向量走进三角形的“心”

夏玉钦+张红玉

新的一轮课程改革，向量进入高中数学教材.向量作为高中数学新增内容之一，又具有几何与代数的双重意义，备受关注.向量与三角形知识的交汇，成为高考命题及模拟考试的热点.特别是向量走进了三角形的“心”，即运用向量来探讨有关三角形的重心、垂心、外心，内心等问题，成为一道亮丽的风景线.

向量走近三角形，走进三角形的“心”中，注重向量的知识性，工具性的教学，考查，为提高学生的数学素养，培养学生的数学思维能力发挥着显著的作用.

一、向量走进三角形的“心”

定理1：已知△ABC所在平面内一点G，则点G是△ABC的重心？圳 + + =0.

证明：（1）当G是△ABC的重心，如图1，AD是BC边上的中线，则 + =2  ，又因为 =-2 ，所以， + + =0.（2）若 + + =0，①设G′为△ABC的重心，则由（1）可得： + + =0.②

①-② 得： + + =0？圯 =0？圯G与G′重合，说明点G是△ABC的重心.

定理2：已知△ABC所在的平面内的一点H，则点H是△ABC的垂心？圳  · = · = · .

证明：（1）当点H是△ABC的垂心.如图2， ⊥ ？圯 · =0？圯 ·（ - ）=0？圯  · =  · .   ①

同理： ⊥ ？圯 · =0？圯  ·（ - ）=0？圯 · =  ·  ②

由①和②得 · = · = · . （2）若 · = · = · ？圯  ·（ - ）=0，？圯 · =0，？圯 ⊥  ？圯HA⊥BC.

同理HB⊥AC，HC⊥AB，因此点H是△ABC的垂心.

定理3：已知△ABC所在平面内一点O，则点O是△ABC的外心？圳（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· .

证明：（1）点O是△ABC的外心，如图3，OA=OB=OC， 则  =  =  ，由  =  ，？圯  -  =0？圯（ + ）·（ - ）=0？圯（ + ）· =0.

同理可得，（ + ）· =0，（ + ）· =0，所以（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· .

（2）若（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· ，于是（ + ）·（ - ）=（ + ）·（ - ）=（ + ）·（ - ）？圯  -  =  -  =  -  ？圯   =  =  ？圯OA=OB=OC，则点O为△ABC的外心.

定理4：已知△ABC所在平面内的一点I，则点I是△ABC的内心？圳 · + · + · =0.

证明：（1）当I是△ABC的内心，由I点向各边引垂线，垂足分别是为D，E，F，如图4，得ID=IE=IF. ①

现在我们先来证明：

S△IBC· +S△ICA· +S△IAB· =0.     ②

以I为原点，IA为x轴建立直角坐标系，如图5，设 =（p，0）， =（qcosα，qsinα）， =（rcosβ，rsinβ），则S△IBC= qr·

sin（β-α），S△ICA= prsin（2π-β）=- prsinβ，SΔIAB=  pqsinα，S△IBC· +S△ICA· +S△IAB· = qrsin（β-α）·（p，0）- prsinβ·（qcosα，qsinα）+ pqsinα·（rcosβ，rsinβ）= pqr[sin（β-α）-（sinβcosα-cosβsinα）]+ pqr（sinαsinβ-sinαsinβ）=（0，0）=0.

即  ·ID· +  ·IF· +  ·IE· =0.    ③

由①和③得 · + · + · =0.

（2）若 · + · + · =0.   ①

设点I′是△ABC的内心，则由（1）知 ·I′A+ ·I′B+ ·I′C=0.   ②

由①-②得 · + · + · =0？圯（ + + ）· =0？圯 =0则I与I′重合，所以点I是△ABC的内心.

二、向量走进三角形“心”中的一些数学问题的教学研究

例1   设点O是△ABC所在平面内一点，  · = · = · ，则点O是△ABC的 （    ）

A.重心      B.垂心     C.外心     D.内心

由定理2，易知选B.

例2   O为△ABC所在平面内一点，且满足  +  =  +  =  +  ，则点O是△ABC的（     ）

A.外心      B.内心     C.重心     D.垂心

解：由  =  =（ - ）2=  +  -2 · ，  =  +  -2 · ，  =  +  -2 · ，代入已知的等式中，？圯 · =  · = · 所以由定理2，选D.endprint

例3  设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，平面向量b1，b2，b3满足bi=2ai，且ai顺时针旋转30°后与bi同向（i=1，2，3），则

A. -b1+b2+b3=0       B. b1-b2+b3=0

C. b1+b2-b3=0         D. b1+b2+b3=0

解：联想定理1，作△ABC，其重心为G，a1= ，a2= ，a3= ，使ai旋转并使模伸长为原2倍，可得bi（i=1，2，3）.由b1= ，b2= ，b3= ，得△A′B′C′，G也为△A′B′C的重心，则b1+b2+b3=0，选D.

例4   △ABC的外接圆的圆心为O，两条边上高的交点为H， =m（ + + ），则实数m=    .

解：利用结论唯一时，特殊结论和一般结论等价，取△ABC为直角三角形，直角顶点为A，垂心H与A重合，则在△ABC中， + =0，∴  = =m ？圯m=1.

例5   O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共点的三点，动点P满足， = +λ（ + ），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（    ）

A.外心     B.内心     C.重心     D.垂心

解：注意到 + 为△ABC中∠BAC的平分线所在的直线，故选B.

例6   已知△ABC的外接圆的直径是2，点O为其外心，且 + + =0， 求证：△ABC是正三角形.

证明：O点满足 + + =0，则O点是△ABC的重心，又O点是△ABC的外心，所以△ABC是正三角形.

例7  O为△ABC所在平面内一点，满足  · =  · = · .则O是△ABC的（    ）

A.三条内角的角平分线的交点

B.三条边的中垂线交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

解：由定理2可知选D.

例8  P为△ABC所在平面内一点，  · =  · = · ，则P是△ABC的（    ）

A.外心    B.内心    C.重心     D.垂心

解：由定理2可知选D.

例9  O为△ABC所在平面内一点，且满足  +  =  +  =  +  ，则O是△ABC的（    ）

A.外心    B.内心    C.重心     D.垂心

解：这是例2的一种等价形式，选D.

例10   点P为△ABC的外心，且 =4，  =2，则 ·（ - ）等于（    ）

A.2         B.4         C.6        D.8

解：如图6，设O为BC的中点，则  = + = （  +  ） + ，则 ·（ - ）= （  -  ）+ · = （  -  ） =6， · =0，选C.

可见，向量增添，数学教学天地一片新.它足以使我们的思想变宽，思维活跃，给数学教育教学、数学研究带来勃勃生机.endprint