且在S(Ω)S(F)上序列{fS∗(Hnk)}局部一致收敛于fK0.因此,SHnk在fH0(Ω F)内局部一致收敛于fK0◦S◦gH0=：T.而SHnk的定义域是ΩHnk=nk∪fHnk(ΩΛHnk),它收敛于ΩH0=0∪fH0(ΩΛH0)⊃fH0(ΩF).很明显,ΩH0fH0(ΩF)是紧致的.因为SHnk在fH0(ΩF)内局部一致收敛于T,所以由最大值原理得到SHnk在ΩH0内也局部一致收敛,仍用T表示这个极限函数.注意到Hnk→ H0,SHnk→ K0,因此有T(H0)=K0.在fH0(ΩF)上等式fK0◦S◦gH0=S成立蕴含着在fH0(ΩΛH0)上等式fV(H0)◦S◦gH0=T成立.后者给出T=SH0.由此得到，K0=SH0(H0)=S∗(H0),这推出矛盾.所以这个假定不成立.

[1] Schramm O.Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees[J].Israel J Math,2000,118：221–288.

[2] Smirnov S.Critical percolation in the plane：conformal invariance,Cardy’s formula,scaling limits[J].C R Acad Sci Paris Sér I Math,2001,333：239–244.

[3] Lawler G F,Schramm O,Werner W.Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees[J].Ann Probab,2004,32：939–995.

[4] Schramm O,Sheffield S.Contour lines of the two-dimensional discrete Gaussian free fi eld[J].Acta Math,2009,202：21–137.

[5] Smirnov S.Conformal invariance in random cluster models.I.Holomorphic fermions in the Ising model[J].Ann Math,2010,172(2)：1435-1467.

[6] Rohde S,Zhan Dapeng.Backward SLE and the symmetry of the welding[J].arXiv：1307.2532[math.PR].

[7] Lars V Ahlfors.Conformal Invariants：topics in Geometric Function Theory[M].New York：McGraw-Hill Book CO.,1973.

[8] Reruz D,Yor M.Continuous Martingales and Brownian Motion[M].Berlin：Springer-Verlag,1991.

[9] Rohde S,O.Schramm.Basic properties of SLE[J].Ann Math,2005,161：879-920.

[10]Bauer M,Bernard D,Houdager J.Diploar stochastic Loewner evolution[J].J stat Mech Theor and Exper,2005,3(3)：336-354.

[11]Zhan Dapeng.The Scaling Limits of Planar LERW in Finitely Connected Domains[J].Ann Probab,2008,36(2)：467-529.

The properties of SLE hull in the strip region

TIAN Shuang-shuang,LAN Shi-yi
(School of science,Guangxi University for Nationalities,Nanning 530006,China)

In this paper,the properties of SLE hull in the strip region are discussed by using the properties of strip SLE and Schwarz re fl ection principe.The relation between R-symmetric conformal mappings and hulls in the strip region is given.The relationship between the set which consists of a pair of disjoint hulls and Loewner conformal mappings is obtained.It is derived that the lift of a R-symmetric conformal mapping is continuous in the space of hulls in the strip region,and that some related mappings are continuous in the corresponding space of hulls,too.This generalizes the related properties of SLE hull in the upper half-plane to the case of strip region.

Loewner equation;SLE;hull;conformal mapping

35B

O175

A

：1000-4424(2016)04-0451-10

2016-01-16

*通讯作者：shiyilan05@sina.com

国家自然科学基金(11161004;11661011);广西自然科学基金(2013GXNSFAA019015;2016GXNSFAA380099);广西民族大学研究生创新计划(gxun-chx0880)