锐角三角函数中的数形结合

李霞 高晓晴

摘  要：以“锐角三角函数”专题复习为例，在系统观和数形结合思想引领下设计合理、有效的复习教学活动，发展学生的直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养.

关键词：系统观;专题复习;锐角三角函数

章建跃博士认为，复习课应该以教学内容的整体性认识为载体、以系统思维为目标，通过专题复习的路径形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构.

系统观是对于研究对象的整体性把握. 若把“锐角三角函数”放在“图形与几何”的领域，它是初中研究三角形部分的最后阶段;若从“数与代数”的角度看，它又是初中最后学习的一个初等函数：以锐角为自变量，比值为因变量的函数. 因此，在教学中，我们可以把角作为研究对象，用比值来刻画它的大小. 虽然锐角三角函数值只与角的大小有关，与其所在的三角形无关，但在初中阶段我们需要一个载体来研究它，那就是直角三角形. 若已知角所在的三角形为直角三角形，根据三角函数定义即可得到边角之间的关系;若已知角不在直角三角形中，则可以通过作辅助线，构造直角三角形来解决问题. 因此，初中阶段解决锐角三角函数的有关问题，都是在直角三角形中进行的，而直角三角形中的勾股定理是定量解决问题的重要工具，其中渗透的数形结合思想是本单元教学的重要思想方法.

本文以“锐角三角函数”专题复习为例，通过章节的功能性认识、目标设置及复习实施路径，探索在系统观和数形结合思想引领下的中考专题复习教学活动设计.

一、内容和内容解析

1. 内容

锐角三角函数.

2. 内容解析

人教版《义务教育教科书·数学》中“锐角三角函数”一章有两个小节：锐角三角函数;解直角三角形及其应用.

从知识的结构来看：它是从直角三角形中的边角关系引出锐角三角函数的定义，要让学生明白初中的锐角三角函数反映的是直角三角形边、角之间确定的数量关系，虽然是在直角三角形中定义，但与所在的直角三角形大小无关，因此可以通过等角实现边的比值的转化. 对于解直角三角形及其应用，要关注确定性思维，只要一个锐角确定，这个直角三角形的形状就是确定的，边的比值是确定的，只要给出边的条件，则该三角形可解.

从解决问题的角度来看：它是几何图形定量研究的工具，可以实现线段和角度关系的数量化. 利用图形或坐标，将解直角三角形中几何的定性问题转化为可计算的定量结果，为继续研究三角形提供代数方法.

从函数定义的内涵来看：与前面学习的三个初等函数相比，锐角三角函数的函数属性弱化、具有非典型性，边角关系的表达更加符号化.

从知识的联系来看：相似是锐角三角函数概念的生长点，全等三角形是锐角三角函数问题的生成点，而锐角三角形函数和勾股定理又是解直角三角形的运算工具.

作为专题复习课，本专题聚焦在锐角三角函数内容中的核心思想——数形结合思想展开复习教学. 本节课以“锐角三角函数概念”的主线展开，先在网格中让学生经历求解一个确定的角的三角函数值，接着给出一个三角形中两个角的三角函数值求第三个角的大小，再到一个确定三角形的三角函数求解，让学生经历由形（角）到数（比值），再由数到形的探究过程. 例如，在探究角的三角函数值时，结合直角三角形，利用边角之间的关系，计算得出比值，体会由形到数的转化;反过来，探究角的大小时，可以从角的三角函数值得到的比值入手，构造直角三角形，得到边角之间的关联，体会由数到形的转化.

二、目标和目标解析

1. 目标

系统观下中考专题复习的目标和定位在于概括知识发生、发展和应用过程中的数学思想方法及关键能力.

本专题的复习设想从基于数形结合的学习活动，构建锐角三角形函数及解直角三角形相关的知识网络，深化学生对锐角三角函数概念的理解，发展学生用直角三角形中的边角关系解决问题的能力. 基于此，确定教学目标如下.

（1）进一步理解锐角三角函数的定义.

（2）能用锐角三角函数的定义建立直角三角形中边角之间的关系.

（3）基于数形结合，依据直角三角形中元素之间的关系解直角三角形，并解决实际问题.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：要求学生能建立直角三角形中角与边的比值之间的对应关系，理解锐角三角函数是用对应的观点建立直角三角形中角与边的比值之间的数量关系，知道这是从三角形的“全等”“确定条件”的定性研究到三角形元素关系定量研究的核心工具之一.

达成目标（2）的标志：能用锐角三角函数建立同一个直角三角形或不同直角三角形之间边的比值的数量关系，对线段之间的数量关系进行研究.

达成目标（3）的标志：能综合应用勾股定理、直角三角形中的两锐角互余、锐角三角函数解直角三角形，解决实际问题.

三、教学问题诊断分析

“锐角三角函数”的专题内容一般是中考复习的最后一个专题. 之前学生对直线型的内容有了较深的认识，理解了三角形基本元素的属性与关系，但还无法系统性地认识锐角三角函数与相关知识的联系，把角用等角转化后置于直角三角形中求解的能力较弱. 教师需要给学生铺设一条低起点、高落点的提升路径，在问题设置上，围绕锐角三角函数概念这一主线展开，从网格图形出发，给出已知角，通过等角转化构造直角三角形进行求解，最后在圆中实现等角转化. 网格的优点在于它能刻画位置，实现数形结合. 特别是改变角的位置及背景，实现图形的变换，开放性解决问题.

四、教学过程設计

1. 再现概念

问题1：图1为若干个小正方形构成的网格，你能计算出∠O的三角函数值吗？

追问1：你的解题依据是什么？

追问2：如果找不到直角三角形，你会怎么办？

师生活动：引导学生体会初中的锐角三角函数的本质：反映了“形状确定”的直角三角形边角之间的数量关系虽然是在直角三角形中定义，但与所在的直角三角形大小无关.

【设计意图】借助数形结合，深化学生对三角函数概念的本质理解.

2. 图语数说

问题2：如图2，△ABC的三个顶点都在格点上，求tan ∠ACB的值.

师生活动：学生先独立完成解答，教师收集不同解答和学生的困难点，并投屏呈现. 师生共同研究解答过程，用问答的方式进行思路的整理.

追问1：这是一个什么问题？已知了什么？要求什么？

追问2：已知条件实际上是什么？设问实际上是要求什么？

【设计意图】师生通过问题2的实践，在交流与共同解答中，感悟网格在解决与三角形有关的角和线段度量问题中的计算功能.

追问3：如何构造直角三角形，能更快求得tan ∠ACB的值，定量研究∠ACB的大小？

师生活动：教师总结把∠ACB置于图3 ～ 图5位置的直角三角形中，可以直观求得其三角函数值. 这一过程是在借助正切对角的大小进行定量研究的目标引导下，基于几何直观，构建直角三角形，并进行边角之间关系的定量计算. 构造直角三角形的不同方法，体现了对问题条件、结论的不同侧面的理解，但无论哪种方法，都是通过等角转化后将其置于直角三角形中进行求解.

【设计意图】研究三角形确定的条件转化，寻找含待求角的可解三角形，体会由形到数的转化.

3. 数语图说

问题3：任意画一个△ABC，使tan A =[12，] tan B =[13]（其中∠A，∠B为锐角），求∠C的度数.

师生活动：学生先独立完成，教师收集不同解答和学生的困难点，并投屏呈现. 然后师生共同研究解答过程，用问答的方式进行思路的整理. 通过展示交流和教师引导（追问1 ～ 追问5），最后得到如图6的“以形助数”的解题思路总结.

追问1：由条件tan A =[12]出发，如何画出∠A？由条件tan B =[13]出发，如何画出∠B？

追问2：如何让∠A，∠B变成同一三角形中的两个内角？

追问3：只能确定△ABC的形状吗？大小可以确定吗？

追问4：要添加什么条件才可以确定△ABC的大小？

追问5：在没有网格，也没有坐标系（即没有提供具体数值）的情况下，你还会求∠C的度数吗？

【设计意图】先让学生经历猜想、测量、验证过程，发现这两个角有共边时，可组成同一个三角形. 对于三角函数的问题而言，“比”是对形状的一种刻画，两个正切值之间要关联起来，就需要灵活运用“比”中的“三角形大小可变”的关系，体会由数到形的转化.

4. 学以致用

问题4：如图7，四边形ABCD内接于⊙O，AB = AC，BD⊥AC，垂足为点E，点F在线段BD的延长线上，且DF = DC，连接AF，CF.

（1）略;

（2）若AF = 10，BC = 4[5]，求tan∠BAD的值.

【设计意图】此题是2019年中考福建卷第24题，解题的基本工具之一是锐角三角函数定义的应用，研究的路径是让学生通过图形构图的逻辑顺序，形成确定图形的意识. 如图8，发现△ADB是确定的三角形后，与它相关的基本元素都可求得，让学生明白锐角三角函数与圆结合时，能够实现等角转化. 进一步说明任意角的三角函数与解三角形没有关系，而圆的旋转不变性特征能够实现等角转化（如图9），而后将角置于直角三角形中求解.

5. 课堂小结，形成一般性观念

（1）本节课的核心知识是什么？研究了什么内容？用到的核心数学方法是什么？

本节课的核心知识是对锐角三角函数概念的再认识;研究的内容是如何求三角函数值;核心的数学方法是用数形结合方法，把任意确定的三角形转化为解直角三角形的问题来解决.

（2）构造的目标图形是什么？构造的方法是什么？

构造的目标是直角三角形;构造的方法是直接构造法和等角转化法.

【设计意图】小结的作用在于实现课堂的画龙点睛，通过小结理解本节课的核心知识——锐角三角函数概念的应用，它是借助直角三角形这一几何直观来定义，因此几何直观就成了锐角三角函数求解的重要方法. 解直角三角形是解一般三角形的基础，通过转化，把解任意确定的三角形转化为解直角三角形，其中的构图、建模等关键能力需要在由特殊到一般的归纳过程中进行强化，这种对核心知识、思想方法的回顾，意在帮助学生养成解决问题的一般性观念与思路.

6. 目标检测

作业1：如图10，在△ABC中，∠B = 60°，点D在BC边上，且CD = 2，cos∠ADC = [17].

（1）求sin∠BAD的值;

（2）求BD，AC的长.

【设计意图】解决此题，学生要发现△ABD是确定的. 确定的三角形的高也确定，过点A作边BC的高，直接解相关三角形即可. 将此题设置为课后作业，有利于提升学生对锐角三角函数价值性知识的认识，即对于确定的三角形，一定是可解的. 此题的设置意在让学生明白知识的本源是解决问题的根本.

作业2：如图11，在Rt△ABC中，[AC<AB，∠BAC=]  90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点F在[BD]上，连接BF并延长交AC的延长线于点G，连接AF，求[AFBG]的最大值.

【设计意图】此题有多种求解方法，题面所给的是一些定性条件，求的又是比值，将比值问题转化为角的函数来处理，进一步体现了锐角三角函数定义在几何综合问题解决中的功能性作用.

五、教学反思

1. 课例的特点

本节课为学生构建了回归概念、理解本质、一题多解、多解归一的复习活动. 以系统观和数形结合思想为引领，设计的主线围绕着初中锐角三角函数内容的功能，知识的结构、普适性的思想方法、解决问题的策略等加以认识;通过揭示锐角三角函数这一数学对象（锐角三角函数的定义）的内涵，发现值得研究的问题（把任意确定的三角形转化为解直角三角形的问题来解决）、尋找求解问题的方法的引导（直接构造法和等角转化法）;通过锐角三角函数的定义的理解与应用，在完善单元知识结构的同时，努力建立与相关知识的联系，形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构. 在教学实施的过程中，始终关注数与形的联系，如网格的引入，利用网格的功能实现几何图形的数量化，借助几何直观引导学生体会由形（角）到数（比值）的转化. 进而让学生把比（角度的三角函数值）变成形（三角形的边）的刻画，在形的刻画中寻找量的公共元素，又实现由数到形的转化.

本节课留出了比较充分的时间与空间让学生思考与总结，教师引领学生在问题解决中思考如何回到“定义”中去，对于“一题多解”的题目，让学生发现与总结，多角度发展学生的思维;于“一题多解”后努力让学生“多解归一”，让学生抽象出能反映概念本质的通性、通法，如从数形结合的视角研究三角函数，形成良好的问题意识和解题策略.

2. 需要进一步研究的问题

在复习课中，我们要不停的提问：本专题的核心知识有哪些？这些核心知识的本质是什么？应培养学生哪些技能？在问题解决中应培养学生哪些一般性观念？

针对“锐角三角函数”专题，要从知识本源出发，理解锐角三角函数的概念，这是核心也是问题理解的本质. 此专题需要培养的技能：掌握特殊角的三角函数值的计算;在解直角三角形中养成三角形确定性的意识等问题解决的技能. 渗透的基本思想：变化与对应、数形结合、数学转化等. 掌握的基本方法：会利用解直角三角形的条件，构造直角三角形;会进行图形的组合与拆解.

从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学就是培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，实现它要依靠教学内容这一载体.“锐角三角函数”专题复习课不宜过度关注知识点和考点，这样会窄化教学视野，降低教育应有的内涵. 必需在问题解决中培养学生的一般性观念：利用四边形、圆、相似等多个知识点综合解决问题时，等角及邊的转化是解决问题的关键;解直角三角形中的确定性意识的形成等. 虽然初中阶段对三角函数的要求较低，但是学生应该具有回归定义研究性质的能力.

六、结束语

专题复习课的功能主要是提升学生在知识、技能、思维层面上体现出来的数学素养. 鉴于九年级学生现有的认知水平，专题复习课的内容必须为学生的能力发展和素养提升而设计. 初中数学的核心素养虽然未作界定，但基于初中的十大核心概念和对核心素养观的理解，此专题复习中要发展的主要学科核心素养应该是数学运算、直观想象、逻辑推理. 同时，专题复习课作为一种重要的课型，在教学设计时同样要进行教学背景的分析和教学目标的确定. 新授课重在探究建构知识，专题复习课重在梳理、整合知识，感悟数学思想和方法;新授课关注学科知识本质、提升学生思维品质，专题复习课重在发展学生能力、提升核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.