用向量知识处理三角形中的三心问题

陈传琴

向量是数学的重要概念之一，在高考中向量作为解题工具的应用体现得非常突出。熟练地运用三角形法则和平行四边形法则对向量进行分解也合成，是用向量知识解题的关键。本文旨在研究用向量处理三角形的三心问题。

1.三角形重心的向量表示及应用

?ABC内一点G，满足 ，则G 为三角形的重心 .

解析：取BC中点D，则

∴ 由三角形重心定义知

G为三角形 的重心 .

2. 三角形中向量的中线公式

已知?ABC 中，AD 为?ABC中BC 边上的中线，则有 ； 反之， ，AD必为BC边上的中线 .

例1. 已知O是?ABC内一定点，动点P满足 则动点P的轨迹一定过?ABC的（ ）

A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心

解析： AHC ，取BC的中点D，连结AD

由向量共线的定义知：A，P，D共线 .

则点P过?ABC 的重心 .

例2.

证明：充分性

∵P，M，Q 三点共线，

垂心：三角形中三条高的交点，与向量运算中数量积为零这一运算联系密切.

例3.O为?ABC的外心，平面内一点P，满足 ，则点P是?ABC垂心.

解析：由 得

以OB，OC 为邻边作平行四边形OBDC ，则有

O为?ABC 的外心 ，

∴OB = 0C

∴ 四边形OBDC为菱形

∴ OD ⊥ BC

∴AP⊥BC

同理 BP⊥AC

∴P 為?ABC的垂心.

例4.在同一平面内，有 ABC 及一点O 满足关系式：

∴BA⊥OC 同理 BC⊥OA

∴O 是?ABC 的垂心.endprint