妙用坐标系确定球心位置

陈旋辉

(广东省兴宁市第一中学，514500)

求多面体外接球的表面积与体积是立体几何的热点问题.求解时通常需要借助球心求出球的半径,从而求出球的表面积或体积.在球心及半径不易确定时,通过建立空间直角坐标系能帮助我们迅速解决此类问题.

解建立空间直角坐标系A—xyz.如图1,过点P作PD⊥AC于点D,因平面PAC⊥平面ABC,故PD⊥平面ABC.

设外接球心为点O,O′为BC的中点,则O′为Rt∆ABC的外心,且OO′⊥平面ABC.设O(2,2,z),由|OP|=|OA|,可得 (2-0)2+(2-3)2+(z-1)2=22+22+z2,解得z=-1.

评注易知三棱锥外接球的球心在经过面三角形的外心,且垂直于此三角形所在平面的直线上.利用建系及外接球的几何性质,准确假设并求出球心坐标.

建立空间直角坐标系E—xyz，如图2,则A(1,0,1),C(0,2,0).因为BC2+BD2=16=CD2，所以∆BCD是直角三角形,点E为∆BCD的外心.设三棱锥的球心为O，则OE⊥平面BCD.可设O(0,0,z)，球的半径为R,则 由R=|OA|=|OC|,可得(0-1)2+(0-0)2+(z-1)2=(0-0)2+(0-2)2+(z-0)2,解得z=-1.

S=4πR2=20π.

评注当万事俱备的时候,建系确定球心的位置犹如吹来的东风,使问题简单明了,减少了许多烦琐的运算.