感悟数形结合思想 发展数学核心素养

赵智勇 杜燕 孟秀英

摘  要：文章以锐角三角函数知识内容为载体，着眼于数形结合思想方法的深层感悟，实现数与形的双向沟通. 通过“解直角三角形中的数形结合”专题复习课的教学，引导学生概括数形结合解决问题的基本思路，体会其作用，归纳其注意要点;引导学生应用概括出的数形结合思想的基本思路解决问题，实现数形结合思想的巩固和迁移;引导学生融合不同的思想方法解决综合性问题，实现思想方法的融合.

关键词：数形结合;锐角三角函数;专题复习;教学研究

一、内容和内容解析

1. 内容

“解直角三角形中的数形结合”专题复习课包括2个课时的内容，其单元结构图如图1所示.

本节课为第1课时，以解直角三角形及其应用为载体，在综合运用相关知识解决问题的过程中，提炼运用数形结合思想方法解题的操作步骤、作用、注意要点等.

2. 内容解析

（1）地位和作用.

代数和几何是初中数学的主要研究对象. 数形结合是通过数与形的相互转化达到认识和解决问题的一种思想和方法. 通过“以形助数”和“以数解形”，准确把握数与形的关联点，可以使抽象的问题形象化、直观的问题精细化，从而快速获取解题思路，逻辑清晰地解决问题. 运用数形结合思想解决问题的过程也是学生发展直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养的过程.

数形结合在数学学习和研究中占有重要地位，它不仅是一种重要思想，也是一种常用的解题策略与方法. 本节课是运用数形结合思想解决相关问题的专题复习课，从具体的锐角三角函数问题的解决开始，总结提炼数形结合思想方法的作用、操作步骤和注意要点，并用于解决综合性问题.

锐角三角函数是数形结合的产物，它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系，在历年中考试题中都占有一定的比重. 因此，学好本节课的内容对中考备考有重要作用.

（2）概念的解析.

运用数形结合思想方法解决问题的操作步骤、注意要点、作用如下.

操作步骤：分析问题结构—构想数形关联—实施数形转换—获得问题答案.

注意要点：考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性;解决几何证明题需要几何直观分析、代数抽象分析对应进行;代数性质与几何图形的对应互换.

作用：运用数形结合思想方法解决问题能够使抽象的问题形象化，使复杂的关系得到直观、具体的表示，对理解题意、挖掘题目中的各种信息、发现蕴含的条件和关系、获得解题的灵感和方法等都具有重要意义.

（3）思想方法.

数形结合的实质是把抽象的数量关系与直观的图形表示结合起来，或把几何中的定性结论转化为可计算的定量结果，或以直观图形辅助抽象的代数运算与推理.

（4）知识类型.

本专题内容属于程序性知识，还是策略性知识，由知识类型所决定. 在教学中，教师要注重以问题为引导，以学生活动为主，在独立思考、合作交流中，师生共同提炼数形结合思想方法的操作步骤和核心要点，进一步体会数形结合思想方法的作用;在应用中注重引导学生用数形结合思想方法去分析问题和解决问题.

（5）教学重点.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：提炼数形结合思想解题的一般步骤和注意要点.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）通过解直角三角形及其应用问题，了解数形结合思想的内涵和作用.

（2）经历问题解决过程，能抽象概括出用数形结合思想解决问题的操作步骤、注意要点和作用.

（3）能正确进行数形互化，运用数形结合思想解决有一定综合性的问题，形成解题策略.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：知道数形结合研究数的精确与形的直观之间的转化，可使解题思路变得简单明了，从而化繁为简、化难为易.

达成目标（2）的标志：明确运用数形结合解决问题一般需要经历“分析、构想、建立、求解”四个步骤. 数与形的对应转换是运用数形结合解决问题的关键，明确以形助数、以数解形的具体操作步骤. 知道在运用数形结合解决问题时，要考虑可行性等，不能用形的显然替代推理论证，既需要进行几何直观分析，又需要通过符号抽象、运算和推理进行量化研究.

达成目标（3）的标志：在解决相关问题的过程中，能有意识借助形的几何直观性来阐述数之间的普遍关系和一般规律，借助数的精确性阐述形的某些属性和一般规律;能运用数形结合思想方法解决一些有一定难度的中考试题.

三、教学问题诊断分析

1. 已具备的认知基础

学生已经学习了直角三角形的两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数等知识，并能运用直角三角形的性质解直角三角形;经历了数轴、坐标系、函数等概念的学习，对数形结合有一定的认识，对数与形的对应和转换有一定的模仿经验，具有一定的解决问题的能力，这为本节课的学习奠定了基础.

2. 与本课目标的差距分析（知识、能力）

初中生运用数形结合解决问题，需要具备以下能力：敏锐的观察能力;准确的语言表达能力;灵活的思维能力;较强的综合应用能力. 运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题时，需要进一步培养学生敏锐的观察能力和灵活的思维能力.

3. 可能存在的问题

运用数形结合思想解决综合性较强的题目时，纵横联系的知识点多，这对学生的数形结合能力提出了较高的要求. 对于某些问题，学生有可能误用形的直观替代严谨的推理论证，也可能抓不住数的特征构建适当的形.

4. 应对策略

本节课需要通过具体实例多次展现数形结合的具体操作步骤，使学生获取更多活动经验，提升学生对数形结合思想的认识和理解. 首先，创设问题情境，引导学生利用数形结合思想解決问题;其次，引导学生对上述问题分解并进行反思总结，组织学生进行思想方法的交流和一般性思考;最后，通过对例题进行有针对性地指导，使学生经历数形结合解决问题的过程，既进行几何直观分析，又对应进行代数抽象探究，提升学生的认知加工水平和解题能力.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：进行数与形的等价转化，并运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题.

四、教学支持条件分析

利用希沃白板制作课件、互动授课;借助希沃授课助手拍照上传、进行投屏等，灵活展示和点评学生的学习成果，呈现课堂细节;结合GeoGebra软件辅助构图操作，提升课堂效率.

五、教学过程设计

1. 课前检测——针对强化，提升实效

检测题1：△ABC在正方形网格中的位置如图2所示，则sinα的值为（    ）.

【设计意图】通过课前检测题，了解学生对本节课的相关基础知识的掌握情况，可以根据检测的结果决定是否需要补测题，为后续提炼数形结合步骤和要点及进一步利用数形结合解决问题做好铺垫.

2. 解决问题——经历过程，感悟应用

问题1：如图6，已知在△ABC中，AB = BC = 5，tan∠ABC =[43].

（1）求AC的长;

（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为点D，求[ADAB]的值.

师生活动：教师引导学生审清题意，从数与形两个方面的关联分析问题. 第（1）小题中，作高构建数所对应的形，根据形所对应的数量关系确定求AC的长的方法（设未知数，将求AC的长转化为解方程问题求解）. 第（2）小题中，从图形特征关联图形对应的数量关系，确定求比值的方法. 在引导学生审题和分析问题的过程中，教师结合学生的回答给出如表1所示的数形关联表，然后通过追问使学生理解“图形的形状确定，则图形中对应的数量关系也随之确定”. 因此，求图形中两条线段的比值时，不必关注具体的数量，而把目光聚焦到图形中元素间的数量关系上，则求解过程更为简捷.

追问1：你是如何使用“tan∠ABC =[43]”这个条件的？

追问2：条件“边BC的垂直平分线与边AB的交点为点D”对应的图形和数量关系表达式是什么？

追问3：若将“AB = BC = 5”改为“AB = BC”，你还能求出[ADAB]的值吗？为什么？

【设计意图】通过解决第（1）小题，使学生经历以数解形的思考与解决问题的过程，将图形信息转换为具体的数量关系，借助图形的直观性，增加问题解决的准确性，使问题求解更加简明. 通过解决第（2）小题，使学生经历以形助数的思考与解决问题的过程，让学生感悟借助图形的几何直观来解决数的问题，常常可以避免复杂的推理计算，使问题化难为易，使抽象的问题具体化.

解决问题后，借助数形关联表，通过问题串促进学生对解决问题的过程进行反思总结，提炼运用数形结合解决问题的一般步骤、注意要点和作用，提升学生的思维能力.

3. 交流提炼——合作交流，提炼方法

问题2：结合课前检测和问题1，你能总结一下利用数形结合思想解决问题的一般步骤和作用吗？

师生活动：引导学生回顾课前检测题2的问题解决过程，师生共同建立如表2所示的数形关联表.

结合问题1的解决过程和如表1、表2所示的数形关联表，师生共同归纳上述问题的解题思路和方法，总结提炼数形结合的一般操作步骤、作用和转化策略.

作用：实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合，从而化繁为简、化难为易.

一般操作步骤如下.

（1）分析问题结构——审题，得到数的关系和形的特征.

（2）构想数形关联——从数的角度想象和表示图形特征，从形的角度想象和描述数量关系，找到数与形的关联点，如几何度量（如距离、角度等）或坐标.

（3）实施数形转换——构建数所对应的形，对形所对应的数量或数量关系进行符号抽象、运算和推理.

（4）获得问题答案——有逻辑地表达解题过程.

转化策略：关注具有显著特征的对象，基于基本的几何度量（距离和角度）找出数量关系与几何图形的关联点.

【设计意图】概括数学思想方法，需要把数形结合思想的操作过程模型化、程序化、一般化. 组织学生相互讨论交流，进一步挖掘数形结合思想的本质内涵，使学生对数形结合思想的认识从内隐转化为外显，实现运用数形结合思想解决问题操作策略的明朗化.

4. 迁移应用——知识迁移，能力拓展

问题3：如图7，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航. 某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C. 此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30海里 / 时，B船的航速为25海里 / 时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin 53° ≈[45]，cos 53° ≈[35]，tan 53° ≈[43]，[2]≈ 1.41.）

师生活动：学生按以下步骤进行独立探索，并在学案上构建数形关联表，解决问题3.

第一步：分析问题结构. 过点C作AB所在直线的垂线，垂足为点D，由已知AD = DC，∠CBD = 53°，AB = 5. 根据两艘船的速度，求等待时间，就要求AC和BC的长. 已知两角和一边，求另外两条边的长，这其实就是解直角三角形问题.

第二步：构想数形关联. 当已知角和边的条件时，利用锐角三角函数解决问题，通常要构建直角三角形.

第三步：实施数形转换. 设未知数，根据图形结构列出方程.

第四步：获得问题答案. 检验解的意义，得到实际问题的答案.

教师在学生的分析、思考過程中，关注学生对数形结合解决问题一般步骤的操作表现，并利用希沃授课助手（手机APP结合电脑端）对学生完成的较规范的数形关联表和解题过程进行拍照上传、展示点评. 结合学生的思考，师生共同构建如表3所示的数形关联表，解决问题3.

【设计意图】通过对问题3的解决，进一步明确运用数形结合解决问题的思考步骤和注意要点，感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的联系，促使学生自觉运用数形结合思想，提升分析问题和解决问题的能力.

问题4：如图8，在△ABC中，AB = AC，AD是边BC上的高，E是AB的中点，F是边AC上一个动点，EF与AD相交于点G，AC = 10，cos∠DAC =[45]. 当△AGF为等腰三角形时，求EG的长.

师生活动：首先，引导学生关注问题中的特殊元素，如两个中点E，D，连接ED构造△AGF ∽ △DGE;其次，解题需要关注主要构图对象，借助GeoGebra軟件中的“复选框”功能简化图形，最终将问题转化为“在△DEG中，DE = 5，cos∠EDG =[45]，当△DEG为等腰三角形时，求EG的长”. 再运用GeoGebra软件中的“滑动条”控制动点F在边AC上移动，通过分类讨论，师生共同构建如表4所示的数形关联表，利用数形结合解决问题.

【设计意图】通过对问题4的解决，以数形结合、分类讨论思想为基础，引导学生在分析问题、规划思路时，将目光聚焦在特殊的视角和特殊的对象（等腰、中点、平行线）上，根据已有的数学活动经验合理寻求解决问题的突破口，体会利用数形结合进行推理得到的结论具有一般性，掌握目标导向的认知策略，使学生进一步感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的必然联系，提升分析问题和解决问题的能力.

追问4：结合以上问题，你能总结一下利用数形结合解决问题的注意要点和转化策略吗？

注意要点如下.

（1）代数性质与几何图形要对应互换.

（2）考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性.

（3）不能用图形的直观代替严密的逻辑推理，既需要几何直观分析，又需要进行对应的代数抽象分析.

5. 反思总结——回顾思考，深化思维

（1）数形结合的作用是什么？

（2）运用数形结合解决问题可以分为哪些步骤？

（3）运用数形结合解决问题的过程中最关键是哪一步？需要注意什么？

（4）你还有哪些收获？

师生共同总结出如图9所示的框图.

[数形结合][作用][    实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合][化繁为简，化难为易] [1. 分析问题结构

2. 构想数形关联

3. 实施数形转换

4. 获得问题答案] [    转化策略：找出数量关系与几何图形的关联点] [操作步骤] [注意要点][    1. 考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性][    2. 几何证明题需几何直观分析、代数抽象分析对应进行][    3. 代数性质与几何图形的对应互换] [图9]

【设计意图】回顾本节课的学习历程，并再次总结数形结合思想的解题思路、操作步骤、要点和作用，深化学生对数形结合思想的理解，强化目标导向的认知策略.

六、目标检测——自我检测，巩固反馈

1. 新冠肺炎疫情期间，教育部号召各地各类学生居家学习. 为支持小明学习，妈妈特意买了新台灯. 图10（1）是放置在水平桌面上的台灯，图10（2）是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC = 40 cm，灯罩CD = 30 cm，AC可以绕点A上下调节一定的角度，CD可以绕点C上下调节一定的角度. 使用时发现：当灯臂与底座构成的夹角∠CAB = 53°，∠ACD = 157°时，台灯光线最佳. 求光线最佳时点D到桌面的距离为多少？（结果保留一位小数. 参考数据：sin 53° ≈[45]，cos 53° ≈[35].）

2. 如图11，在Rt△ABC中，∠C = 90°，sinB =[45]，AC = 4. D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA = ∠B，AE∥BC.当△ADE为等腰三角形时，求AE的长.

【设计意图】巩固利用数形结合思想解决问题的过程与方法，对应知应会的核心知识进行检测，为下节课的解题课奠定基础. 通过解决问题，进一步体现数形结合思想应用的广泛性和有效性，提高学生对数学思想的感悟层次，提升学生分析问题和解决问题的能力，感受数形结合的育人价值.

七、教学反思

教学设计是静态的，而课堂生成是动态的. 通过对数形结合的设计和实施教学，笔者认为，在教学中，教师引导学生感悟数形结合思想方法，发展数学学科核心素养应注意以下几点.

1. 进行单元整体教学

从整体上把握教学内容，整体构思单元各课时的教学内容，注重知识的前后联系，以及对后续学习的重要作用，体现数学知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性和方法的一般性. 在相互联系中引导学生感悟其中蕴涵的数学思想方法，发展学生的数学素养，有利于深化学生对数形结合思想的理解，培养理性精神和探究精神，提升中考数学备考能力.

2. 发挥一般观念的引领作用

本节课的教学设计和实施是在一般观念的指导下，以数学知识的内在逻辑构建自然而然的研究过程. 以解直角三角形内容为载体，根据题目条件和数学知识的内在逻辑关系设计系列问题串，自然引出数形关联表，利用问题串和数形关联表引导学生概括总结问题的解决思路和方法，提炼数形结合的作用、一般操作步骤、转化策略，形成基本套路，提升教学的整体性和思想性，帮助学生体会数形结合思想方法，使学生透过现象看本质，从复杂问题中抓住关键要素，从而化繁为简，形成数学的思维方式，提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

3. 遵循数学思想方法教学的原理

数学思想方法的学习要经历“解决问题—概括提炼—迁移应用—联系发展”这四个阶段. 本节课以此为依据进行教学设计. 首先，通过具体问题的解决，体会数形结合思想;其次，将如何分析问题结构、构想数形关联、实施数形转换这一操作过程显性化，明确其作用、操作步骤和要点，提炼和概括数形结合思想;最后，让学生用概括出来的数形结合思想解决新的问题，感悟利用数形结合解决问题的关键是从数的角度观察图形特征，从形的角度实现数量代换，找到数与形的关联点，使学生内化数形结合思想，形成数学活动的经验. 例如，在回顾检测题2和问题1时，给表格加个题目“数形关联表”，在对照表格进行引导时用“数量关系关联的几何图形”和“几何图形关联的数量关系”等语言，可以促进学生使用“关联”进行概括.

4. 精选样例

引导学生感悟数形结合思想方法，重要的是精选适当的题目，利用题目归纳操作流程. 巩固操作流程可以利用相关的变式题目和拓展题目进行迁移训练，使学生在合作探究中内化数形结合的操作流程，在反思总结中形成有结构的知识经验.

5. 坚持以学为中心

在以学生活动为主、以感悟数形结合思想为目标的复习教学中，教师需要注意鼓励学生积极思考、提出有价值的问题，关注学生是否能够用数学的思维方式观察、分析、解决问题，使学生感受数与形之间的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合;合理运用信息技术手段，有利于增强学生的学习兴趣，提高课堂学习效果.

教学时，若教师不揭示方法的本质，学生只会看到简单的数学操作，看不到问题的本质. 数学思想是对数学知识的更高层次的概括与提炼，是培养学生的数学能力、发展数学学科核心素养的重要环节. 数学思想方法的教学对解题教学具有十分重要的指导作用，有助于提升学生的解题能力和应用能力，发展学生的理性思维和科学精神，有效发挥数学学科的育人价值.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京師范大学出版社，2012.

[2]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]吴增生. 科学用脑高效复习：初中数学总复习教学设计[M]. 杭州：浙江科技出版社，2018.

[4]吴增生. 整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系[J]. 中国数学教育（初中版），2019（7 / 8）：3-11，37.

[5]王华鹏.“四个理解”指导下的教学设计新思路：以“位似”教学设计为例[J]. 中国数学教育（初中版），2019（9）：3-8，13.