罗素悖论与第三次数学危机

进入高中后,我们学习的第一个数学概念就是“集合”。研究集合的理论在现代数学中被称为集合论,其基本概念几乎渗透到数学的所有领域,它的创始人康托尔也因此被誉为20世纪最伟大的数学家之一。

既然同学们都学过集合知识,那有个问题要考考大家。假设有一个集合S,它由一切不是自身元素的集合所组成。那么请问,S是否属于S?

我们知道,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,如果S属于S,那么根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S就应该属于S。

这就是著名的“罗素悖论”,它非常浅显易懂,而且涉及的都是集合论中最基本的东西,所以一经提出就在当时的数学界引起了极大震动,第三次数学危机由此爆发。

悖论的源头在于康托尔构造集合时使用的概括原则。这一原则说,“所有满足某种性质”的元素可以构成一个集合,这样的集合概念很宽泛。因此要消除悖论就必须建立新的原则来对集合作出某种限制。

1905年,法国一位中学教师理查德提出:一个集合不能包含那种只能借助于这一集合本身才能定义的对象。比如“罗素悖论”中,集合S“由一切不是S的元素的集合所组成”,定义时用到了S自身,显然这种定义具有循环或者说“反身自指”的特征,因此不允许有这种定义便可以解决问题。

在这一想法基础上,1908年,德国数学家策梅罗发表了著名论文《关于集合论基础的研究》,他给出了7条公理,建立了第一个公理化集合论体系。这一体系对集合的产生方式作了限制,避免了“所有”元素等说法,消除了悖论产生的条件。

公理化集合论体系把原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上,集合论从此发展到公理化阶段(1908年以前由康托尔创立的集合论后被称为朴素集合论),第三次数学危机得到了圆满解决。

冰雹数

任意写出一个正整数N,将其按照以下规律变换:

如果N是奇数,则下一步变成3N+1;

如果N是偶数,则下一步变成N/2……

得到的结果重复上述步骤,如此循环演算下去。发现了吗?无论N是什么数,经过有限次的运算后,最终都会变成1。准确地说,是必将落入4—2—1的“漩涡”,任何一个数都逃不出这样的宿命。

这就是著名的“冰雹猜想”。大家知道,小水滴和冰晶冻结成的冰雹核心,在云层中忽上忽下,不断结合冰晶、雪花和水滴,越长越大直至上升气流支撑不了它的重量,最后突然落下来,这就是“下冰雹”。类似的,一个数算来算去,忽大忽小,最后都会演变成4—2—1,因此把4—2—1称为“冰雹数”十分形象。

鲁宾逊的桌子

这个趣题摘自鲁宾逊的日记,在《鲁宾逊漂流记》的现今版本中你是找不到的,因为它被删去了。

“第三天早晨,我在沉船漂浮物中找到一块木板,上面有许多洞。我的仆人星期五一直在念叨,说我们迫切需要一张方桌,用来喝下午茶。于是我就把这块木板给了他,要他用这块板做成一张没有洞的正方形桌面。我希望桌面尽可能大,而且最后成形的桌面最多只能由两块板拼成。”

星期五听了主人的要求以后一筹莫展。除了把洞填掉之外,你能帮他找到更好的办法吗?