一个加强欧拉不等式的几何意义及应用*

戴程嘉 刘金强 李春霞

山东省滨州学院理学院 (256600)

为了给出加强欧拉不等式的几何意义,本文从下面的命题谈起.

图1

由本文得到的不等式链可以推出下面的不等式.

其中(2)是(1)的一部分,(1)是原不等式链的几何表示形式,即任意一个三角形外接圆半径和内切圆半径的比值不小于该三角形的面积和三条内角平分线与三角形三边相交形成的新三角形面积的二倍的比值.实际上利用(1)还能得到一些新的不等式.

命题2 如图2,在锐角△ABC中,AD,BE,CF为三条内角平分线,点M和点N分别为三角形的外心和内心,R和r分别为三角形外接圆和内切圆的半径,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,则

图2

图3

命题4 如图4,在钝角△ABC中,AD,BE,CF为三条内角平分线,点M和点N分别为三角形的外心和内心,R和r分别为三角形外接圆和内切圆的半径,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,则

图4

运用命题2的方法很容易得到当三角形为直角三角形或钝角三角形的情况,不同的是直角三角形的外心在斜边上,因此S△ABC=S△ABM+S△CBM,钝角三角形的外心在三角形外,因此,S△ABC=S△AMC+S△BMC-S△ABM,其余的证明均与命题2的相同,这里就不再赘述了.