探寻多种证法 培养创新素养——一道竞赛题的多种证法与变式探究

张 宁

(沙坡头区宣和镇东台学校，宁夏 中卫 755000)

1 问题呈现

图1

例1如图1，△ABC的外心为O，垂心为H．已知BH为∠ABO的角平分线，过O作AB的平行线，与AC交于点K．求证：AH=AK．

(2022年第18届沙雷金几何奥林匹克通讯赛八年级组第1题)

本题以三角形为基本图形，主要考查三角形垂心的性质、外心的性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，综合性较强，对初中学生而言具有一定的难度．本文从两个不同的角度出发，给出问题的多种证法．根据图形特征，给出问题的3个变式，供读者参考．

为简化证明过程，先介绍垂心和外心的两个关联性质．

2 垂心和外心的两个关联性质

图2

性质1(卡诺定理)三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍．

证明如图2，△ABC的外心为O，垂心为H．OM⊥BC，垂足为M．联结BH，联结CO并延长交⊙O于点D，联结AD，BD．

由三角形垂心的性质及圆的性质，易得

AH⊥BC， DB⊥BC，

从而

AH∥DB．

又因为BH⊥AC，DA⊥AC，所以BH∥DA，故四边形ADBH是平行四边形，从而

AH=DB=2OM，

即三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍．

图3

性质2如图3，△ABC的外心为O，垂心为H，则∠BAH=∠OAC．

证明如图3，延长AH交BC于点D．联结OC，因为H为△ABC的垂心，所以

AD⊥BC，

即

∠BAH=90°-∠B．

由O为△ABC的外心，得

=90°-∠B，

于是

∠BAH=∠OAC．

图4

3 多种证法

思路1构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明AH=AK.

证法1如图4，延长BH交⊙O于点N，联结AN．延长AH交BC于点E．联结KH，并延长交AB于点F．联结ON，易知

OB=ON，

从而

∠ONB=∠OBN．

因为BH平分∠ABO，所以

∠ABH=∠OBN,

从而

∠ABH=∠ONB，

即

ON∥AB．

由OK∥AB，知点K在线段ON上，即点O，K，N共线.又

∠ANB=∠C， ∠AHN=90°-∠CAE=∠C，

从而

∠ANB=∠AHN，

即

AH=AN．

由∠NAK=∠CBN=90°-∠C=∠CAE,易得

△AKH≌△AKN,

从而

KH=KN，

即

∠KNH=∠KHN.

又∠KNH=∠OBH，∠OBH=∠ABH，知

∠KHN=∠OBH，

从而

KF∥OB．

由OK∥AB，知四边形OBFK是平行四边形，从而OK=BF．由∠KHN=∠BHF，知

∠ABH=∠BHF， BF=FH．

从而

FH=OK．

联结OA，由性质2可知

∠BAH=∠OAC，

又OK∥AB，KF∥OB，得

∠AOK=∠OAB=∠OBA=∠AFH，

从而

△AFH≌△AOK，

于是

AH=AK．

评注全等三角形的性质是证明两条线段相等的最基本的几何工具．欲证AH=AK，只需证线段AH和AK所在的两个三角形全等即可．线段AH是△ABH的边，线段AK不是所需三角形的边．根据图形特征，联结OA，则线段AK是△AOK的边，显然△ABH和△AOK不全等，需重新构造全等三角形．由OK∥AB，易想到构造线段FK，然后证明KF∥OB，即可证得四边形OBFK是平行四边形．根据已知条件易得FH=BF=OK，易证△AFH≌△AOK．由此可以看出，利用这种方法解决本题的关键是构造线段FK，证明KF∥OB，这也是利用这种方法解决本题的难点．

图5

证法2如图5，延长BH交⊙O于点N，联结AN．延长BO交AC于点E，联结OA，OC．

由已知及性质2，知

∠ABN=∠EBN=∠EBC，

∠BAH=∠OAC.

由圆的性质，知

∠ANB=∠ACB,

由BH⊥AC，BH平分∠OBA，得

AB=BE,

从而

△ABN≌△EBC，

于是

AN=CE．

由BH⊥AC，∠ABH=∠EBH，知

∠AEB=∠BAE，

又OK∥AB，得

∠BAE=∠OKE，

从而

∠AEB=∠OKE，

于是

∠AKO=∠CEO．

易得

△COE≌△AOK，

即

AK=CE,

故

AN=AK．

易知

∠AHN=∠ABH+∠BAH，

∠N=∠ACB=∠OCB+∠OCA

=∠EBC+∠OAC=∠ABH+∠BAH．

即

∠AHN=∠N，

从而

AN=AH,

故

AH=AK．

评注由图5可知，线段AH是△ABH的边，线段AK是△AOK的边，显然△ABH和△AOK不全等．因此，需另辟蹊径，将线段AH和AK转化到其他三角形中，然后利用全等三角形的判定与性质解决问题．根据图形特征，易想到延长BH，构造△ABN；延长BO，构造△EBC，易得△ABN≌△EBC，可得AN=CE，从而只需证明AN=AH，AK=CE即可．利用等腰三角形的性质易证AN=AH，利用全等三角形的性质易证AK=CE．

思路2构造第三条线段，证明线段AH和AK都等于第三条线段.

图6

证法3如图6，延长BH交AC于点D，延长BO交AC于点E．过点O作OM⊥BC，垂足为M．过点M作MF∥AC交BE于点F，联结OA，OC．易知

BH⊥AC， ∠ABD=∠EBD，

从而

∠AEB=∠BAE．

由OK∥AB，知

∠BAE=∠OKE，

从而

∠AEB=∠OKE，

于是

OE=OK，∠AKO=∠CEO．

又

△COE≌△AOK，

得

AK=CE.

由OB=OC，OM⊥BC，知点M是线段BC的中点，由MF∥AC，知

CE=2FM， ∠FMB=∠ACB,

从而

∠OFM=∠EBC+∠FMB

=∠EBC+∠ACB=∠AEB=∠BAC，

于是

∠BOM=∠OFM，

即

OM=FM, CE=2OM，

得

AK=2OM.

又由性质1，知

AH=2OM，

故

AH=AK．

评注根据BH⊥AC，∠ABD=∠EBD，易知△ABE是等腰三角形，根据OK∥AB，可得∠BAE=∠OKE；易知△OEK是等腰三角形，从而AK=CE，只需证明AH=CE即可．线段AH是△ABH的边，线段CE是△BCE和△COE的公共边，显然无法利用全等三角形的性质证明AH=CE．由性质1易想到构造线段OM，得到AH=2OM；由点M是线段BC的中点，易想到构造△BCE的中位线FM，只需证明FM=OM，即证∠BOM=∠OFM，根据已知及圆的性质即可证明．由此可以看出，构造第三条线段，证明两条待证线段都等于第三条线段，也是证明两条线段相等的常用方法，具有普适性[1]．

图7

证法4如图7，延长BH交⊙O于点N，联结AN，ON,易知

OB=ON，

从而

∠ONB=∠OBN.

又BH平分∠ABO，知

∠ABH=∠OBN，

于是

∠ABH=∠ONB，

可得

ON∥AB．

由OK∥AB，知点K在线段ON上，即点O，K，N共线．延长BO交AC于点E，联结OA，OC.由性质2，知

∠ABH=∠OBC， ∠BAH=∠OAC.

由圆的性质，知

∠ANB=∠ACB，

从而

BH⊥AC， ∠ABH=∠EBH，

于是

∠OEK=∠BAE．

因为OK∥AB，所以

∠BAE=∠OKE，

即

∠OKE=∠OEK，

易得 ∠ANK=∠ANB+∠ONB

=∠ACB+∠OBN=∠ACB+∠OBC，

∠AKN=∠OKE=∠OEK=∠ACB+∠OBC，

亦即

∠ANK=∠AKN，

从而

AK=AN．

又

∠AHN=∠ABH+∠BAH，

∠ANB=∠ACB=∠OCB+∠OCA

=∠OBC+∠OAC=∠ABH+∠BAH．

知

∠AHN=∠ANB，

即

AN=AH,

故

AH=AK．

评注根据图形特征，延长BH，构造△AHN,联结ON，易证点H，K，N共线，得到△AKN，显然线段AH是△AHN的边，线段AK是△AKN的边，即线段AN是△AHN和△AKN的公共边，从而只需证明△AHN和△AKN是等腰三角形即可．这种证法通俗易懂，证明过程简洁明了，具有普适性．

4 变式探究

变式1如图8，△ABC的外心为O，垂心为H．已知BH为∠ABO的角平分线，过点H作OB的平行线，与AC交于点K．求证：AH=AK．

分析如图8，延长BH交AC于点D，延长BO交AC于点E，联结OA，OC，易证∠AHK=∠AKH．

变式2如图1，△ABC的外心为O，垂心为H．已知BH为∠ABO的角平分线，点K在线段AC上，AK=AH．求证：OK∥AB．

图8 图9

变式3如图9，△ABC的外心为O，垂心为H．已知BH为∠ABO的角平分线，点K在线段AC上，AK=AH．直线KH交AB于点D．求证：四边形DBOK是平行四边形．

限于篇幅，证法从略，请读者自行探究．

5 结束语

几何问题是培养学生创新素养的绝佳课程素材．在数学教学中，引领学生从不同角度出发探究几何问题的多种解法与变式探究是培养学生创新素养的有效途径，也是积累创新素养教育课程素材的基本途径[2]．抓住几何图形的基本特征，理清几何图形中已知量与未知量之间的逻辑关系，是解决几何问题的关键[3]．当几何图形中已知量与未知量之间的逻辑关系不明显时，需通过添加辅助线使几何图形中已知量与未知量之间的逻辑关系外显化，从而为解决问题创造条件．根据几何图形特征添加辅助线是极具创造性的探索过程，是培养学生创新素养的绝佳机会．变式探究是在准确把握几何图形特征的基础上，提出新问题的过程，也是培养学生创新素养的有效途径．

正如爱因斯坦所说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要．”因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步．