外心
- 一个加强欧拉不等式的几何意义及应用*
N分别为三角形的外心和内心,R和r分别为三角形外接圆和内切圆的半径,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,则图2图3命题4 如图4,在钝角△ABC中,AD,BE,CF为三条内角平分线,点M和点N分别为三角形的外心和内心,R和r分别为三角形外接圆和内切圆的半径,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,则图4运用命题2的方法很容易得到当三角形为直角三角形或钝角三角形的情况,不同的是直角三角形的外心在斜边上,因此S△ABC=S△
中学数学研究(江西) 2023年11期2023-11-10
- 活用多边形外心确定多面体外接球的球心
外接圆圆心,简称外心.2.知识深化由性质1可知,O1就是多边形的外心.由性质2可知,OO1⊥平面O1,反过来,过O1且垂直于平面O1的直线一定经过球心O.那么,我们选取两个截面,分别过两个截面的圆心O1,O2,作各自平面的垂线,则这两条垂线的交点就是球心O,如图1.图1凝练:选取多面体的两个平面,找两个面多边形的外心,分别过两面多边形的外心作各自面的垂线,两垂线的交点是球心.特殊情况:推论一:如图2,如果两面多边形的外心重合,那么这个外心就是球心.图2推论
教学考试(高考数学) 2023年3期2023-08-09
- 两道几何命题的新证、类比与推广
,O为ΔAEF的外心．证明:CO⊥BG．图1命题2 如图2,在锐角三角形ΔABC中,以AB为直径的圆Γ1与AC相交于点E,以AC为直径的圆Γ2与AB相交于点F,BE与CF交于点H,且AH交EF于点G,若O为ΔAEF的外心,延长BO交AC于点L,延长CG分别交BO、BE于点M、N．证明:LN//OH．图2本文基于三角函数的视角重新证明上述两个几何结论,并对此作进一步类比探究,得到新的推广结论．2 命题新证事实上,我们根据图形结构特征容易看出命题2是由命题1引
中学数学研究(江西) 2023年8期2023-07-19
- 关于三角形内特殊点的几何不等式
法，分别取该点为外心，垂心，内心，重心，费马点和勃罗卡点，得到一系列优美简洁的表达式，并研究它们之间的不等关系，推导出一个新的几何不等式.首先，介绍一个定理，它是我们一切思路的源头.文[1]第98页例6中证明了如下定理：定理1P为△ABC内一点,点P关于边AB,BC,CA的对称点分别为P1,P2,P3,则(2)∠P1P2P3=∠BPC-∠A,∠P1P3P2=∠CPA-∠B,∠P2P1P3=∠APB-∠C.2.外接圆半径的表达式在这个定理的基础上，我们分别取
中学数学研究(江西) 2023年1期2023-01-12
- 爱尔特希点集
的三个顶点及它的外心（注：“外心”是指三角形三边垂直平分线的交点）；任一菱形（注：“菱形”是四边相等的四边形）的四个顶点；正五边形的任意四个顶点。我们来简单解释一下。第一种结构如图1，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC的外心。因为D为△ABC的外心，所以BD=AD=CD。取A、B、C、D四点中的任意三点可构成4个三角形，分别为△ABC、△ABD、△ACD、△BDC，均为等腰三角形。第二种结构如图2，易于理解，不再赘述。第三种结构如图3，A、B、C、D、
初中生世界 2022年38期2022-11-02
- 探寻多种证法 培养创新素养
——一道竞赛题的多种证法与变式探究
图1，△ABC的外心为O，垂心为H．已知BH为∠ABO的角平分线，过O作AB的平行线，与AC交于点K．求证：AH=AK．(2022年第18届沙雷金几何奥林匹克通讯赛八年级组第1题)本题以三角形为基本图形，主要考查三角形垂心的性质、外心的性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，综合性较强，对初中学生而言具有一定的难度．本文从两个不同的角度出发，给出问题的多种证法．根据图形特征，给出问题的3个变式，供读者参考．为简化证明过程，先介绍垂心和外心的两个关联性质．
中学教研(数学) 2022年7期2022-07-14
- 爱尔特希点集
的三个顶点及它的外心（注：“外心”是指三角形三边垂直平分线的交点）;任一菱形（注：“菱形”是四边相等的四边形）的四个顶点;正五边形的任意四个顶点。我们来简单解释一下。第一种结构如图1，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC的外心。因为D为△ABC的外心，所以BD=AD=CD。取A、B、C、D四点中的任意三点可构成4个三角形，分别为△ABC、△ABD、△ACD、△BDC，均为等腰三角形。第二种结构如图2，易于理解，不再赘述。第三种结构如图3，A、B、C、D、
初中生世界·八年级 2022年10期2022-05-30
- 数形结合，攻破易混点
侧。四、忽略了对外心位置的讨论例4如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于________。【解析】当外心O和点A在BC同侧时，如图 6、图 7。因为所以∠BAC=35°。图6图7当外心O和点A在BC异侧时，如图8。在BC所对的优弧上取点D，连接BD和CD。图8因为∠BDC=∠BOC，∠BOC=70°，所以∠BDC=35°，所以∠BAC=180°-35°=145°。综上所述，∠BAC=35°或145°。【点评】很多同学在解决本题时忽视外
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- 值得加味的三角形的“四心”
心，垂心，内心，外心，它是三角形的重要性质。下面举例说明其应用。一、三角形的重心评注：三角形的外心是三边的中垂线的交点，也是三角形外接网的圆心。外心到三个顶点的距离相等。四、三角形的垂心評注：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心到重心的距离是垂心到重心的距离之半。此直线称为三角形的欧拉线，该定理称为欧拉线定理。
中学生数理化·高一版 2022年2期2022-04-05
- 圆锥曲线与三角形“四心”
形的重心、内心、外心、重心相结合的问题，更加深刻地认识了圆锥曲线，以此提升了学生分析问题和解决问题的能力.【关键词】圆锥曲线;重心;内心;外心;垂心《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指同：“通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力.”[1]从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识和能力的考查，又突出圆锥曲线的本质特征，而圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常
中学数学杂志(高中版) 2022年1期2022-03-07
- 值得回味的三角形的“四心”
心，垂心，内心，外心，它是三角形的重要性质。下面举例说明其应用。一、三角形的重心二、三角形的内心例2已知△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，I为△ABC所在平面上的一点，且点I满足:a·＝0，则点I为三角形的（ ）。A.外心 B.垂心C.重心 D.内心图1评注：三角形的内心，也是三角形的内切圆的圆心。内心到三边的距离相等。三、三角形的外心评注：三角形的外心是三边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。外心到三个顶点的距离相等。四、三角形的垂心五、
中学生数理化·高一版 2022年2期2022-02-28
- 关注三角形“四心”与解几的交汇题
心﹑垂心﹑内心﹑外心等问题在解析几何中也经常出现，这类问题体现了平面几何与解析几何的相互交融，由于涉及的知识面广，极富思考性和挑战性，是各类选拔性考试的选题对象.下面精选一些典型例题并予以分类解析，旨在探索解析几何中四心问题的解题方法，希望能给读者朋友有所帮助.1.重心 即三角形三条中线的交点，重心到顶点距离等于它到对边中点距离的两倍.在解析几何中常用重心坐标公式解题.例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足AO
中学数学研究(江西) 2021年9期2021-10-22
- 常见几何体外接球半径算法
射影是△ABC的外心三棱锥P-ABC三条侧棱相等三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底上，顶点P也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取△ABC的外心O1，则P，O，O1三点共线第二步：先算出小圆O1的半径AO1=r，再算出棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）第三步：勾股定理：解出R类型三：切瓜模型（二个平面互相垂直）方法：1.题设：如图9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小圆直径）第一步：易知球心O必是△PAC的外心，即△P
天府数学 2021年2期2021-10-20
- 一个与法尼亚诺问题相媲美的性质
定点是该三角形的外心时面积最小.已知如图5,T为锐角ΔABC内一点,TM⊥AB于点M,TN⊥BC于点N,TP⊥AC于点P,且TM=m,TN=n,TP=p.求证当T为ΔABC的外心时,ΔABC的面积最小.证明(方法一) 我们约定ST表示ΔMNP的面积,O为ΔABC的外心,t表示T到O的距离.延长AT交⊙O于点Q,延长BT交⊙O于点W.∵TM⊥AB,TP⊥AC,∴B、M、T、P四点共圆,∴∠TPM= ∠WBC.同理∠TPN=∠CAQ.∵∠WAC与∠WBC是WC
中学数学研究(广东) 2021年18期2021-10-13
- 例析平面向量在三角形四心中的应用
三角形的垂心A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心二、三角形的外心三、三角形的内心A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心由菱形的基本性质知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故选B.A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心四、三角形的重心A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心图1五、追踪演练A.内心 B.重心 C.垂心 D.△ABC的任意一点A．在AB边的高所在的直线上B．在∠C平分线所在的直线上C．在
数理化解题研究 2021年25期2021-09-27
- 三角形“五心”的坐标公式
还需知道三角形的外心、内心、垂心、旁心(它们和重心统称为三角形的“五心”)的坐标公式.比如，可以证明质线三角形(该三角形的质量均匀地分布在其三边上)的重心是其各中位线组成的三角形的内心.所以，本文给出三角形“五心”的坐标公式.证法1可得边AB的中垂线方程是(x-x1)2+(y-y1)2=(x-x2)2+(y-y2)2①同理可得边AC的中垂线方程是②用行列式法解①②组成的二元一次方程组，得到的解就是△ABC外心Ω的坐标(因为任意三角形的外心存在且唯一，所以此
数理化解题研究 2021年22期2021-08-19
- 常见几何体外接球半径算法
射影是△ABC的外心三棱锥P-ABC三条侧棱相等三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底上，顶点P也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取△ABC的外心O1，则P，O，O1三点共线第二步：先算出小圆O1的半径AO1=r，再算出棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）第三步：勾股定理：解出R类型三：切瓜模型（二个平面互相垂直）方法：1.题设：如图9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小圆直径）第一步：易知球心O必是△PAC的外心，即△P
天府数学 2021年18期2021-03-11
- 寻心
型、通过三角形的外心寻找球心等等技巧。关键词：正方体模型：长方体模型;外心;球心2017年版的《普通高中数学课程标准》对立体几何的学习提出了以下要求：了解一些简单几何体（球、棱柱、棱锥、棱台）的表面积与体积的计算方法，运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间概念;借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线和平面的位置关系。空间几何体的考查特别是外接球的问题一直以来都是高考的热点和难点
卷宗 2020年19期2020-10-26
- 妙用坐标系确定球心位置
为Rt∆ABC的外心,且OO′⊥平面ABC.设O(2,2,z),由|OP|=|OA|,可得 (2-0)2+(2-3)2+(z-1)2=22+22+z2,解得z=-1.评注易知三棱锥外接球的球心在经过面三角形的外心,且垂直于此三角形所在平面的直线上.利用建系及外接球的几何性质,准确假设并求出球心坐标.建立空间直角坐标系E—xyz，如图2,则A(1,0,1),C(0,2,0).因为BC2+BD2=16=CD2，所以∆BCD是直角三角形,点E为∆BCD的外心.设
高中数学教与学 2020年15期2020-09-04
- 利用30°角构造三角形外心解题
30°的三角形的外心,利用三角形外心的性质解决问题。1.求角问题例1如图1 所示,已知点P在△ABC内,满足∠ABP=20°,∠PBC=10°,∠ACP=20°和∠PCB=30°,则∠CAP为多少度?解：如 图1 所 示,取△BCP的外心为点O,连接OB,OC,OP,则∠BOP=2∠BCP=60°,从而△BOP为正三角形。由题意得∠CBO=∠ACB=50°,所以OB∥AC。又易得∠BAC=∠OCA=100°,于是梯形BOCA为等腰梯形。因此BA=OC=OB
中学生数理化(高中版.高考理化) 2020年5期2020-05-22
- 平面向量中三角形外心的教学反思
点D,则评注利用外心是三角形三条边中垂线的交点这一重要性质，进行基底分解，中间也利用了三角形中线向量定理这一常考点.思路三如下图所示，取AB的中点D,取AC的中点E,则有：评注利用外心是三角形三条边中垂线的交点这一重要性质，进行基底分解.归纳小结本小问得分率很低，考查学生的转化能力，注意本题有两解.方法归纳有关三角形外心的知识点：(1)三角形外心是三角形三条边中垂线的交点—揭示了外心的形成过程；(2)三角形外心是三角形外接圆的圆心；(3)锐角三角形的外心在
数理化解题研究 2020年4期2020-03-02
- 如何确定外接球球心的位置
：外接球;球心;外心;长方体直观想象是数学核心素养之一，强调借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形来理解和解决数学问题.在高中数学学习过程中，直观想象素养的培养与考查常通过三视图、空间平行与垂直、空间角与距离等问题展开.随着全国高考命题的统一，有关空间几何体的外接球问题日益受到重视，成为考查直观想象素养的又一热门题型.求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据不外乎球心的两个特性：一是球心到球面上各点的距离都等
理科考试研究·高中 2019年10期2019-11-11
- 三角形内一点观“四心”
词】重心;内心;外心;垂心;向量三角形中的“四心”即内心、外心、重心、垂心，是三角形重要的特征点，是高考命题中的热点问题，本文以向量为载体，探索三角形内任意一点及四心与三角形的边、顶点、内角的关系，从而可以高效准确地解决相关的一类题型.一、三角形“四心”的定义及性质1.三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心.性质：重心将中线长度分成2 ∶ 1.2.三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心.性质：内心到三角形三边距离相等.3.三角
数学学习与研究 2019年14期2019-09-17
- 一类三角形内心和外心向量问题的探究
热点，涉及内心和外心的问题又是大家相对陌生的，遇到往往束手无策，实际上只要从概念出发，依据逻辑规则推出相关命题，这类问题是很容易解决的，而这也是新课程标准下数学核心素养的要求.【关键词】内心;外心;逻辑推理在各类考试中经常考查三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的向量表示，在这四心中，重心和垂心大家都比较熟悉，应用起來也比较熟练，但对涉及内心和外心的向量问题，就显得束手无策，不知从何入手，本文基于数学核心素养中的逻辑推理素养对其中一类涉及内心、外心的向量
数学学习与研究 2019年7期2019-04-29
- 与三角形“外心”牵手的向量问题研究
将向量与三角形的外心相结合，此类问题义该如何破解呢？下面就从与三角形“外心”有关的单个向量数量积问题和双参平面向量问题出发，一起来感受一下求解的一般方法！一、与单个向量有关的数量积问题本题主要考查三角形中与“外心”有关的单个数量积计算问题，意在考查同学们的运算求解及化归与转化思想运用的能力.初次碰到此题很多同学不会求解，解题过程中，机械地将条件不停地加以尝试和利用，方向不明，耗时较多.思路一 利用數量积定义，如图1.思路二 取AC中点，利用垂直转化与化归;
新高考·高一数学 2019年1期2019-04-15
- 三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
, 故所以(四)外心——三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心.2.若O 是△ABC 的外心, 则S△BOC: S△AOC:S△AOB= sin ∠BOC : sin ∠AOC : sin ∠AOB = sin 2A :sin 2B :sin 2C.证明设△ABC 外接圆半径为R, 则S△BOC=, S△AOC=sin ∠AOC, S△AOB=又∠BOC = 2A,∠AOC = 2B,∠AOB =2C, 所 以S△BOC: S△A
中学数学研究(广东) 2019年6期2019-04-13
- 立体几何中关于棱锥外接球易错问题的分析
多见于三角形)的外心M,并求出底面外接圆的半径。(三角形外接圆的半径多用正弦定理求出)(2)过底面的外心M作底面的垂线MN,MN与直棱柱中间截面的交点即为外接球的球心O。(3)借助底面的任意顶点如A,构成直角三角形AOM,由勾股定理求出AO即为外接球的半径。5.正棱锥的外接球。(1)找出底面正多边形的中心M,并求出底面外接圆的半径。(2)连接底面中心与顶点P,并求出正棱锥的高PM。(3)由正棱锥的性质得出外接球的球心在高PM上,借助底面的任意顶点如A,构成
中学生数理化(高中版.高考数学) 2018年11期2018-12-22
- 平面向量奔驰定理与三角形四心的应用
题A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心2.知△ABC 中，G是重心，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，解：由奔驰定理可知：5 6a = 4 0b =3 5c， 不妨设a=5k ,b =7k,c =8k，由余弦定理可得：B=6 0o●与“垂心”有关的向量问题3.已知O是平面上一定点，A，BC是平面上不共线的三个点，动点P 满足：则动点P 的轨迹一定通过△ABC的（ ）A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心●与“内心”有关的向量问题4.已知O 是平面上
新教育时代电子杂志(学生版) 2018年18期2018-12-18
- 向量中有关三角形四心的一些性质
词：向量；重心；外心；内心；垂心中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）11-077-2向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学平面向量的学习中，一方面通過数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。我们再认识下三角形的四心：“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上。“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，
中学课程辅导·教师教育（上、下） 2018年11期2018-09-05
- 三角形四“心”的向量风采
心、垂心、内心、外心，在三角形中有着极其重要的地位，在各地高考题及模拟考试中，出现许多有关三角形四“心”的向量形式的优美考题，使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有了更深刻的认识。特在此分类解析，旨在探索题型规律，以提升同学们的数学思维能力。【关键词】三角形；向量；重心；垂心；内心；外心一、“重心”的向量风采例1.已知M是△ABC所在平面上的一點，若■+■+■=■，则M是△ABC的（ ）。A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心解析：由题意，得■+■=
文理导航 2018年11期2018-08-27
- ?如何我解决几何体的外接球问题
何体底面多边形的外心解：如图1,易得S C的中点O是△S A C的外心,O也为几何体外接球的球心,所以R图1类型二：外接球球心在底面的射影即为底面多边形的外心此类题一般先过底面多边形的外心作底面的垂线,在垂线上设球心O,构造直角三角形,再利用勾股定理求出R。解：如图2所示,H为底面A BC D的外心,SH⊥底面A BC D。设球心为O,在Rt△OBH中,由勾股定理得解得图2图3解：由三视图知几何体为四棱锥(如图4)。可设球心O在过外心H的垂线l上,O C=
中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年1期2018-02-26
- 用向量知识处理三角形中的三心问题
B.垂心 C.外心 D.重心解析： AHC ，取BC的中点D，连结AD由向量共线的定义知：A，P，D共线 .则点P过?ABC 的重心 .例2.证明：充分性∵P，M，Q 三点共线，垂心：三角形中三条高的交点，与向量运算中数量积为零这一运算联系密切.例3.O为?ABC的外心，平面内一点P，满足 ，则点P是?ABC垂心.解析：由 得以OB，OC 为邻边作平行四边形OBDC ，则有O为?ABC 的外心 ，∴OB = 0C∴ 四边形OBDC为菱形∴ OD ⊥ BC
课程教育研究·新教师教学 2015年1期2017-09-26
- 一道预赛题的再探究
，同时对三角形的外心、重心、垂心等类似问题作进一步探究，希望对读者有所帮助.ΔABC中,AB=c,BC=a,AC=b,我们不妨提出如下更一般性的问题：事实上，对于问题2，我们有如下结论：图1大家知道，三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)常常作为各级各类考试的热点问题，类似于问题2，我们不禁提出如下问题：对于上述问题，类似于结论2，我们也可得到如下结果：证明：若O为ΔABC的重心，不难求得x∶y∶z=1∶1∶1.若b2+c2≠a2,则由(*)式方程组解得综
中学数学研究(江西) 2017年6期2017-06-28
- 理解三角形“四心”要“一意”,巧解习题勿“三心”又“二意”
即:重心、垂心、外心、内心)有了初步的认识和理解.进入高中后,特别是学习向量知识以后,以向量为载体对三角形“四心”有关问题进行了深入的研究,大量的且不同形式的习题出现,冲击着广大师生的大脑.笔者从事高中数学教学多年,发现这块知识学生很难把握,很多老师在平时的教学中虽然也有重点强调和讲解,但感觉还是不够系统,没有从本质上揭示它们之间所蕴含的内在联系,其实通过探究不难发现三角形的“四心”的向量表示有着统一的形式,本文就从三角形的“四心”向量统一表示形式及其相关
中学数学研究(广东) 2017年2期2017-03-28
- 善用衍生结论,巧解关于三角形外心的向量问题
,巧解关于三角形外心的向量问题江苏省南通市通州区二甲中学(226321)陆忠华在近年的数学模拟考试、期末考试中,出现了一类关于三角形外心的向量问题,考生普遍反应题目难,解题方向不明确,存在较大的解题障碍.笔者研究后发现,该类问题如果能善用一个解题的衍生结论,那么解题的方向会豁然开朗,“难题”将不再是“难题”.下面我们先来探究一个问题:已知如图1,△ABC的三边分别为a,b,c,点O是△ABC的外心,试用边长a,b,c表示下式:图1图2图3利用此衍生结论,可
中学数学研究(广东) 2016年1期2016-12-23
- “外 心” 真 会 玩
00)何振华“外心”真会玩江苏省海门中学(226100)何振华在各类模拟考试中，经常出现与外心有关的考题，很多学生遇到这类考题往往不能找到问题的切入点，感到无从下手，本文意欲与大伙一起突破思维障碍，玩转“外心”.下面以2015泰州模考的填空题14题为例，谈谈如何发现外心问题的切入点.在ΔABC中，D为边AC上一点，AB=AD=4,AC=6,若ΔABC的外心恰在线段BD上，则BC=.分析：在ΔABC中，已知AB=AD=4,AC=6，只需求出∠BAC，即可用
中学数学研究(江西) 2016年9期2016-11-09
- 例说外心问题的多角度切入
6100)例说外心问题的多角度切入何振华(江苏省海门中学，226100)在高三的各类模拟考试中,外心问题一直受到命题者的青睐,出现许多与外心有关的考题,而学生往往感到无从入手.本文以2015年我省泰州市的一道模考填空题为例,谈如何找到外心问题的切入点,意欲与大伙一起突破“外心”困惑．试题在∆ABC中,D为边AC上一点,AB=AD=4,AC=6,若∆ABC的外心恰在线段BD上,则BC=______.分析在∆ABC中,已知AB=AD=4,AC=6,只需求出∠
高中数学教与学 2016年15期2016-08-31
- 心路历程之外心
摘要】 三角形的外心能从它的特征——到三角形三个顶点的距离相等出发帮助我们认识三角形，本文从三角形的外心的存在性、性质、作图、应用四个方面介绍了三角形的外心.【关键词】 外心；外接圆；垂直平分线三角形的五心“外心”“内心”“重心”“垂心”“旁心”给出了三角形的一些重要性质，对于我们认识三角形提供了帮助.下面笔者就对外心加以整理：边中垂线交一点，用它可作外接圆，此点定义为“外心”，其到顶点长相等，要问最小覆盖圆，先看形状定圆心一般的，把三角形三条边的垂直平分
数学学习与研究 2016年20期2016-05-30
- 情真意切话“四心”
的有重心、垂心、外心和内心。为方便大家阅读和理解下面的精彩文字，我们先“科普”一下相关知识。三角形的重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。三角形的垂心是三角形三条高或其延长线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的外心是三边垂直平分线的交点，即是三角形外接圆的圆心。锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心
新高考·高一数学 2016年1期2016-03-05
- 一道联赛预赛题引发的思考
，同时对三角形的外心、重心、垂心等类似问题作进一步探究，希望对读者有所帮助.ΔABC中，AB=c,BC=a,AC=b,我们不妨提出如下更一般性的问题：事实上，对于问题2，我们有如下结论：图1大家知道，三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)常常作为各级各类考试的热点问题，类似于问题2，我们不禁提出如下问题：对于上述问题，类似于结论2，我们也可得到如下结果：故此时x∶y∶z=a2(b2+c2-a2)∶b2(c2+a2-b2)∶c2(a2+b2-c2).综上所述
中学数学研究(江西) 2016年1期2016-02-25
- 一题“三变”心心相印
三角形中有内心、外心、重心、垂心这“四心”。下面以一道典型例题为载体，通过一题“三变”，对三角形的“四心”问题进行举例解析。题目 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的i个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过△ABC的（）。A.外心B.内心C.重心D.垂心解：先根据题意画出图形，再根据平面向量共线的有关性质进行求解。如图1所示，表示与同向的单位向量，设为示与同向的单位向量，设为。由向量的平行四边形法则，知因为，所以，则共线。由于平分角，可知点P的
中学生数理化·高一版 2015年5期2015-05-30
- 向量走进三角形的“心”
形的重心、垂心、外心，内心等问题，成为一道亮丽的风景线.向量走近三角形，走进三角形的“心”中，注重向量的知识性，工具性的教学，考查，为提高学生的数学素养，培养学生的数学思维能力发挥着显著的作用.一、向量走进三角形的“心”定理1：已知△ABC所在平面内一点G，则点G是△ABC的重心？圳 + + =0.证明：（1）当G是△ABC的重心，如图1，AD是BC边上的中线，则 + =2 ，又因为 =-2 ，所以， + + =0.（2）若 + + =0，①设G′为△A
教学月刊·中学版（教学参考） 2015年1期2015-01-23
- 关于三角形“四心”距离的讨论
心、垂心、内心和外心.通过查阅近几年中学数学类杂志刊发的有关三角形“四心”的论文资料发现，已有的关于三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文拟在已有研究的基础上，探讨三角形“四心”的距离问题.不失一般性，假设△ABC的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r.记△ABC的周长的一半为s，△ABC的面积为Q，用点I，O，G，H分别表示△ABC的内心、外心、重心、垂心.以上述条件为基础，我们来分别求OI，OG，HI，GI，即“四
中学数学杂志 2012年4期2012-08-27