是谁把数学推向了深渊？

曹广福

数学史上争吵的事情层出不穷，有些争论甚至闹出了人命，√2让喜欢多嘴的小伙子希帕索斯丧了命，被毕达哥拉斯学派的人装进袋子扔进了大海。这可能是数学史上最血腥的一桩公案。

无穷小的出现让数学家们闹成了一锅粥，地位尊崇的大主教贝克莱把牛顿的“流数”攻击得体无完肤，称之为“已死量的幽灵”，因为在牛顿的文章中，这个“幽灵”一会儿是0，消失了，一会儿又不知从什么地方冒了出来。贝克莱的抨击把性格腼腆的牛顿吓得噤若寒蝉，如果不是朋友的再三劝说，估计很多著作都不会面世。贝克莱的悖论也是对形式逻辑的一次有力的打击，贝克莱问“无穷小量究竟是否为0？”就无穷小量在当时实际应用而言，它既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。如果不是柯西等人特别是维尔斯特拉斯发明的“δ-ε”语言，给了极限概念一个严格的定义，估计无穷小真的要变成“幽灵”。

数学史上的争论对数学的影响一次比一次巨大。如果说牛顿的“幽灵”是传统的形式逻辑与分析学之间的“决斗”，那么康托尔朴素的集合论则几乎把数学推向了深渊。康托尔出生于俄国的圣彼得堡，犹太后裔，后来迁居到德国。在而立之年，他提出了令人高深莫测的无穷大概念，这个无穷大不是微积分里的无穷大，是表述集合元素多少的。集合的概念不需要我多做解释，相信学过一点数学的人都知道。众所周知，有限集存在有多少元素的问题，例如一个班级有多少人？班级的人数成为这个班级的“基数”或“势”，任何有限集都可以数出它的元素来，可如果问自然数有多少？有理数有多少？实数有多少？谁能回答？康托尔的目的就是要给这样的集合（也叫无穷集、无限集）进行“计数”并比较不同集合中元素的多少。如果你没有学过集合论，估计你回答不了诸如这样的问题：“有理数集合与自然数集合中哪个集合所含的元素更多？”

集合论虽然成了现代一切数学的基石，甚至一些在他之前产生的数学也被纳入了集合论这个大箩筐中。然而，无论是集合论还是康托尔本人都经受了难以想象的煎熬。康托尔的集合论并未能被同时代的所有人接受，当时的数学权威，康托尔的老师克朗涅克尔也许是出于嫉妒，他猛烈攻击康托尔的工作，并竭力阻挠康托尔的提升，不让康托尔在柏林大学获得职位。他说：“康托尔走进了超穷数的地狱。” 克朗涅克尔有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作。”就是说，人只能在正整数的有穷范围内研究，至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外，他甚至不承认康托尔为他的学生。无休止的争吵使得康托尔心力交瘁，精神终于崩溃，于1918年1月6日在哈尔精神病医院不幸逝世。

虽然康托尔的集合论很快为大多数数学家们接受并成为几乎一切数学分支的基础，庞卡莱甚至声称：“数学严格的基础已经达到。”但不久之后，人们发现康托尔的集合论存在着严重的矛盾，最早发现矛盾的是康托尔本人，也称之为“康托尔悖论”，这个悖论是说“既然任何性质都可以决定一个集合，那么所有的集合又可以组成一个集合，即‘所有集合的集合。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按‘康托尔定理又必然是更大的，那么，‘所有集合的集合就不成其为‘所有集合的集合”。这一悖论并没有让康托尔恐慌，因为通过反证法便可以证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也就没有“最大的基数”。真正给集合论带来致命一击的人是罗素，他在1903年给康托尔写了一封信，这封信的内容就是著名的“罗素悖论”，程代展老师已经介绍了这个悖论，这里就不重复了。

罗素悖论给数学界带来的恐慌是空前的，好比大厦的地基产生了动摇，整个数学王国大有土崩瓦解之虞。以希尔伯特为首的一批一流数学家致力于挽救工作，希望把生命垂危的集合论救活。希尔伯特认为，良好的数学基础是可以建立起来的，在他的倡导下，以策密罗为首的一批数学家着手数学基础的建立。遗憾的是，事与愿违，希尔伯特的预言并没有能实现。无可奈何之下，人们给集合论加上了一些公理，著名的策密罗选择公理便是在这样的背景下诞生的。这个选择公理说：“在一簇集合中，可以从每个集合中选且仅选取一个元素构成新的集合”，对于有限个甚至可数个集合来说，这个公理都是显而易见的，但对于不可数多个集合就不是一件简单的事了。事实上，他涉及基本的逻辑问题，由数学归纳法，我们很容易证明从一列集合中每个集合选取一个元素，可对于一个不可数集合簇，你如何选取？可以证明，选择公理与所谓的超穷归纳法是等价的，换句话说，你要么承认超穷归纳法，要么承认选择公理。

在一系列公理下，已经发现的悖论可以避免，然而，且别高兴得太早，焉知集合论中没有没被发现的悖论？庞卡莱就这个问题发表了一个有趣的评论：“为了防备狼，羊群用篱笆围了起来，但不知道篱笆墙内还有没有狼。”（来源：科学网，2013-02-25 ）endprint