“锐角三角函数”考点大观察

王国兵

“锐角三角函数”是初中数学的主要内容，也是中考考查的重点内容.纵观近几年的中考数学试题，锐角三角函数的定义、特殊的三角函数值、解直角三角形以及锐角三角函数在实际问题中的运用往往是考查的重点.现以近两年中考试题为例，说明如下.

考点一 锐角三角函数的定义

例1 （2016·陕西）已知抛物线y=-x2

-2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，则tan∠CAB的值为（ ）.

A.[12]

B.[55]

C.[255]

D.2

【解析】如图1，过C点作CD⊥AB，垂足为D，由题意可求得点A（-3，0）、B（1，0）、C（-1，4），则AD=2，CD=4，在Rt△ACD中，tan∠CAB=[CDAD]=[42]=2，故选D.

考点二 特殊三角函数值

例2 （2016·山东潍坊）关于x的一元二次方程x2-[2x]+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）.

A.15° B.30° C.45° D.60°

【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以Δ=（-[2]）2-4sinα=2-4sinα=0，故sinα=[12].因为α是锐角，所以α=30°.

考点三 解直角三角形

例3 （2015·湖北）如图2，AD是△ABC的中线，tanB=[13]，cosC=[22]，AC=[2].求（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值.

【解析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.

由cosC=[22]，得∠C=45°.

在Rt△ACE中，CE=AE=AC?cosC=[2]×[22]=1，在Rt△ABE中，BE=[AEtanB]=3，

则BC=BE+CE=4.

（2）由AD是△ABC中线得，CD=[12]BC=2，DE=CD-CE=1，

在Rt△ADE中，tan∠ADE=[AEDE]=1，得∠ADE

=45°，所以sin∠ADC=sin45°=[22].

【反思】解决这类问题关键是弄清三角形中线与角之间的关系，可以从一些特殊角以及特殊角所对应的特殊三角函数值入手，层层深入，步步为营，使问题得以解决.

考点四 锐角三角函数在实际问题中的应用

1.仰角俯角问题

例4 （2016·河南）如图3，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗前，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解析】通过解Rt△BCD和Rt△ACD分别求得CD和AD的长度，得AB的长度，从而根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=[上升的高度上升的时间]”即可求解.在Rt△BCD中，CD=BD·tan∠BCD=9tan45°=9.在Rt△ACD中，AD=CDtan∠ACD=9tan37°≈6.75，所以AB=BD+AD=9+6.75=15.75，则整个旗子上升的高度是15.75-2.25=13.5（米），因耗时45s，故国旗上升的速度v=[13.545]=0.3（米/秒）.

2.坡度坡角问题

例5 （2016·重庆）如图4所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=[1∶3]，则大楼AB的高度约为（ ）.（精确到0.1米，参考数据：[2]≈1.41，[3]≈1.73，[6]≈2.45）

A.30.6 B.32.1 C.37.9 D.39.4

【解析】如图5，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=[3]x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=[63]米，得到BG=9米，证得△AEG是等腰直角三角形，得到AG=EG=HD=[63]+20（米），即可得出大楼的高度为AB=AG+BG=[63]+20+9≈39.4（米）.

【反思】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、俯角问题.通过作辅助线，运用勾股定理求出BH、HC后，得出EG、BG是解决问题的关键.

3.方向角问题

例6 （2016·四川乐山）如图6，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.

【解析】由题意易得∠ABC=120°，AB=12，设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为x小时，则BC=10x，AC=14x，在△ABC中，∠ABC=120°为一特殊角，解题时注意不破坏特殊角的特殊性，自然想到，过A点作AD⊥BC交CB延长线于点D，如图7.

在Rt△ABD 中，

AD=ABsin∠ABD=12sin60°=[63]，

BD=ABcos∠ABD=12cos60°=6，

CD=BC+BD=10x+6.

在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，

（[63]）2+（10x+6）2=（14x）2，解之得x1=2，x2=-[34]（不符合题意舍去）.

答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2小时.

【反思】解决锐角三角函数应用问题时，要能正确读懂题意，理解方位角的含义，把实际问题转化为解直角三角形的问题加以解决，即找到已知与未知相关联的直角三角形，有时图形中没有直角三角形，要依托特殊角通过作高的方法构造直角三角形解决问题.

（作者单位：江苏省东台市许河镇中学）