在新函数的研究中促进数学活动经验的迁移

崔佳佳 王秀阁

摘  要：初中数学函数内容的学习主要有三类典型的基本函数模型——一次函数、二次函数和反比例函数，其目的是以这三类基本函数模型为例，让学生理解变量之间的依赖关系和变化规律. 同时，让学生体会函数研究中的数形结合思想，积累函数研究的活动经验. 通过设计适当的新函数研究任务，既可以检验学生是否积累了可迁移的函数研究活动经验，又可以促进这种活动经验的进一步迁移，具有较高的育人价值. 以“二次型绝对值函数的图象和性质”研究为载体，引导学生类比二次函数进行研究，可以取得良好的教学效果.

关键词：数学活动经验;研究对象;研究路径;研究策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式. 学生在数学学习中的质疑、交流、拓展及提升等活动是获得基础知识和基本技能的过程，也是积累基本方法和基本活动经验的过程，更是发展数学学科核心素养的必经之路.

在学习了二次函数的图象和性质后，笔者与其他教师一起设计了“二次型绝对值函数的图象和性质”一课，在本节课中引入了一个新的研究对象——函数[y=ax2+bx+c a≠0，] 引导学生运用已有的二次函数学习经验研究新问题，鼓励学生自主规划研究路徑，选择研究策略，并通过相互交流优化研究策略. 在合作交流和评价中发展学生的思辨能力，优化解题方法，主动建立知识之间的联系，加深学生对转化思想的领悟，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养.

一、从学生已有经验出发，引入研究对象

在本节课中，教师创设了以下问题情境：学习了二次函数之后，有学生遇到函数[y=-x2+2x+1，] 并提出了“它是二次函数吗？”的问题.

学生看到这个函数可能会有所犹豫，感觉它像二次函数，但由于带有绝对值，与二次函数又有所区别. 如何能确定它是否是二次函数呢？有的学生想到从定义出发去判别，有的学生想到看看它的图象是否符合二次函数的图象特征，还有的学生想从函数性质上判断它是否是二次函数，等等. 那么，像这样的函数的图象是什么样的？它又具备哪些性质？本节课通过设置这样的问题情境吸引学生的注意力，激发学生研究问题的兴趣.

在学生刚学习完二次函数的相关知识后，利用已有的函数知识和学习经验对新函数进行研究，既可以促进学生巩固二次函数相关知识，又能帮助学生用已有的研究函数的一般过程和方法研究新函数，促进知识和经验的迁移，进一步体会研究过程中蕴涵的转化、数形结合等数学思想方法，发展学生的数学抽象、逻辑推理等素养.

二、问题驱动，引导学生调动已有经验规划研究路径

研究一个数学对象的基本路径是：从具体事物中抽象出共同特征，给出定义及表示方法，并对研究对象进行分类，然后研究它的性质，在此基础上，再研究其“特例”，在这个过程中要始终注重相关知识之间的联系与应用. 在日常学习过程中，学生已经积累了一定的数学基本活动经验，对新的学习对象进行研究，需要学生有意识地提取原有的活动经验，这时就需要教师进行有效的引导，帮助学生回顾之前的学习情境，通过追溯原有的学习过程，实现新知探索的经验迁移.

在本节课之前，学生学习了一次函数和二次函数，了解了研究函数的一般方法，经历了这些函数的研究过程，初步积累了研究一类函数的经验. 为了发挥学生已有经验的作用，引导学生将知识进行关联和类比，将函数学习的经验迁移到对新函数的研究中，教师设计了系列化问题，由研究对象到研究路径，再到研究方法，引导学生整体规划、分步实施研究过程.

环节1：复习回顾二次函数的研究思路和内容.

问题1：我们研究了二次函数哪些方面的内容？我们是按照怎样的思路展开研究的？

通过问题，带领学生回顾已学知识. 对于二次函数，我们主要研究了二次函数的概念、图象和性质. 研究思路是从特殊到一般展开研究. 如图1，先研究了顶点在坐标原点的二次函数，在此基础上继续探究顶点在坐标轴上的特殊二次函数，进而研究更为一般的二次函数.

环节2：创设数学情境，引入新的研究对象.

问题2：[y=-x2+2x+1]是二次函数吗？

从该问题出发，对新的函数展开研究.

对比二次函数的概念，发现这个函数不是二次函数，但从形式上看与二次函数有一定的关系，是怎样的关系呢？以下展开对这类函数的研究.

问题3：观察下面这些函数的解析式，根据它们的共同特征，像这样的函数可以表示为形如[y=]             的函数，其中x为自变量.

借助已有的函数学习经验，学生通过对具体例子的观察、抽象和归纳，得到该类函数解析式的一般特征，形如[y=ax2+bx+c a≠0，] 还有学生发现也可以写作[y=ax2+bx+c a≠0.] 此时，有的学生已经关注到了两者之间有一定的联系，能进行相关的转化，这样的经验对后续研究函数的过程中将未知的函数向已知的函数转化奠定了一定的基础.

归纳出一般形式后，教师鼓励学生对形如[y=][ax2+bx+c a≠0]的函数进行命名，学生将这样的函数叫做“二次型绝对值函数”，由此确定了本节课的研究对象.

环节3：对“二次型绝对值函数”[y=ax2+bx+][c a≠0]展开研究.

问题4：类比二次函数的学习研究过程，我们可以研究“二次型绝对值函数”的哪些内容？如何对这类新函数展开研究？

学生提出可以研究“二次型绝对值函数”的图象和性质，可以采用从简单到复杂的研究方法，并给出了如图2所示的研究计划.

对于每种形式的新函数，可以先让系数取一些具体的数值，用从特殊到一般的方法进行研究.

可见，在系列化问题的驱动下，面对新情境时，学生能主动调用已有的学习经验，将习得的研究函数的思路和方法迁移到对新问题的研究过程中. 本节课以研究函数的整体架构为指导，在情境与问题的引导下，学生逐步明确研究对象、研究思路和研究方法，用这样的一般观念指导新函数的研究，展开连贯性的数学学习，体现了数学探究活动的理念，实现思想方法和活动经验的迁移.

数学活动经验往往在遇到相似的情境时被唤醒，教师要善于发挥数学活动经验的作用，结合具体内容提供多样化的活动情境，引导学生激活和提取相关的活动经验来学习新知或解决问题，而基于问题驱动的探究活动易于提炼已有经验，提高学生分析问题和解决问题的能力. 在提取经验、解决问题的过程中，让学生的数学活动经验得到丰富和提升.

三、促进数学活动经验的迁移，选择、优化研究策略

数学活动经验是学生在数学活动过程中获得的对数学的体验和认识，具有典型的个体性和内隐性特征，对于学生的数学学习起着重要的作用. 数学活动经验从积累到迁移是学生学习能力提升的一个质的飞跃.

本节课在对研究计划实施的过程中，有学生提出对于函数[y=ax2]和[y=ax2+k]，其实它们可以分别转化为[y=ax2]和[y=ax2+k.] 因此，函数[y=ax2]和[y=][ax2+k]的图象和性质就与已学过的函数是一致的. 也就是说，对于新形式的函数的研究，并不都是必须采用列表、描点、画函数图象等方式，也可以借助对解析式特点的分析，将新函数进行转化，多角度地进行研究. 通过这样的思维展现，实现了使学生从模仿过渡到自主发现问题和提出问题，促进学生数学活动经验的提升.

对于函数[y=ax-h2]，有的学生根据已有的研究函数的经验，决定采用描点法画函数图象，分析函数图象特征的策略，得到函數的性质. 利用从特殊到一般的方法，先研究几个具体的函数，再归纳得到一般的函数[y=ax-h2]的图象特征和相关性质. 这样学生对研究新函数有了一定的经验，掌握了先利用描点法画函数图象再研究其性质的基本方法，在研究过程中能结合函数解析式进行一定的代数推理. 例如，在列表过程中发现函数[y=-x-12]的图象是关于y轴对称的;由[-x-12≤0]得到[y≤0，] 即这些点在x轴上或在x轴的下方，有数形结合研究问题的意识. 但是采用这种研究策略的学生未关注到这个函数与已学习过的二次函数之间的联系.

有的学生能从函数的解析式入手，发现函数[y=][-x-12]的解析式中含有绝对值，可以将绝对值通过分类讨论进行转化. 当[x≥0]时，[y=-x-12;]  当[x<0]时，[y=--x-12=-x+12，] 即[y=-x-12，   x≥0，-x+12，   x<0.] 学生根据在一次函数学习过程中了解的分段函数的经验，得到这个函数的图象是由两个二次函数图象的一部分组成，画出了如图3所示的函数图象.

从学生的思考过程可以发现，这部分学生能主动调用已有的函数学习经验，结合代数式的相关知识，关注到新的问题情境与已有的二次函数知识之间的联系，通过分析和推理将之转化为已学习过的函数进行研究，实现了数学活动经验的有效迁移.

有了对函数[y=ax-h2]的研究的突破，接下来对于函数[y=ax-h2+k]的研究，学生根据已有的二次函数的学习经验得出它的图象可由函数[y=ax-h2]向上或向下平移得到，从而可以得到相关的函数图象和性质. 例如，函数[y=-x-12+2]的图象可由函数[y=][-x-12]的图象向上平移2个单位长度得到（如图4）. 而对于函数[y=ax2+bx+c]，学生提出可以利用配方法将之转化为[y=ax-h2+k]的形式来进行研究. 例如，函数[y=-x2+2x+1]可以利用配方法转化为函数[y=-x-12+2]进行研究. 由此，学生主动建立了这些函数之间的联系，实现了自己设计的研究计划. 在此过程中，学生不断主动地将二次函数的相关学习经验迁移到对新函数的研究中，既巩固了二次函数的相关知识和方法，又增长了研究新函数的经验.

每个个体在数学活动中都是以自己的方式建构对数学内容的理解，通过不同研究策略的个人经验交流与融合，可以促进对个人经验的优化和提升. 在自主研究和讨论交流的过程中，一方面，学生类比二次函数的研究路径，由特殊到一般展开研究;另一方面，学生从最基本的描点画图象的研究方法提升到利用分类讨论将绝对值进行转化，使得新函数转化为已学过的函数来进行研究.

在此基础上，教师提出：实际上刚才有学生提出，我们可以借助分类讨论对绝对值进行化简，将一般的“二次型绝对值函数”[y=ax2+bx+c]直接转化为相关的二次函数来研究，即[y=ax2+][bx+c=][ax2+bx+c x≥0   ，ax2-bx+c x<0   ，] 得到一个分段函数，其图象可以由两个二次函数图象的一部分组合而成. 教师带领学生分析了几个具体的“二次型绝对值函数”，并利用几何画板软件展示了它们的图象，促进学生对转化过程的理解，并要求学生课后继续进行研究，尝试归纳函数[y=ax2+bx+c a≠0]的图象特征和函数性质. 接下来，教师引导学生反思和总结，促进内隐的、零散的个人经验进一步明晰、概括和抽象. 在这个过程中，学生会积累“怎么想到用转化的方法，如何进行转化，什么情况下可以用转化的方法”等数学活动经验. 因为学生的知识是有限的，对于简单的基本函数，一般是用描点画图象的方法展开研究;而对于一些较为复杂的函数，我们可以参考已学函数的研究方法（如从特殊到一般的研究方法），也可以通过相关的条件转化为基本函数展开研究，这也是后续高中函数学习研究中的重要方法.

四、教学反思

本节课在回顾二次函数研究过程的基础上，从学生的一个疑问出发，从特殊到一般，抽象出学生命名的“二次型绝对值函数”，实现了对一个新类型函数的归类处理. 采用整体建构的策略，让学生经历研究函数的一般过程：选取研究对象—规划研究路径—具体实施研究—反思、总结研究策略. 在研究过程中，通过创设新问题情境，促进学生进一步理解二次函数的相关知识，巩固了画函数图象、分析描述函数性质等基本技能;引导学生多角度思考问题，建立知识之间的联系，利用类比、化归等方法主动调用已有学习和研究函数问题的经验，将之有效地迁移到新的情境中. 在得出结果的过程中，注重对结果的结构性、数学化的表达，形成新的数学经验积累.

学生数学活动经验的积累是一个循序渐进的过程，加强迁移应用可以促进学生的数学活动经验上升到更高的水平，实现经验的改造或重组. 学生在解决问题的过程中，形成经验的迁移不是一蹴而就的，而是需要教师不断创设新的问题情境，在参与活动的过程中让学生学会独立思考，主动提取和迁移已有经验;倾听他人的方法，进行质疑和判断，调整解决问题的策略，增强共同学习、合作交流的能力，丰富自己思考和解决问题的经验;回顾整理活动过程，关注对数学内容本质及其联系的把握，主动进行反思、总结，提炼和提升数学活动经验.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]丁福珍. 整体观指导下的初中函数单元总复习实践研究[J]. 数学通报，2020，59（4）：47-51.

[3]张逢成. 探究式教学中的问题设计[M]. 徐州：中国矿业大学出版社，2011.

[4]罗敏娜. 中学数学思维教学研究[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[6]王成刚. 例析研究新函数图像的基本策略[J]. 数学通报，2020，59（10）：53-57，61.

[7]仲秀英. 学生数学活动经验的内涵探究[J].  课程·教材·教法，2010，30（10）：52-56，80.