谈数学建模时的问题分析步骤

钱志良

摘 要： 数学建模问题经常由各领域的应用者提出，因而既不可能明确提出该用什么方法，又不会给出恰到好处的条件，甚至问题本身就是含糊不清的，因此做好问题分析显得至关重要.

关键词： 数学建模 问题分析 步骤说明

1.数学建模问题与“应用题”的区别

数学建模问题与初中、高中碰到的“应用题”的区别：

“应用题”通常有不多不少、恰到好处的条件和数据，方法基本限制在某章或某门课程，往往有唯一正确的答案.

数学建模问题经常是由各领域的应用者提出的，因而既不可能明确提出该用什么方法，又不会给出恰到好处的条件（可能有多余的条件，也可能缺少必要的条件和数据），经常出现的情形是问题本身就是含糊不清的；建模没有唯一正确的答案，模型无所谓“对”与“错”，评价模型优劣的唯一标准是实践检验，因此建立数学模型时做好问题分析显得至关重要.

2.问题分析步骤

问题分析步骤可分为：明确问题、分析条件和数据.

例如：一家化妆品公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见，定性地讲，推销员多了会增加管理费用，而推销员少了会失去可能的顾客.所以一定会有一个最优推销员个数，这里推销员指那些到各地把公司产品兜销给其他商号的人.

2.1问题描述、问题分析

首先必须清楚几个问题，如公司的生产限度怎么样？经营目的是什么？是争取最高利润吗？或者在获得足够多利润的同时争取最大市场份额？还是其他什么目的？一种较好的方法是对各种不同规模的推销队伍的效果做出描述，而把最后决定留给经理部.

另外决定推销队伍的效果，就必须知道：（1）怎样从他们的销售队伍中获取最大收益；（2）不同规模的销售队伍会有什么影响.

经过分析，原来的问题已经被改为上面两个问题，这样，我们就跨出了第一步，即基本明确了工作目标.

但上面两个问题仍需进一步细致分析：如不同推销员能力不同，推销地域也可能不同，顾客可分为“现有的”和“可能的”两类，前者需要稳定，后者需要转变，所花时间各不相同，并且各商号的订货量或潜在订货量也是需考虑的重要因素.

通过以上分析，画出问题的层次结构图，看出问题全貌.

了解问题的整体框架，可以对整个模型做出初步设计，需要做什么工作？可以用什么数学工具？问题有什么特点或限制条件？工作的重点、难点和要点是什么？每项工作的先行和后继工作是什么？有没有可以并行的工作？

2.2数据、资料的收集

分析问题的结构后，需要什么数据就可以心中有数了，收集数据的工作可列入工作计划，要对推销员进行一次实验，记录得到完整的确定概率的数据、地域情况的数据、资料，在此基础上进一步分析某些变量的作用.

3.建立数学模型

由最小二乘法建立系统的回归方程——数学模型。

当输入为x，输出为y时，多项式拟合曲线相应于x的估值为：

=b+bx+bx+…+bx（i=1，2，…，n）

要使多项式估值与观测值y之差（残差）的平方和之值为最小，

得下列正规方程组：

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）=0

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）

x=0

… …

=2∑（

b

+b

x

+b

x+…

+b

x

-y）

x=0

由上式可求出回归系数b，b，…，b.