用向量巧求函数的最值

金小峰

(上海市奉贤中学，201499)

函数的最值问题是高中数学的重要知识之一,求解函数最值的常用方法有导数法、均值不等式法、数形结合法等.而向量同时具备了“数”和“形”的特征,是沟通代数、几何与三角函数的重要工具.本文举例说明向量在求函数最值上的应用.

一、用向量的数量积不等式求函数最值

由定义a·b=|a||b|cosα,不难得到如下结论:

(1)a·b≤|a||b|,当且仅当a与b同向时等号成立.

(2)|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.

(3)(a·b)2≤|a|2|b|2,当且仅当a∥b时等号成立.

例3求实数x,y的值,使u=(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值[1].

评注此题将u看成向量模的平方,根据这一代数式特征巧妙地构造向量a和b,使得a·b和|b|为定值是解决问题的关键.

二、用向量的三角不等式求函数最值

由向量运算的几何意义,易知有关向量的三角不等式:

(1)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a和b反向时左边等号成立;当且仅当a和b同向时右边等号成立.

(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当a和b同向时左边等号成立;当且仅当a和b反向时右边等号成立.

上述两个例子巧妙地通过向量不等式解决了某些含无理根式函数的最小值或最大值问题,解法较为新颖且简洁明快.

构造向量求解函数最值问题是一种创新性的解题方法,从向量的角度看待数学问题,有助于拓宽视野,激发学生们的学习兴趣,感受数学的奇妙之处.