平面向量中两个共线定理的运用

2019-04-29 01:47王磊
关键词:共线平行四边形线性

【中图分类号】O181 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089(2019)07-0263-02

先看一道例题:

例1:如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P、G、Q三点共线.设OP=xOA,OQ=yOB,则1x+1y=

这是平面向量里面非常经典的一道题目,类似的题目也很多。有很多同学看到这类题目却一头雾水,无从下手,即使上课听老师讲了,课后自己去做还是东凑西拼,找不到思路。我们先来回顾一下两个定理:

一、平面向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个實数λ,使b=λa.

二、平面向量三点共线定理

在平面中A、B、P三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O,存在唯一的

一对实数x,y使得:OP=xOA+yOB且x+y=1.

分析:例1考查的就是平面向量共线定理的应用。所以解决问题的关键是要找出图中的“共线”关系,并进行线性表示。一般分为三步:第一步由OM与PQ相交于G,确定两个共线关系,即:OG和OM共线,PG和PQ共线.第二步利用平面向量共线定理,从“两个方面”分别表示出OG,第三步利用平面向量基本定理的唯一性,列出方程组,求出有关参数。

解:一方面∵OG和OM共线,且G是△OAB的重心,

∴OG=23OM=23×12(OA+OB)=13OA+13OB.

另一方面∵PG和PQ共线,可设PG=λPQ

∴OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQ-OP),

=(1-λ)OP+λOG=(1-λ)xOA+λyOB

又OA,OB不共线,利用平面向量基本定理的唯一性得:

在书写格式上,可以采用,便于抓住思路,叙述条理清晰。

反思上面的解法,向量PG和PQ共线,即G、P、Q三点共线,那我们还可以尝试用平面向量三点共线定理来做,请看以下解答:

又解:∵G是△ABC的重心,

∴OG=23OM=13OA+13OB=13·1xOP+13·1yOQ

=13xOP+13yOQ.

又G、P、Q三点共线,由平面向量三点共线定理知,系数和13x+13y=1.

从而得1x+1y=3.

怎么样,把上面两个定理同时运用,解答过程是不是变得非常简单了?!

其中用平面向量三点共线定理解题的关键是,其中一个向量要用另外两个终点共线的向量线性表示。此题中即:向量OG转化为用OP和OQ表示.

例2:在△ABC中,点P是AB上的一点,BP=2PA,Q是BC的中点,AQ与CP交于点M,且,求t的值.

分析:抓住AM〗共线,用平面向量共线定理解决。

解法一:一方面

解法二:两个定理同时运用

解:∵

∴A、M、Q三点共线,∴

怎么样,解法二两个定理同时运用是不是让你很惊喜,够简单吧!

下面我们就用这个简单的方法再做一题。

例3:如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是AB、AD上的点,AM=45AB,

AN=23AD,连接AC、MN交于点P.若AP=λAC,求λ的值.

分析:由题意,抓住P、M、D三点共线,AP用AM和AD来表示.

解:由AP=λAC及平行四边形法则知:

AP=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AD)=54λAM+32λAD.

∵P、M、D三点共线,∴54λ+32λ=1,求得λ=411.

作者简介:王磊,男,汉族,籍贯浙江兰溪,中学二级,大学本科,延安大学毕业。

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