值得回味的三角形的“四心”

■贺显孟

三角形的“四心”，即重心，垂心，内心，外心，它是三角形的重要性质。下面举例说明其应用。

一、三角形的重心

二、三角形的内心

例2已知△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，I为△ABC所在平面上的一点，且点I满足:a·＝0，则点I为三角形的（ ）。

A.外心 B.垂心

C.重心 D.内心

图1

评注：三角形的内心，也是三角形的内切圆的圆心。内心到三边的距离相等。

三、三角形的外心

评注：三角形的外心是三边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。外心到三个顶点的距离相等。

四、三角形的垂心

五、等边三角形的“中心”

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

评注：等边三角形的“四心”共点，也称为等边三角形的“中心”。

六、三角形的“四心”的综合应用

例6（多选题）已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB＝4，AC＝2，则下列各式正确的是（ ）。

图2

评注：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心到重心的距离是垂心到重心的距离之半。此直线称为三角形的欧拉线，该定理称为欧拉线定理。