初中数学命题学习中逆向思维应用探究

张蕾

【摘要】數学这门学科具有较强的思维性和逻辑性，其中逆向思维较为常用，是培养思维能力的重要载体.在数学实践活动中，逆向思维既能提升学习成效，也能促进日常的学习，值得进一步推广和应用.本文首先对逆向思维进行概述，然后剖析初中数学逆向思维培养中存在的问题和具体应用方式，最后探讨培养策略，希望能够为初中数学教学提供参考.

【关键词】初中数学；命题学习；逆向思维

随着科教兴国战略的逐步落地，我国教育体制取得了长远的发展，教育目标和要求不断完善与更新.在初中数学教学中，逆向思维的应用更加普遍.常规条件下，学生大多利用正向思维来解题，这种思维较为固化，限制了自身创新能力的发挥，阻碍了学生技能和别的学科内容之间的联系，基于此，在日常学习过程中应逐步强化逆向思维，全面提升学生的解题效率.

1 逆向思维简析

逆向思维，是指从相反的角度，方向来进行思考，从而将问题解决.这是在常规思维方式上的创新，将其应用到数学学习活动中，实际上是基于已知原理和推论进行反向推导，以此找到对应的已知条件，完成解题.

逆向思维具有一定的逻辑性、较高的严密性和清晰的贯通性，从客观层面而言，具有显著的优势，因此，在数学教学活动中得到了广泛应用.应用逆向思维既可提升学生的思维能力，还能促进概念的认知.概念学习是数学教学的基础内容，为此，广大教师应强化概念认知培养，让学生走到深层认知领域.对于深入解析，其和发散思维延展紧密相连，学生若不能从正向思维层面来研究数学内涵，则也无法结合正向思维高效运用法则.为此，实际教学中，应灵活应用逆向思维，这既可帮助学生得到全新的解题形式，还能开拓逻辑思维，增强概念认知.

2 初中数学逆向思维培养中存在的问题

2.1 传统理念固化

素质教育的大力发展，促使数学教学活动愈发关注能力的提升，然而，仍然有部分教师沿用传统教育理念，通过题海战术来完成数学知识教育，致使广大学生无法有效转变现有的解题思维，出现思维固化的现象，进而阻碍了他们的素养发展.

2.2 存在定式思维

定式思维，即行为个体倾向通过固化的形式进行推理和解答.在初中阶段，学生的学习活动非常容易受到教师思维培养模式的影响，从而产生定式思维，后期学生遇到特定问题时大多用同一思维进行处理，灵活性不高，无法从整体的角度进行思考.同时，学生日常所学公式与运算规律，均是从正向思维出发得出的，实际学习中非常容易形成固定思路，这在某种程度上阻碍了思维水平的提升.

3 逆向思维的具体应用

3.1 在数学命题方面的应用

在新课标下，教育教学较为突出逆向思维，广大教师应在常规学习活动中逐步强化.在现有的学习中，大多通过背诵的方式完成法则和定理学习，致使数学解题较为单一，阻碍了知识的学习和掌握.基于此种情况，培养逆向思维十分必要，这能够扩大知识掌握量，提升应用灵活性.例如，勾股定理和韦达定理逆定理得到了广泛应用，由此可知逆向思维培养十分重要.

3.2 在公式和法则方面的应用

在数学知识架构内，运算法则有时会成对出现，称作互逆运算，较为代表的有加减法和实数乘方开方.众所周知，数学等式具有一定双向性，其左右两边能够相互替换，绝大多数公式和法则均可通过等式加以表示，然而，某些学生倾向单边应用公式和法则，由此形成思维定式，如果遇到公式和法则逆向变形问题，则非常容易步入思维误区，影响常规解题.为此，在公式和法则方面应强化逆向思维应用.

例如 以同底数幂除法内容为例，可设计26×23，53×54问题，对前期内容加以巩固，明确计算过程会用到的法则，并在此之上完成题目（ ）×23=29，（ ）×54=57，经由独立分析，探究解题过程.在实际解题中认真观察等式两侧，不难发现，括号应填写同底数幂，同时，依托同底数幂乘法一般法则完成运算.括号内幂指数和相邻幂指数的和为右边幂指数，经此可通过逆向思维得出括号内的答案.在上述解题步骤中，主要是通过同底数幂乘法一般法则完成解题.

另外，还可选用归纳总结的形式，利用自己的语言对运算法则进行总结，底数不变，指数相减，其中底数不能为0，指数都是正整数.为增强学生的记忆深度，还可练习不同类型的习题，深化逆向思维应用.

由此可知，在法则和公式中，只有利用已知条件，明确互逆关系，学生方能全面回忆以往的知识点，并在新知识中构建逆向认知.经由不同的试题，明确逆向思维的实际运用思路，进而在数学公式与法则中形成有效的记忆，利用逆向思维完成数学问题解答.

3.3 在定理方面的应用

在数学学习活动中，性质和定理至关重要，只要将性质与定理运用好，便能将问题有效解决.某些性质与定理具有一定互逆性，如同位角相等，两直线平行，反之也一样.在某些定理学习过程中，学生可以应用正逆交替法，阐明定理包含的逆向思维，有效找到解题路径.

例如 以“线段垂直平分线的性质和判定”内容为例，可先探究垂直平分线的内涵，加强概念理解，再动手探究，推测结论.在探索环节，独立画出线段AB，经由尺规作图，作出对应的垂直平分线，再在上方选取点C，将CA、CB连接起来，自主总结操作过程，认真观察，得出结论.在上述学习中，要求每一个学生经由操作实践，用简练的语言标明命题证明过程，不断构建逆向思维.具体的操作步骤如下：画出图形、列明已知条件、列明求证过程、求解.如已知直线AB和MN相互垂直，交于点C，AC与CB相等，P点位于MN上，证明PA和PB相等.具体证明如下：MN和AB相互垂直，∠PCA和∠PCB相等，都是90°，对于△PCA和△PCB，AC和CB相等，∠PCA和∠PCB相等，PC是公共边，则△PCA全等于△PCB，为此，PA和PB相等.经此证明，学生可独立得出线段垂直平分线的一般性质，依照图形，列出符号语言，加强在数学性质方面的理解.由于AB和MN相互垂直，AB的中点为C，P为MN上一点，则PA和PB相等，此时，可通过逆向思维，借助相同方法来剖析命题逆命题的正确性，不断提升思维能力.

3.4 在解题方面的应用

平行四边形是初中数学中的基本内容，其性质和判定等，在自身条件和结论中互为叛逆条件，对应证明过程也较为相辅相成.为此，可经由对比学习完成逆向思维的培养.待学生掌握对应的基础内容后，可尝试探究典型例题，完成变式训练，逐步增强逆向思维.

例如 平行四边形ABCD中，E和F分别位于BC、AD上，CE与AF相等，试着猜想BE和DF具有何种关系，具体可从位置和数量等角度进行猜想，并加以证明.此问题旨在对平行四边形的性质加以考查，先猜想再证明，这是一道考查逆向思维的且有代表性的习题.猜想BE和DF平行且相等.具体解答如下：已知四边形ABCD是平行四边形，则BC和AD平行且相等.因为BE=BC-CE，DF=AD-AF，又因为CE=AF，所以BE=DF，证明猜想成立.

4 逆向思维的培养策略

无论是正向思维还是逆向思维，均具有自身的价值，实际教学中应把两种思维相互整合，不断渗透到教学活动中.在解题过程中应用逆向思维可全面挖掘学习潜能，有效调动学习自主性.实际教学中，应逐步强化思维能力培养，拓展思维宽度，提高思维灵敏度，具体可从以下几个层面着手.

4.1 在思维意识上加强逆向思维

很大一部分学生都会应用正向思维，而逆向思维则是在正向思维之上进行的创新，它在创新教育的开展中具有重大的作用.为此，广大教师需保证教学内容全面、丰富，并将逆向思维合理应用其中，顺利完成教师思维引导和日常学习应用之间的互动，不断转化成常态化思维，以便解题的高效完成.

4.2 在公式学习中加强逆向思维

为合理应用公式，则应全面理解公式.记忆公式不能单纯通过背诵，需要理解记忆，绝非由左至右的规律学习，也应完成由右至左的逆向思考.在原有的學习活动中，二次根式和一元一次函数的学习应用正向思维较多，而在因式分解和乘方公式中应用逆向思维较多.由此可知，无论正向思维还是逆向思维都是我们应重点掌握的内容.

4.3 在定义理解中加强逆向思维

通常定义都是经由长时间和不断的实践推算才得出来的.在以往的数学教学活动中，定义讲解最先进行，并成为思维定式，一旦遇到相同问题需要解答，便马上想到定义.但新课标是在传统教学模式上进行的调整，通过逆向思维推导明确定义，深化内涵理解，不断引导学生把概念本质应用到解题活动中.

例如 以“余角”和“补角”内容为例，需要从两个层面来弄清定义.角1和角2相加是180°，则角1和角2之间互为补角；如果角1和角2之间互为补角，则角1和角2相加是180°，这便是“互为补角”的根本内涵.

4.4 在反证推导中加强逆向思维

反证法即逆向思维，还是数学解题中具有代表性的方法.提出和结论相反的假设，进行推导，和已知条件相反，得出假设错误，经此便能得出已知条件正确.此种逆向思维可锻炼学生的创新能力，应强化和坚持.

4.5 在反例中加强逆向思维

在数学教学中，反例验证相对常用些，主要是对难度系数高的问题通过例子加以验证，让学生形成别的思维方式.通过此种方式，可大大提高学生的逆向思维，并可改善解题情况.

5 结语

综合来说，在数学命题学习活动应用逆向思维，能够拓展学生的思维、改变思考角度，将逆向思维应用到各种命题题型中可解决不同的问题.无论是法则定理，还是定义公式学习都可培养学生的逆向思维.为此，在常规的数学学习过程中，应保证正逆交替，依托数学知识之间的联系，经由逆向思维运用，将所学知识完全消化掉，以此掌握不同的学习方法，全面提升数学学习成效.

参考文献：

[1]顾艺红.在初中数学教学中培养学生的逆向思维[J].中学课程资源，2021，17（11）：52-53.

[2]侯静.如何对初中数学教材中的题目进行变式[J].百科论坛电子杂志，2020（20）：1154-1160.

[3]谷凤春.新课程背景下初中数学逆向思维教学的几点做法[J].语数外学习（初中版·下旬刊），2022（02）：8-12.

[4]杨海静.初中数学解题思维的研究[D].河南：河南师范大学，2022.

[5]彭曦.初中数学教学中激发学生的学习兴趣培养逆向思维[J].语文课内外，2022（30）：155-161.

[6]毛肇荣.浅谈初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].考试周刊，2022（08）：95-98.

[7]王方科.浅析初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略[J].考试周刊，2022（31）：84-87.

[8]苏芳.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].科普童话·新课堂（中），2021（04）：43-45.

[9]庄义德.初中数学教学中学生逆向思维能力培养方法[J].中外交流，2021，28（03）：1156.