关于三角形“四心”距离的讨论

☉石河子大学师范学院课程与教学系 刘 超

三角形的“四心”即重心、垂心、内心和外心.通过查阅近几年中学数学类杂志刊发的有关三角形“四心”的论文资料发现，已有的关于三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文拟在已有研究的基础上，探讨三角形“四心”的距离问题.

不失一般性，假设△ABC的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r.记△ABC的周长的一半为s，△ABC的面积为Q，用点I，O，G，H分别表示△ABC的内心、外心、重心、垂心.以上述条件为基础，我们来分别求OI，OG，HI，GI，即“四心”之间的距离，并探讨其应用.

首先证明在求“四心”距离时要用到的两个恒等式.

证明：

在此基础上，给出“四心”之间的距离.

（1）外心与内心之间的距离.

如图1所示，设OI=d，由∠AIF=α+β=∠FAI，得AF=IF.由

（2）外心与重心之间的距离.

如图1所示，

（3）内心与垂心之间的距离.

（4）重心与内心之间的距离.

如图1所示，