抽象数量关系 内化模型思想

袁 虹 刘克军

摘  要：函数内容中相关的基本思想方法是模型思想和数形结合思想，核心素养是数学建模和直观想象. 本节课创设荔枝购买、包装、销售等现实情境，设计系列问题，引导学生理解运动变化的过程，从图象、表格、文字表述中抽象数量关系，建立合适的函数模型，再利用函数图象和性质解决问题，归纳解题策略，内化思想方法，发展数学建模和几何直观能力.

关键词：函数应用;变化过程;数学建模;核心素养

中考专题复习课是教师重点关注的课型，其教学目的是聚焦数学思想方法，发展学生的数学学科核心素养. 从大量中考试题可以看出，函数的应用是很多地区中考的重点考查内容. 如何应用函数来解决实际问题是中考复习的一个重点专题. 恰逢章建跃博士引领组织的整体单元复习活动交流的机会，笔者设计了“函数的应用”专题复习课，希望实现引导学生抽象数量关系，明晰解决函数应用问题的解题策略，内化模型思想，提升其应用意识. 现就这节课的教学设计与实施，与大家共同探讨.

一、内容和内容解析

1. 内容

“函数的应用”专题复习.

2. 内容解析

函数是初中数学的核心内容，在实际生活中有着广泛的应用. 构建函数模型解决实际问题，既有利于体现数学的应用价值，也有利于考查学生数学抽象、数学建模和综合应用等各方面的能力.

“函数的应用”一课涉及一次函数和二次函数的应用. 因为模型思想和数形结合思想是用函数研究变化过程的共同思想. 因此，以问题为导向，开展在综合应用中研究基本函数的变化、解决实际问题的活动，有利于形成一致的、可以迁移的数学思想和方法.

教学重点：分析问题情境中的变量关系，抽象出函数关系，利用函数模型解决实际问题.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）能理解相应生活背景中的变化过程，会引入变量研究变化过程，进一步感受变量之间的对应关系.

（2）能从变化过程中抽象出函数表达式，会利用函数的图象和性质解决相关实际问题.

（3）进一步体会函数模型在解决实际问题中的作用.

2. 目标解析

达到目标（1）的标志：理解生活背景中的变化过程，理清其数量关系，进一步学习从现实生活问题中抽象出数学问题.

达到目标（2）的标志：能根据抽象出的数学问题，选择合适的函数关系式表示数学问题中的数量关系和变化规律;会确定函数关系式中自变量的取值范围，并會对函数关系进行分析，得出实际问题的解.

达到目标（3）的标志：进一步体会函数是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，明确函数建模是研究变化过程、把握变化规律的基本数学方法.

三、教学问题诊断分析

九年级学生经过新课学习与中考一轮复习，对函数的定义及一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质有了一定的认识，基本掌握了单一的函数应用，但对于应用函数解决实际问题还存在一定的困难. 困难在于准确理解变化过程、找出变量，设准自变量，寻找变量和常量间的数量关系，建立合适的函数表达式. 多数学生的建模意识模糊，综合应用函数与方程、不等式解决问题的能力有待提高.

教学难点：理解变化过程，建立合适的函数模型，感悟模型思想.

四、教学过程设计

活动1：课前预测.

题目1  荔枝是深圳的特色水果，又到了红荔飘香的季节. 周末，小明陪妈妈到水果店买荔枝送给爷爷奶奶. 妈妈准备购买桂味荔枝和糯米糍荔枝，要求糯米糍荔枝的数量不少于桂味荔枝数量的2倍. 桂味荔枝的单价为30元 / 千克，糯米糍荔枝的单价为40元 / 千克. 妈妈准备购买两种荔枝共6千克，问怎样购买所需总费用最低.

【设计意图】题目1需要学生抽象建立一次函数的表达式，利用一次函数的性质解答;题目2需要学生抽象几何图形，利用三角形相似建立二次函数的表达式，利用二次函数的性质解答. 这两道题目比较基础，预计多数学生能独立完成，教师从学生的完成情况了解学生对函数应用的掌握情况，提供师生共同小结步骤、策略的素材，使学生在“温故”的同时为继续深入探究做好铺垫.

活动2：提炼概括.

问题1：题目1为什么用函数知识解决，解决过程的步骤有哪些？你是怎样想的？

师生活动：教师引导学生概括解题过程中体现的解题步骤和策略.

梳理步骤：（1）设桂味荔枝的数量，表示糯米糍荔枝的数量;（2）找出数量关系——总费用 = 购买桂味荔枝的费用 + 购买糯米糍荔枝的费用 = 桂味荔枝单价 × 桂味荔枝数量 + 糯米糍荔枝单价 × 糯米糍荔枝数量，根据数量关系，建立一次函数表达式;（3）利用一次函数的性质，求出费用的最小值.

小结思想：抽象、转化与建模.

注意要点：理解变化过程，找出数量关系，建立函数模型，注意自变量的取值范围.

强调关键：怎样设变量，列出函数关系式.

追问1：费用和哪些量的变化有关？

追问2：两种荔枝的数量都是变化的，怎么表示这两个变量？根据什么数量关系建立函数表达式？

【设计意图】题目1是抽象得到了一次函数，利用一次函数的增减性得到了费用的最小值. 追问有助于引起学生注意，使学生明确理解题意，理解背景中的变化关系是解决问题的关键之一，抽象背景中的数量关系是解决问题的另一个关键. 在回答问题的过程中暴露学生的思维过程，帮助学生理清解题思路、明确解题要点.

问题2：题目2为什么用函数知识解决，解决问题的步骤有哪些？你是怎样想的？

师生活动：教师引导学生概括解题过程中体现的解题步骤和策略.

梳理步骤：（1）设BE = x，CF = y，表示出CE = 36 - x;（2）找出数量关系，由△ABE ∽ △ECF，得[ABBE=][ECCF，] 根据数量关系，建立二次函数表达式;（3）利用二次函数的性质，求出函数的最大值.

小结思想：抽象、转化与建模.

注意要点：理解变化过程，找出数量关系，建立函数模型，注意自变量取值范围.

强调关键：怎样设变量，列函数式.

追问1：线段CF的长是变化的，它和哪些量的变化有关？

追问2：线段BE，CE的长度都是变化的，怎么表示這两个变量？

追问3：根据什么数量关系建立函数表达式？

【设计意图】题目2是抽象几何图形，利用三角形相似建立了二次函数，利用二次函数的性质求出最值，得到了线段的最大值. 追问有助于引起学生注意，使学生理解背景中的变化关系，选择合适的变量，强化解决问题的步骤，明确解决问题的要点和关键.

问题3：解决题目1和题目2的方法有什么共同点？你能把解决这两道题的思想和方法推广到一般吗？

追问1：在什么情况下需要建立函数模型解决问题？

追问2：解题的步骤有哪些？

追问3：解题的过程是怎样的？

追问4：有哪些要求和注意要点？

师生活动：教师引导学生把得到的函数建模思想推广到一般，得到其作用、操作步骤和注意要点. 解题步骤用框图表示，如图2所示.

[理解变化过程，设自变量，并用含自变量的式子表示相关的量][分析变量间的数量关系，建立相应的函数关系式][利用函数图象和性质解决问题][结合实际问题的意义，得出实际问题的解] [图2]

其基本思想是建立函数模型刻画运动变化过程，把实际问题转化为函数问题，研究函数的图象性质解决函数问题，通过实际意义的解释最终解决实际问题（如图3）.

[实际问题的解][实际问题][建立函数模型][函数问题][    利用函数的图象和性质][函数问题的解] [解释实际意义][目标][图3]

【设计意图】对于题目1和题目2，考虑到学生经过第一轮系统复习后能够独立自主解决. 因此，将其设计为课前自主学习. 课堂上引导学生归纳解决函数应用问题的一般思路和方法，帮助学生从解题经验上升到解题策略，从而将解题策略迁移到一般函数应用问题的解决中，帮助学生积累数学活动经验.

活动3：迁移应用.

题目3  天峦湖荔枝园主要种植桂味和糯米糍两个品种的荔枝. 据调查统计，该园桂味荔枝每天的销售量y1（千克）与时间第x天（[1≤x≤59，] 且x为正整数）的变化关系如图4所示. 糯米糍的销售量y2（千克）与时间第x天（[1≤x≤59，] 且x为正整数）的部分变化关系如表1所示，试从学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定y2与x的大致变化规律.

（1）试分别写出y1，y2与x的函数关系式.

（2）在第几天，桂味荔枝的销售量等于糯米糍荔枝的销售量？

（3）桂味荔枝销售量不少于500千克的天数有多少？

（4）该荔枝园荔枝的销售价随季节时令慢慢变化，桂味荔枝的销售单价p1随时间第x天（x为正整数）的函数关系式为[p1=20 1≤x≤30，-110x+23 30<x≤59，] 糯米糍荔枝首日销售单价p2为20元 / 千克，以后，每天每千克涨价0.2元. 若两种荔枝的生产管理成本都为5元 / 千克，前30天中哪一天荔枝的总销售利润w最高，最高利润是多少？

（5）刚才我们解决了前30天利润的最大值问题，你还想到要解决什么问题？

（2）第24天.

（3）[20≤x≤35，] 故有16天不小于500千克.

（4）第18天的荔枝总销售利润最高，最高利润是[18 792]元.

（5）略.

【设计意图】题目3共有5道小题，要求学生从函数图象、函数值和自变量值的对应表格、文字语言表述的变化关系中抽象出函数关系式，较全面地考查了函数的表示方法和学生抽象函数关系式的能力. 第（2）（3）小题进一步让学生体会函数与方程、不等式的关系，体现函数在初中代数中的统领作用，同时渗透了数形结合思想. 第（4）小题中的数量关系较复杂，探究当销售单价、销售数量都发生变化时，怎样求利润的最值问题，考查学生对函数的综合运用. 第（5）小题设计开放性问题，发散学生的思维，迁移解决问题的策略和思想方法，引导学生设计函数的应用问题，并会用函数模型解决问题.

活动4：课堂小结.

问题4：今天我们进一步学习了函数的应用，你有什么新的感悟？

预设问题：

（1）函数有什么用？

（2）应用函数解决实际问题的步骤有哪些？

（3）应用函数解决实际问题时是怎样想的？

（4）应用函数解决实际问题时关键是什么？要注意哪些问题？

师生活动：教师引导学生总结得到如图3所示的函数建模思考过程框图.

【设计意图】学生通过本节课进一步学习了解决函数应用问题，在教师对解题策略、要点、关键点的追问下，学生已经有了进一步的领悟，再加上教师有意识地引导、归纳和板书，学生应该有新的感悟. 小结有助于学生进一步明晰利用函数解决实际问题的步骤、策略和思想方法，明确函数模型在解决变量问题中的作用，进一步体会模型思想的魅力.

五、目标检测设计

测试题  某大学生用40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元 / 件的新型商品在第x天（x为正整数）销售的相关信息如表2所示.

[销售量p / 件 [p=50-x] 销售单价q / 元 ·件-1 当[1≤x≤20]时，[q=30+12x] 当[21≤x≤40]时，[q=20+525x] ][    表2]

（1）这40天中，该加盟店在第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

（2）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店[m m≥2]元奖励. 通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，求m的取值范围.

【设计意图】学生已经明确函数模型在解决变量问题中的策略和思想. 測试题可以进一步巩固和强化、提高学生解决问题的能力. 在这里设计了反比例函数的应用，弥补了授课中没有涉及反比例函数应用的缺憾，也是进一步迁移函数应用问题解决的一般方法.

六、教学反思

1. 确定教学内容及要求的依据

本节课的教学设计依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中对函数的学习要求：能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系;结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.

《标准》对模型思想解释为：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径. 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义. 笔者认为，由《标准》对模型思想的解释可以得出解决函数的应用问题的四个步骤：一是抽象出数学问题;二是用数学符号建立数量关系;三是求出结果;四是讨论结果的意义. 由此，解决函数的应用问题引导学生按这四个步骤进行归纳.

根据《标准》要求和当前各地中考试题的特点，确定函数的应用是学生必须掌握的核心知识，所以选择教学内容为函数的应用.

2. 教学特色

（1）教学主线的设计.

教学明线：一是背景线，即荔枝的买、产、销;二是知识线，即几种基本函数及其应用.

教学暗线：一是函数的几种不同表现形式之间的相互转化;二是研究函数应用问题从步骤到策略方法的感悟提升，每个小问题经历从抽象到建模，再从研究模型到解决实际问题的研究策略.

（2）教学过程的构成.

本节课的教学过程由四个环节构成：回顾前测问题，了解学情;归纳解题步骤、要点，概括、提炼数学思想方法，明确其作用、操作步骤及要点;迁移经验解决新问题;课堂小结. 本节课共设计了3道题目，其中题目1和题目2是创设了问题情境，提供师生归纳小结的素材，起到铺垫和启发思维的作用，题目3是应用与提升，是重点内容.

（3）设计问题串引导学生理解函数建模思想的实质.

在概括函数建模思想方法时设计了4个追问，帮助学生理解函数建模的实质是建立刻画运动变化过程的数学模型，研究变化过程中的变量依存关系，从一个量的变化导致另一个量的变化这种依存关系分析中把握事物变化的规律.

题目3采用了和题目1、题目2相同的荔枝产销背景，对比题目1和题目2，题目3的设计层次更加丰富. 其中第（4）小题难度较大，涉及的变化关系较复杂，具有一定挑战性，需要学生发现这一变化问题的本质，即利润、售价、销量都随着时间的变化而变化，从而建立函数模型解决问题.题目3的5道小题，层层深入，从求函数的解析式到比较函数的大小，意在让学生再次理清函数与方程、不等式的关系，建立一次函数模型和二次函数模型，体现函数在初中代数中的统领地位和作用，加深学生对函数本质的认识和理解.同时，帮助学生实现学习策略和方法的正迁移.

（4）基于测评提高教学的针对性.

利用课前测试了解学情，提高教学的针对性，同时充分利用课前测试为课堂进一步交流提供素材. 课堂中的及时追问成功激发了学生动手、动脑的兴趣，随着对问题的深入探究，学生较好地投入到了学习活动中，课堂中基本实现了引导学生说出结论. 同时设计教学监测检验教学效果.

（5）设计样例体现教学意图.

题目1和题目2分别是代数背景和几何背景，题目1是一次函数的应用，题目2是二次函数的应用. 在学生解决了这两道较容易的题目的基础上，教师及时进行追问，引导学生从分析变化、确定变量、建立模型角度思考问题，从而使学生的思维得以聚焦，顺利引导其归纳得到了函数应用问题的解题步骤. 这里让学生先实践后归纳方法，使学生感受比较深刻，实现了知识经验的正迁移. 题目3有5道小题，解决这5道小题是本节课的重点内容. 教师有意识地让图象、表格、文字、解析式出现在一个问题背景下，使学生在问题的引导下进行思维转化，感受函数的多种表达形式，在学生回答问题的过程中不断进行涉及多种数学方法、思想和关系式的连续提问，成功调动了学生的参与热情.

（6）注重课堂生成.

教学中，教师较好地把握了预设与生成间的关系. 例如，在迁移应用的第（5）小题为“刚才我们解决了前30天利润的最大值，你还想到要解决什么问题”，原本的预设是：求后21天销售利润的最大值？59天中哪天的销售利润最高？但在实际授课过程中不仅生成了预设的问题，也生成了其他精彩的学生回答. 有名学生回答：可以把两种荔枝分开算，分别算出最值后再来比较，哪种利润大就种植哪种荔枝. 让我们惊喜的是，此时的学生已经懂得运用数学知识进行策略研究了. 说明开放性问题的设置较好地发散了学生的思维，有助于学生对模型思想的认识和升华，促进了学生思维的正迁移.

事实证明，开放性问题让师生欣赏到更多闪光的智慧，学生的回答对师生都很有启发. 在教学相长中基本达成了本节课的教学目标.

3. 遗憾与改进

课堂教学中设计的问题没有涉及反比例函数，只是出现在目标检测中，而在课堂实施时没有进行课堂评测环节.

题目2中设计的几何问题有些牵强，不够自然. 题目3中为了设计与题目1和题目2相同的荔枝背景，设计了应用一次函数、二次函数解决荔枝的产销问题，设计的数据与生活实际有些偏差，数据计算量也较大.实际生活中荔枝的产销都应该出现波动，不会是简单的一次函数关系.

专题复习课应该以思想方法教学为目的，发展学生的数学学科核心素养. 为了达到这一目标，教师需要进一步理解数学、理解学生、理解技术、理解教学，把握核心知识;要精心设计问题，以问题引领探究与思考等数学活动，在问题探究中加强学生对数学核心知识的理解，在问题探究中归纳解题策略、落实“四基”，在落实“四基”中发展学生的数学学科核心素养. 这些都需要教师坚持不懈地努力学习、研究和实践.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育教学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

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