运用几何变换，巧解初中几何问题

陈锦钢

【摘要】常见的几何变换包括平移变换、旋转变换、对称变换，这三种变换不改变图形大小，但可以改变点、线段、角等几何图形的位置.在初中几何问题中当已知条件分散、相关图形零散时，运用几何变换可以改变问题情景，快速找到量与量之间的内在联系，使得解题思路清晰便捷.

【关键词】几何变换；初中几何；解题思路

几何图形通过常见的平移、旋转和对称变换实现在不改变图形大小的情况下，改变点、线段以及角等几何图形的位置，实现将分散的已知信息集中在某个基本图形中，将图形中量与量之间的内在联系更加清晰呈现，使得解题思路更加明了与简捷.

1 平移变换

平移变换是欧氏几何中重要的一种变换.它是指在欧氏空间中，把原图形上的所有的点都沿着同一个方向进行运动，且运动相等的距离，这样的图形改变称之为平移变换，简称平移.平移变换不改变图形的形状、大小、方向；且连接对应点的线段平行且相等.借助平移变换的特性，可以快速找到解题的突破口.

例1 在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，AC⊥BD于点E，M，N分别是AD、BC的中点，CF⊥AB于点F.求证MN=CF.

分析 因为MN、CF的位置相对分散，欲证明MN=CF，需要借助已知的信息进行转化.由题意

解 过点C作CG∥DB交AB的延长线于点G，

因为AB∥DC，所以DBGC是平行四边形，

所以BG=DC，DB=CG，

又ABCD是等腰梯形，所以AC=BD，

所以AC=CG.

又AC⊥BD，BD∥CG，得△ACG是等腰直角三角形，

CF是斜边上的高，

综上MN=CF.

与梯形有关的问题，借助平移运动将分散的条件集中在同一个图形中，运用转化后的特殊图形的性质快速解答.

2 旋转变换

旋转变换是原图形上所有的点都绕着固定的点，按照固定的方向，转动相同的角度.这种图形变换称之为图形的旋转变换，简称旋转.旋转变换不改变图形的大小和形状，且对应的点到旋转中心的距离都相等.图形借助旋转既保留了原图形的性质，还搭建了新的有利论证的图形.

分析 PA，PB，PC不在一个三角形内，无法有效利用已知条件，因此把△APC顺时针旋转60°得到△AP′B.因为AP=AP′，∠PAP′=60°，得△APP′是等边三角形，借助勾股定理知△PP′B是直角三角形，则∠AP′B=∠APC=150°.

解 将△APC顺时针旋转60°得到△AP′B，

则AP=AP′，∠PAP′=60°，P′B=PC，

所以△APP′是等边三角形，

则AP=AP′=P′P，

在△BP′P中，BP2=BP′2+PP′2，

所以△PP′B是直角三角形，即∠BP′P=90°，

∠APC=∠AP′P+∠BP′P=60°+90°=150°.

旋转变换将分散的线段PA，PB，PC和角集中到新的三角形中，实现已知信息的有效转化，借助旋转后图形的性质，明晰解题思路和解题过程.

3 对称变换

对称变换是把一个图形沿着一条直线折叠，使得它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称.对称变换得到的图形与原来图形的形状、大小保持一致.且连接任意一对对称点的线段都被对称轴垂直平分.对称变换把图形对称到新位置上，有利于分散的条件集中在一起.

例3 矩形纸张ABCD沿着对角线BD进行折叠，已知AB=6，BC=8，求BF的值.

分析 矩形纸张ABCD沿着对角线BD进行折叠，易知道ED=AB，∠EBD=∠CBD，易求得∠FDB=∠FBD，得到FB=FD，再借助勾股定理求出BF的大小.

解 矩形纸张ABCD沿着对角线BD进行折叠，

所以ED=AB，∠EBD=∠CBD，

又∠FDB=∠DBC，

所以∠FDB=∠FBD，因此FB=FD，

设BF=x，则AF=8-FD=8-x，

在△ABF中，62+（8-x）2=x2，

当题目出现翻折操作时，要联想到对称变换，借助对称变换的性质往往可以便捷地找到突破口.

4 结语

几何变换的目的是借助对图形的改组，将不规则图形转化为规则图形，将隐含关系转变为明显关系，将分散条件集中在一起.合理运用平移、旋转、对称变换，借助图形的性质和特征解题，对学生发散思维和创新思维的培养和锻炼，提高解析效率，提高初中教学质量均有重大帮助.

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