“抽屉原则” 在初中几何教学中的应用

徐秀贤

摘 要： 如何提高素质教育、丰富课堂教学、培养学生的创新意识、给学生在课堂上创造动手的机会，本文列举了在初中几何教学中遇到的：直线与直线的位置关系，点和直线的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，以及运用反证法证明“如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆”等内容，利用“抽屉原理”，给学生先下一个断言，造成一种悬念，激发学生的学习兴趣，通过动手作图，小组讨论，最后得出结论，以达到培养学生探究习惯和创新精神的目的。

关键词： 抽屉原理 初中几何 教学应用

“抽屉原则”也叫“抽屉原理”。其具体意义是：把m+l（或更多）件物体任意放入m个抽屉里，则至少有一个抽屉里放入物体的件数不小于2（m为正整数）。这种具有某种物质的对象的存在性无处不在，已被广泛应用到现实生活中。打个比方：两个抽屉里要放三本书，可以断言：“其中有一个抽屉里至少要放两本书。”明确了这一原理，不难发现在现实生活中经常有类似的问题。如果三个苹果要分给两个小孩，其中有一个至少要得到两个。又如：一组十三位的同学，他们当中至少有两位同学是同月出生。若把这个有趣的原理应用到初中几何教学中，能便抽象的知识更加具体、形象，对激发学生的学习热情、启发学生的思维具有独特的效果。

在学习“在同一个平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交”这一内容时，为了使学生加深印象，给学生动手的机会。授课时可让每位学生先各画两条直线，然后三个同学组成一个小组进行观察总结位置关系的情况，登记两条直线相交或平行的情况。最后老师可下个断言：“在你们的每个小组中所画的直线至少有一种（相交或平行）重复，然后请学生检验老师的断言是否正确。并且请学生总结在三个同学中所画可能出现的情况：1.三组平行线；2.两组平行线，一组相交；3.一组平行线，两组相交；4.三组都相交。在这四种情况中都有重复出现。亦可让每位学生各画三组直线：l■与l■，l■与l■，l■与l■，然后请学生观察所画的各组直线中是否存在重复的情况。其结果将和上例是相同的。当老师的断言得到证实之后，可引导学生探索为何会出现重复情况呢？学生就不难发现两条直线的位置关系只有相交和平行两种，因此多出一组就会重复出现。使学生明确这一道理后，就可以得出结论：“在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行。”在这里还可以引申不在同一个平面内的两条直线的位置关系有什么不同？让学生思考、想象。采用这种教学法，先给学生下个断言，给学生造成一种悬念，吸引了学生的注意力，引起了学生的学习兴趣，同时让给学生既动脑又动手。从亲自作图中找出答案，使学生易于接受，既理解又牢记。

在点和直线的位置关系的教学中亦可应用“抽屉原理”协助教学。可以先让学生画一条直线l，然后再画出三个点：点A，点B，点C之后，老师可下一个断言：“你们每位同学所画的三个点中，在直线上或直线外，至少有两点的位置是一样的。这时学生的心理会产生怀疑，会力求找个不同位置使之不重复。此时可引导学生观察对这一问题存在的几种可能性。将出现的情况是：三点都在直线l上；两点在直线l上，一点在直线l外；一点在直线l上，两点在直线l外；还有三点都在直线l外。同时证实了老师的结论是正确的。使学生观察到：在同一平面内，点和直线的位置关系只有点在直线上和点在直线外两种。学生通过自己作图得出的结论将会留下深刻的印象。虽然这一问题不难理解，若老师仅作讲解，没有让学生实践体验，就不会有这样的效果。

又如在“直线和圆的位置关系“的教学中，同样可以采用“抽屉原理”。让学生画出一个圆和四条直线之后，请学生观察直线和圆的交点情况：有两个交点，一个交点和没有交点。因此，四条直线和圆的位置关系中至少要有上述情况中的一种情况重复出现。从而得出：在同一平面内直线和圆的位置关系有相交、相切和相离三种情况（它们分别是两个交点、一个交点和没有交点）。学生通过自己作图，有些同学可能会仅仅作出某种情形中的一种：如四条直线都和圆相离。若老师事先给他下个断言学生就会力求作出不重复的现象。结果还是重复出现了。这时学生就会联想到若画三条直线，可以不使某种情况重复出现（即一条相离，一条相切，一条相交）。这时学生就会明白一个道理，圆和直线只有三种位置关系，四条直线自然会有重复出现。从而使学生对圆和直线的位置关系这一抽象的知识了解得更全面、更透彻，并留下深刻的印象。

圆和圆的位置关系较复杂，有外离，外切，相交，内切，内含等五种情况。同样可以利用抽屉原理协助教学。可以请学生先画一个大圆，再画出六个小圆，同样有类似的重复现象出现。这时可采用抽样调查的方法，把抽到的同学所出现的位置关系情况进行列表登记，可以发现每个同学中所画的圆与圆的位置关系中至少有一种是重复的。也从抽样中发现有五种不同的位置关系。从而总结出圆和圆的位置关系，这样可以使学生学会作出圆和圆的各种位置关系图，对于两圆的各种位置关系的认识更深刻。

用反证法证题时须考虑可能出现的几种情况，亦可以应用“抽屉原理”。如在证明定理“如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆”。因为不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，那么第四点能否落在这个圆上？用反证法证明要考虑到点和圆的位置关系。为了培养学生对问题看法的全面性，可以让学生作一个三角形的外接圆，因为点A、点B、点C都在圆上，所以四边形的ABCD的第四个顶点D是否在圆上。若要求学生画出点D的四个位置，使学生力求找出不同位置，当学生找出三种不同位置后再找就出现重复。这样学生就会明确点和圆的位置关系只有在圆内、圆上和圆外三种情况。因此，证明时应从这三方面入手。这种教学方法会引起学生在用反证法证明的过程中，注意对某种问题进行多方面考虑，培养学生分析问题的全面性，在分析问题的同时，思考还有没有不同的情况。

素质教育必须发挥学生的主观能动性，展开积极思维，学会从不同角度、不同方法思考问题，带着怀疑的态度分析、探索。应用“抽屉原理”协助教学，首先给某个问题下个断言，给学生创造一种悬念，集中了学生的注意力。让学生带着怀疑的态度去思考、去作图、去验证，从而得出正确的结论。培养学生从实践中总结经验，提高对事物看法的全面性和分析问题、解决问题的能力。