基于内容领域聚焦核心素养的专题复习教学研究

编者按：专题复习是重要的数学复习活动. 要在中考专题复习中发展学生的数学学科核心素养，体现立德树人，就需要改变专题复习课教学中的“题型操练”方法，通过对主题化问题的发现、提出、分析和解决，聚焦数学思想方法，引导学生经历数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等活动. 在初中数学的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域中，核心素养及其关键能力的体现有不同的侧重.“数与代数”领域主要体现为基于数量与数量关系的符号与模型抽象、数与符号的运算和推理;“图形与几何”领域侧重图形与图形关系的抽象、空间观念与几何直观、逻辑推理;“统计与概率”侧重于数据观念.“综合与实践”则是上述三个领域的综合，侧重于综合应用不同领域的知识、思想方法解决问题，让学生学会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达现实世界，从而实现数学学科核心素养的融合发展，发展学生的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

為了引起广大教师和教学研究工作者重视专题复习教学研究，本期集中刊出“聚焦核心素养的中考专题复习教学研究”专题文章10篇. 这些文章中，既有对这类专题复习教学的基本原理的研究，也有“数与代数”“图形与几何”领域的聚焦核心素养的教学实践研究，还有基于不同领域内容聚焦数形结合思想，发展空间观念、几何直观的教学实践研究. 希望这些研究能对广大数学教师和教学研究工作者有所启发，激起对专题复习教学的研究热情，着力改进初中数学总复习中专题复习教学的育人效果.

摘  要：在经历了聚焦知识体系重构的基础复习和聚焦数学思想方法的专题复习后，学生还比较普遍地存在着提出和解决新问题的困难. 从教学的视角分析，其主要原因是缺乏从“四基”发展到“四能”的教学桥接. 开展基于内容领域聚焦核心素养的专题复习，是实现这种教学桥接的基本策略. 这种专题复习教学的基本策略是：构建教学主题，理清数学思想方法和关键能力;用“大观念”引领，聚焦问题提出和解决的路径和方法的概括和迁移;基于主题精选样例和习题，引导学生独立思考.

关键词：内容领域;核心素养;专题复习

复习是对已有知识经验的认知重构活动. 通过这种认知重构，建构知识体系，形成基本技能，深化对数学思想和方法的认识，习得数学思维方式，发展数学学科核心素养. 初中数学中考复习教学通常分为以下三个阶段：聚焦知识体系重构和数学思想方法体会的基础复习阶段;聚焦数学思想方法抽象和迁移应用的专题复习阶段;聚焦问题解决的解题指导阶段. 很多学生虽然基础知识扎实，思想方法复习效果也比较好，但遇到“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”领域的新问题时，还会遇到困难. 例如，下面的题目所用到的知识点很少，但由于情境陌生，在6 000多名学生中正确率只有29%左右.

某酒店的圆形旋转门可以看成如图1所示的由外围的⊙O和三翼隔风玻璃OE，OF，OG组成，外围圆有通道[AB]和[CD]，且它们关于圆心O中心对称，圆内的三翼隔风玻璃可绕圆心O转动，且所成的夹角∠EOF = ∠FOG = ∠GOE = 120°，三翼隔风玻璃在转动过程中，始

终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温的作用. 例如，当隔风玻璃转到如图1所示的位置时，大厅内外空气被隔风玻璃OF，OG隔离. 通道[AB]所对圆心角的度数的最大值为（    ）.

（A）30° （B）60°

（C）90° （D）120°

如果把这道题改为填空题或解答题，估计学生的得分率会更低.

在教学实践中，教师习惯把这种现象归因于学生缺乏创新意识和能力、思维能力不强、智力限制等，这种归因太宽泛，对改进教学没有帮助，需要进一步从教学视角分析成因并研究改进措施，从而解决复习教学实践中的“痛点”问题.

一、教学成因分析

学生基础知识扎实，思想方法学习情况良好，但解决新问题的能力不强，这种现象在当前初中学生中普遍存在. 从教学视角分析，主要原因如下.

首先，缺乏帮助学生从知识技能和思想方法认知重构到跨领域、一般性问题解决能力发展的中间层次的教学桥接. 跨领域、一般性的解决问题能力需要以具体领域的问题解决能力为支撑;同时，具体领域中的问题解决能力依赖于综合运用本领域的知识技能和思想方法解决问题的数学活动. 为了发展学生这种基于具体知识领域的解决问题能力，需要进行有针对性的专题复习教学.

其次，在新课学习、基础复习和思想方法复习中，缺乏基于情境发现和提出问题、分析和解决问题等活动的有计划、系统化、一以贯之的体会和训练. 当学生突然面对一个新情境问题时，就会无从下手.

最后，“题型”训练泛滥，缺少基于陌生的新情境问题解决的目标导向行为训练，导致学生解决创新性问题的能力不足. 在复习教学中，教师习惯把函数、方程和不等式等应用题基于表面形式按照“行程问题”“工程问题”“销售问题”“动点问题”等进行分类训练，对几何问题基于题型按照“手拉手模型”“一线三等角模型”等进行分类训练. 这些训练可以丰富学生头脑中的知识体系，让学生熟悉题型，解题流畅性更好，但是对发展学生提出和解决新情境问题的能力效果不佳，甚至是有害的. 解决新情境问题的能力，本质上是大脑前额叶与顶叶主导的执行控制能力所引发的目标导向行为能力，数学问题的提出和解决的核心教育价值是发展这种大脑高级认知能力. 因为这种能力的发展可以进行跨领域、跨学科迁移，提升学生解决今后学习和生活中遇到的挑战性问题的能力.

针对上述三类实际教学中学生存在的短板，需要进行有针对性的教学改进研究. 对于第二类和第三类教学短板的改进，已经有研究文献[1][3][4]，对于第一类教学短板的改进，至今还没有公开的研究成果. 本文将进行重点研究，并提出教学策略.

二、基于内容领域聚焦核心素养的专题复习是从“四基”发展到“四能”的阶梯

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学. 数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律. 抽象、推理和建模是数学的基本思想. 数学学科核心素养是这三种数学基本思想在活动中反映出来的正确观念、必备品格和关键能力.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中用10个“关键词”给出数学关键能力的描述，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准（2017年版）》）中，用数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面来表述数学学科核心素养. 学生真正领会数学思想和方法的标志是能自觉地用数学思想方法指导自身的数学活动，并在问题提出和解决中表现出这些关键能力. 从数学思想方法的复习到跨领域、一般性问题的提出和创新解决，跨度太大，需要以具体内容领域中的关键能力发展为中介. 事实上，初中数学中的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”领域各与特定的数学学科核心素养相联系. 分别在不同的知识领域中发展学生的关键能力，是促进学生跨领域、提出和创新解決一般性问题能力的基础. 在《标准（2011年版）》中也体现了这一点，用“综合与实践”来描述数学课程中综合不同领域知识及思想方法提出和解决跨领域、一般性问题的数学活动，这也体现了从单一领域到跨领域的问题解决能力的课程目标的层级发展. 基于内容聚焦核心素养的专题复习教学，正好能承担起这种从知识技能、思想方法到问题提出和解决能力发展的桥接作用.

这种基于内容聚焦核心素养的专题复习教学，需要立足内容，选择适当的主题，以问题提出和解决为主线，融合不同的数学思想方法，聚焦核心素养相关的关键能力设计教学活动，引领学生发现和提出问题、分析和解决问题. 在这种专题复习中，学生的核心活动是：在特定的知识领域，在具体的情境中通过直观想象和数学抽象发现和提出问题，用形式推理、数学运算和建立模型的方法分析和解决问题，用合乎逻辑的方法进行问题解决结果和过程的表达和交流. 事实上，这些活动对应着《标准（2017年版）》中的“三会”，即会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界. 这种基于内容聚焦核心素养的专题复习，能促进学生理解不同领域知识内容的思想实质，是从“四基”发展到“四能”的阶梯，对发展学生的数学学科核心素养、提出和解决问题能力具有重要的作用.

三、基于内容领域聚焦核心素养的专题复习的教学策略

1. 构建教学主题，理清数学思想方法和关键能力

《标准（2011年版）》把义务教育阶段的数学学习内容划分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个知识领域，以及“综合与实践”领域.“综合与实践”指的是综合运用前三个领域的知识和思想方法解决问题的实践活动. 三个具体知识领域都体现了抽象思想、推理思想和模型思想. 但不同领域中这三种基本思想的表现形式有所不同，其在活动中关键能力的反映各有侧重. 例如，在“数与代数”领域中蕴含着从具体情境中抽象出符号的能力，用代数式、方程、不等式、函数表示数量关系的能力，数与代数式的运算能力，解方程、不等式的能力，用数形结合思想理解和研究函数性质的能力等;在“图形与几何”领域，蕴含着图形及图形关系、图形与数量关系的抽象能力，观察和想象物体的结构、追踪空间位置及其运动的能力，用几何图形表示数量与数量关系、空间结构及变化，用几何图形表示和分析问题的能力，依据逻辑规则从已有几何命题中有逻辑地推导出新命题、建立局部命题之间的逻辑系统的推理能力等;在“统计与概率”中蕴含着数据分析能力，包括数据的收集、整理、描述、分析并做出判断的能力. 即便是“数与代数”领域，函数内容与数、代数式、方程、不等式的内容中所蕴含的关键能力也有所区别. 特别地，函数内容还蕴含着“数形结合”这一几何直观能力，解决的核心问题是分析运动变化过程. 同样，“图形与几何”领域包括图形的性质、图形的变化、图形与坐标等内容，它们有共同的关键能力——抽象几何图形及其关系得到几何概念命题的能力、直观想象和逻辑推理能力，也有各自的侧重点. 例如，图形的性质主要是构建反映一类图形结构的命题逻辑结构;图形的变化则是研究几何图形的运动变化中的不变性和变化规律，图形与坐标则主要研究图形位置及其变化的坐标刻画. 因此，我们可以在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”领域的基础上，划分不同的内容主题，聚焦问题研究，概括研究的思想和方法，开展核心素养相关的数学活动，发展学生的关键能力. 例如，在“数与代数”领域，可以基于数与代数式、方程和不等式设计“符号抽象、推理和运算”专题复习课;基于函数内容设计“函数建模与数形结合”专题复习课. 在“图形与几何”领域，可以基于图形性质设计“图形结构研究——观察、想象、实验与推理”专题复习课，可以基于图形的变化设计“用图形变换思想研究几何问题”的专题复习课，也可以基于图形与坐标设计“位置及其变化的刻画与数形结合”的专题复习课，等等.

选择内容、构建主题的主要方法是：（1）基于研究活动中蕴含的关键能力的一致性构建复习主题，如数、代数式、方程、不等式中的“符号抽象、推理和运算”复习主题;（2）基于研究对象的共性构建复习主题，如“图形结构研究——观察、想象、实验与推理”;（3）基于研究的思想方法一致性构建复习主题，如用图形变换的思想研究几何问题，当然也可以融合这些方法构建复习主题，如“函数专题——数学建模与数形结合”中的数学建模是基于关键能力的，数形结合是基于研究的思想方法的，也是直观想象能力的体现.

2. 用“大观念”引领，聚焦问题提出和解决的路径及方法的概括和迁移

基于内容领域聚焦核心素养的专题复习，不同于基础知识和基本技能的复习，不同于具体的数学思想方法的复习，也不同于跨领域、一般性问题解决的指导，其最大的特点是聚焦具体内容领域中的问题提出和解决能力的发展. 在同一主题下，研究对象和研究问题具有关联性，研究的数学活动类型具有一致性，研究的路径和方法相似. 这些领域内的一致性集中反映了数学研究的“大观念”，即组织相关知识、思想方法和问题提出与解决步骤的顶层思想. 这种“大观念”是对知识发生、发展过程及其反映的数学思想方法的再概括，主要包括研究对象如何引入、如何定义，怎样提出研究问题，性质指的是什么，判定指的是什么，怎样研究，等等. 例如，数、代数式、方程、不等式等内容都是基于现实中数量关系的符号抽象和运算引入研究对象，基于性质和运算进行定义，其性质表现为运算中的不变性，通过归纳得到运算法则、运算律、等式及不等式性质，并以此为依据进行符号运算和推理，从一般意义上研究数量关系，研究的方法是符号运算、推理、从特殊到一般的归纳，等等. 函数中的“大观念”是用函数表示运动变化过程，用数形结合的方法研究变化规律与变化趋势;图形与几何中的“大观念”是怎样研究一类几何图形，包括研究思路、研究内容和研究方法，怎样引入和定义，性质是什么，判定是什么，怎样提出和证明性质与判定，用图形变换的观点进行直观观察和想象，等等;数据分析中的“大观念”则是数据分析观念. 在“大观念”的指导下概括出不同知识领域中不同主题下问题提出、研究和解决的共性，可以促进学生对内容中蕴涵的思想实质的理解，促进学生数学关键能力的发展. 通过对不同领域的问题提出和解决的路径、方法的概括和总结，可以为学生创造性地提出和解决新情境中的跨领域、一般性问题积累有益的活动经验.

例如，在“符号抽象、推理与运算（1）——数与式”专题复习中，设计了课前预测、提出问题、解决问题、反思总结、迁移应用等教学环节. 在课前预测中设计了三个问题（药品降价、汤的咸淡、靠墙竹竿滑动），学生可以基于具体数据进行分析计算，进一步引导学生提出一般性问题，让学生借助字母表示数，通过符号运算与推理在一般意义上研究和解决问题，在此基础上总结出数与代数式中运用符号抽象、推理和运算解决问题的一般步骤、作用和要点，并进一步用这种方法解决其他数与代数式中的有关问题. 数与代数式中的问题提出和解决的基本步骤是“用字母表示数，列代数式（用运算表示数量关系），运算和推理”，其作用是“借助字母表示数和列代数式，通过符号运算，在一般意义上提出和解决问题”，关键是符号表示和推理运算. 这种提出和解决问题的步骤和方法，同样可以迁移应用到方程和不等式中，只不过在操作步骤上有所增加，运算与推理需要综合运用. 列方程的步骤是在列代数式的基础上，再加上“用等号（或不等号）连接相等（或不等）的两个量”. 当然，在实际问题的解决中，方程和不等式应用题中需要进行从整体到部分的分析，先要明确相等（或不等）的两个量是什么，然后分析这两个量各由哪些要素（数量）决定，分层次逐步分析，最终找到问题中的决定其他量的关键——基本量，然后用字母表示，设出未知数，通过列代数式、用等号（或不等号）连接两个相等（或不等）的量，用方程、不等式表示数量关系，建立数学模型. 在用字母表示数，列出代数式、方程、不等式实现符号抽象后，通过符号运算和推理，得到数学问题的解，通过实际意义的解释，解决实际问题.

3. 基于主题精选样例和习题，引导学生独立思考

数学思想方法是在提出和解决具体的数学问题中反映出来的. 数学问题提出和解决中的路径和方法是基于对问题解决过程的反思，学生解决问题中关键能力的发展依赖于具体问题解决中独立的深度思考. 因此，数学思想方法的形成、活动经验的积累、关键能力发展的载体是样例和习题，关键是学生能独立地提出和解决问题，及时反思总结.

例如，在“符号抽象、推理与运算（1）——数与式”专题复习中，通过下面三道预测题检测学生基于直观推断的问题解决能力.

预测题1：（凭生活直觉）现有两碗咸淡不同的汤，混合在一起后，对咸淡变化规律的描述最准确的是（    ）.

（A）比淡的咸 （B）比咸的淡

（C）比咸的咸 （D）比淡的咸但比咸的淡

预测题2：（用特殊化和数值计算方法解决问题）药企对某种药品进行连续两次降价，有下面两种降价方案.

方案1：分两次降价，降价率分别为a，b（a ≠ b）;

方案2：两次降价率都为[a+b2].

则这两种降价方案的总降价幅度大小是（    ）.

（A）方案1大于方案2

（B）方案2大于方案1

（C）方案1等于方案2

（D）不确定

预测题3：（数值计算）如图2，一根长为5 m的竹竿斜靠在墙面上. 靠墙一端离地高为4 m，竹竿在同一平面内下端外移0.5 m时，靠墙一端下降的高度是（    ）.

（A）等于0.5 m

（B）大于0.5 m

（C）小于0.5 m

（D）与0.5 m比较，大小关系不确定

在此基础上，以题目1和题目2的一般化研究为例，另外借助一道综合性例题进行综合拓展，集中体现字母表示数、列代数式中的符号抽象、推理与运算.

题目1  国家医药采购改革后，迎来药品降价. 某药企对某种药品进行连续两次降价，有下面两种降价方案.

方案1：分两次降价，降价率不同;

方案2：分两次降价，每次降价率相同，均为方案1两次降价率的平均值.

问：哪一种方案的降价幅度大？能通过计算说明吗？

题目2  现有两碗咸淡不同的汤，混合在一起后，咸淡变化有什么规律？能通过计算说明吗？

在解决这两个问题的基础上，引导学生反思总结符号抽象、推理和运算的作用、基本步骤和注意要点. 进一步通过下面的例题，设计这种问题提出和解决步骤方法的迁移应用活动.

例  汽车在路程相同的上坡和下坡行驶的速度不同，汽车在上、下坡行驶过程中的平均速度与上坡、下坡速度之间有什么关系？能提出新的问题并加以研究吗？（可以提出调和平均数的定义、性质等研究问题并进行研究，构建局部知识系统.）

课后习题也是聚焦在符号抽象、运算及推理，选择生活背景（二维码中的符号抽象与运算）、科学背景（并联电路中的电阻计算公式，总电阻大小与分电阻大小关系）和数学背景的典型问题（预测题3的移动距离的一般化推广）.

精选问题的基本原则是：（1）针对性，即所选择的问题与内容主题的数学思想、关键能力、基本思考步骤和要点具有一致性;（2）典型性，即所选择的问题代表本主题中主要的问题类别，可以从现实情境、科学情境、学习情境和数学情境中选择典型问题或者设计问题情境，所选的问题呈现方式及结构不同但思考方式具有一致性;（3）发展性，即所选择的问题特别是例题要具有发展性，能够生成进一步应用本主题的思想方法和关键能力解决的一系列新问题. 如上述“符号抽象、推理与运算（1）——数与式”专题复习课中的预测题、例题具备了针對性、典型性和发展性.

参考文献：

[1]吴增生. 整体建构数学核心素养导向下的初中总复习教学策略体系[J]. 中国数学教育（初中版），2019（7 / 8）：3-11，37.

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[3]张东. 基于发现和提出问题推进初中数学复习课教学的实践与思考[J]. 数学通报，2019，58（4）：37-40.

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[5]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[6]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

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