聚焦符号抽象、推理和运算的“数与式”专题复习教学实践研究

摘  要：代数领域的核心思想是用符号表示数量及其关系，建立模型，通过符号运算和推理研究事物的数量属性，研究这些数量之间的普遍联系及一般规律. 在聚焦数学思想方法的“数与式”专题复习中，以问题引领学生经历用字母表示数、列出代数式、比较代数式的大小等符号抽象、推理和运算活动，在此基础上让学生经历操作体会、反思总结、迁移应用等过程，概括这种思想的作用、操作步骤及要点，并能在新的情境中迁移应用，从而发展学生的符号抽象、推理和运算能力.

关键词：符号抽象;推理运算;“数与式”专题复习

中考专题复习是在第一轮基础复习的基础上，从数学思想方法角度整合几个单元的教学内容，对内容中所蕴涵的数学思想方法进行的专门复习. 通过专题复习，对先前在新课和基础复习解决问题过程中所蕴涵的数学思想方法进行反思总结，明确其作用、操作步骤和要点，使学生对数学思想方法的认识从体会到感悟，并进一步内化为学生头脑中能自如应用的观念，这对于学生分析问题和解决问题能力的提高，以及数学学科核心素养的发展，具有重要作用.

一、符号抽象、推理与运算思想的内涵

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，通过义务教育阶段的数学学习，使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. 那么什么是数学基本思想呢？史宁中教授认为，数学三大基本思想本质上是抽象、推理与模型思想.

抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质的属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段. 数学抽象不仅是抽象出数学的研究对象，还要抽象出研究对象之间的关系，包括数量与数量关系抽象、图形与图形关系抽象. 代数领域中的符号抽象主要体现在运用符号表示数、数量关系及其变化规律.

建立在概念符号基础上的形式化的逻辑推理，是数学思维的基本形式. 人们通过这种逻辑推理，理解数学研究对象之间的因果关系，确认知识，构建有序多级的数学逻辑结构体系. 逻辑推理有两种基本形式：归纳推理和演绎推理. 与几何中的推理证明相比较，代数中的符号推理的特点是“基于运算”，即通过运算和推理比较数与代数式之间的大小关系.

数学模型是用数学语言描述现实世界中事物的关系和规律. 初中代数中的基本模型有数、代数式、方程、不等式和函数模型，建立这些数学模型的核心是用字母表示数，用含有字母的式子表示数量关系，并在此基础上用运算和推理解决问题. 因此，初中代数建模过程的核心是符号抽象、推理和运算. 下面以“符号抽象、推理与运算（1）——数与式”专题复习课的教学过程与反思为例进行论述.

二、备课过程中的相关思考

1. 目标

（1）在解决数与式问题的过程中体会符号抽象、推理和运算的作用.

（2）在解题反思的过程中提炼符号抽象、推理和运算思想的操作步骤和要点.

（3）能应用提炼出的步骤和要点解决新的数与式相关的问题.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：通过解决具体的数与式问题体会通过符号抽象、推理和运算把数量关系推广到一般，并简约地研究一般性的数量关系.

达成目标（2）的标志：通过解题反思，总结符号抽象、推理和运算思想的操作步骤和核心要点，通过归纳把这种思想推广到一般.

达成目标（3）的标志：能用提炼出的这种思想提出和解决新情境中的问题.

3. 学生的认知基础与存在的困难

（1）学生的已有认知基础.

通过新课及中考“数与式”内容第一轮复习的教学，学生已经基本掌握数与式中一些基本概念、数式运算及运算律;已经分散地接触过符号抽象、推理和运算，对这种思想方法已有初步体会.

（2）存在的困难.

虽然经过了第一轮基础复习，但是代数式的运算尤其是分式的运算对学生来说仍是易错点. 主要困难体现在以下两点：一是在现实情境中如何抽象出符号;二是总结符号抽象、推理和运算思想的作用、操作步骤和核心要点.

（3）教学难点.

在缺乏字母符号的问题情境中如何抽象出数学符号是本节课的教学难点. 可以采用如下方法帮助学生突破难点：第一步，用数与字母表示问题中的基本数量;第二步，通过代数运算用代数式表示数量关系.

三、教学过程设计

1. 课前预测

教师给出如下三道课前预测题，由学生自主完成.

预测题1：现有两碗咸淡不同的汤，混合在一起后，对咸淡变化规律的描述最准确的是（    ）.

（A）比淡的咸    （B）比咸的淡

（C）比咸的咸    （D）比淡的咸但比咸的淡

預测题2：药企对某种药品进行连续两次降价，有下面两种降价方案.

方案1：分两次降价，降价率分别为a，b（a ≠ b）;

方案2：两次降价率都为[a+b2].

则这两种降价方案的总降价幅度大小是（    ）.

（A）方案1大于方案2

（B）方案2大于方案1

（C）方案1等于方案2

（D）不确定

预测题3：如图1，一根长为5 m的竹竿斜靠在墙面上. 靠墙一端离地高为4 m，竹竿在同一平面内下端外移0.5 m时，靠墙一端下降的高度为（    ）.

（A）等于0.5 m

（B）大于0.5 m

（C）小于0.5 m

（D）与0.5 m比较，大小关系不确定

师生活动：学生独立完成课前预测的三道题目，教师展示答案，学生简单叙述做题方法.

【设计意图】对于预测题1，学生可以凭借生活经验得到答案，但是难以从数学角度通过运算方式说明理由;对于预测题2，学生可以通过特殊化得到答案，但是要使得到的结论更具有一般性，需要对符号进行运算、推理;预测题3是对具体数的运算、推理，但学生难以通过符号抽象、运算和推理将结论推广到一般. 要在一般意义上解决上述三道题，需要借助符号的抽象、推理和运算，而这恰好是最基本的代数研究过程. 从而引出本节课的课题“符号抽象、推理与运算（1）——数与式”.

2. 解决问题，体会思想

题目1  国家医药采购改革后，迎来药品降价. 某药企对某种药品进行连续两次降价，有下面两种降价方案.

方案1：分两次降价，降价率不同;

方案2：分两次降价，每次降价率相同，均为方案1两次降价率的平均值.

问：哪一种方案的降价幅度大？能通过计算说明吗？

师生活动：第一步，在题目中一个数据都没有的情况下，教师引导学生想到用数和字母表示基本数量，用单位“1”表示药品的原价，用字母a，b分别表示方案1中第一次的降价率和第二次的降价率;第二步，用含a，b的式子分别表示方案1和方案2中药品两次降价后的价格;第三步，通过符号的推理和运算比较代数式的大小. 具体过程如下.

所以方案1的降价幅度大.

【设计意图】通过题目1使学生在一般意义上解决课前预测的药品问题.

追问1：解决上述问题的过程中经历了哪些步骤？

追问2：使用这种方法的关键是什么？

追问3：这种问题解决的方法有什么用？

师生活动：通过问题解决，教师引导学生归纳得到如图2所示的框图.

[有什么用][研究数量之间的一般关系和规律] [操作步骤是什么][用数和字母表示基本数量][用代数式表示数量关系][通过运算和推理判断数与代数式之间的大小关系] [核心要点是什么][符号][表示][运算推理] [总结概括][图2]

【设计意图】通过以上三个追问使学生初步体会符号抽象、推理和运算思想有什么用、怎么用，以及核心要点是什么.

题目2  现有两碗咸淡不同的汤，混合在一起后，咸淡变化有什么规律？能通过计算说明吗？

师生活动：第一步，在题目中一个数据都没有的情况下，教师引导学生想到用数和字母表示基本数量，用字母a，b分别表示第一碗汤溶质和溶液的质量，用字母c，d分别表示第二碗汤溶质和溶液的质量;第二步，用代数式分别表示第一碗汤、第二碗汤、混合后的汤的溶质质量分数;第三步，通过符号的推理和运算比较代数式的大小. 具体过程如下.

【设计意图】借助字母表示数，通过运算和推理简约、定量、一般性地研究现实情境中的数量关系，引导学生再次总结得到如图2所示的思考方法.

3. 反思总结，提炼思想

师：通过前面两道题的解决，你能总结出解决这两道题方法的共性吗？从哪些方面总结？

师生活动：基于题目1和题目2的问题提出和解决过程，归纳其中的方法共性，并推广到一般，概括出符号抽象、推理和运算思想.

4. 迁移应用，感悟思想

例  汽车在路程相同的上坡和下坡行驶的速度不同，汽车在上下坡行驶过程中的平均速度与上坡、下坡速度之间有什么关系？

师生活动：教师先引导学生按照上述归纳的方法步骤尝试解决问题，然后由教师板书例题的解答过程，通过字母表示数、符号运算抽象出“调和平均数”（Harmonic Average）的概念，并用符号[Hx，y]表示.

【设计意图】用前面总结的方法步骤提出和解决问题，从而实现思想方法的迁移.

追问1：你能从中得到哪一种数量关系？能加以研究吗？

师生活动：教师给出调和平均数的定义，师生共同构建调和平均数的研究思路.

【设计意图】使学生明确一类新的研究对象应该怎么研究.

追问2：调和平均数与构成要素x，y[0<x≤y]之间有什么大小关系？

师生活动：教师引导学生通过符号的运算、推理得到它们之间的大小关系是[x≤Hx，y≤y].

【设计意图】学生明确性质研究的是调和平均数与构成要素之间的关系.

追问3：调和平均数与算术平均数之间有什么大小关系？

师生活动：学生通过对符号的运算、推理得到调和平均数与算术平均数的大小关系是[0<x≤Hx，y≤x+y2≤y].

【设计意图】类似于代数式的研究，在研究调和平均数的定义、性质之后，需要进一步研究调和平均数与算术平均数之间的关系.

5. 延伸阅读

数学的美无处不在. 数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐. 例如，三根弦的长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so. 研究15，12，10这三个数发现数12是15和10的调和平均数.

师生活动：教师介绍调和音的相关知识.

【设计意图】通过符号抽象，引入并明确研究对象，通过运算和推理研究性质和关系，应用于现实，使学生感悟到数学来源于生活. 这是数学以简驭繁地研究一般规律的重要方法.

6. 课堂小结

（1）在“数与代数”领域中，研究一类对象的基本思路是什么？研究哪些问题？研究的基本方法是什么？

（2）符号抽象、推理和运算的研究方法有什么用？怎样用？核心要點是什么？

师生活动：先由学生之间相互交流，再由师生共同归纳得到如下“数与式”内容研究的一般思路和方法.

思路：引入、定义、表示—性质（大小关系、运算中的不变性）—运算与运算律.

内容：性质和运算，关注数量之间的大小、运算和对应关系.

研究方法：符号抽象、推理和运算，从特殊到一般，归纳.

“数与式”研究中的符号抽象、推理和运算思想方法，如图2所示.

【设计意图】第（1）问引导学生从研究思路、研究内容、研究方法三个方面回顾并归纳代数研究的一般套路. 第（2）问使学生明确符号抽象、推理和运算是代数研究最基本的方法. 通过本节课的学习使学生知道这种思想方法有什么用、怎么用、核心要点是什么.

7. 目标检测

练习1：利用二维码可以进行身份识别. 图3是某名学生的识别图案，白色小正方形代表二进制数字0，黑色小正方形代表二进制数字1. 每一行从最右边数，第一个小正方形代表的数字表示这个二进制数本身，第二个小正方形代表的数字表示这个二进制数与2的积，第三个小正方形代表的数字表示这个二进制数与[22]的积，依此类推. 每一行小正方形所代表的数的和表示一个十进制数. 第一、二行小正方形代表的十进制数的和依次为年级、班级，第三、四行小正方形代表十进制数的和是学号，则该图案表示的学生信息是      年级      班      号同学.

练习2：并联电路中的总电阻的倒数等于各电阻倒数的和，而电路中的电流强度I等于电压U除以电阻R. 如图4所示的并联电路中两开关[S1]和[S2]中闭合一个时电路中的电流强度[I1，I2]与两个开关同时闭合时的电流强度I的大小关系是（    ）.

练习3：如图1，一根长为5 m的竹竿斜靠在墙面上. 靠墙一端离地高4 m，竹竿在同一平面内下端水平外移一定的距离，竹竿靠墙一端下降的高度与下端外移的距离之间有什么大小关系？

师生活动：学生独立完成以上各练习题后，教师对学生答题的正确率进行统计，并对错误较多的习题进行讲解.

【设计意图】通过平板电脑的统计功能，了解学生对本节课的掌握情况.

四、教学反思

本节课的教学中主要存在以下问题.

1. 好的预设下课堂生成不足

在实施教学的过程中，本节课中的符号抽象过程是教师引导学生完成的. 但是，在已经完成思想方法归纳提炼之后，在题目1和题目2的教学过程中，教师只需要引导学生思考两个问题：两道题目中，在一个数据都没有的情况下，怎么解决？它的方法步骤是怎样的？你能按照这些步骤解决题目1和题目2吗？接下来，教师应该给学生留有充分思考和讨论交流的时间. 这样，学生在解决问题的过程中能暴露出各种问题，这些都是课堂自然生成的良好资源. 教师需要在教学中留给学生充足的思考时间，从而更好地把握生成资源.

本节课涉及多种情况下符号的推理运算. 例如，题目1的两种方案中降价后价格大小的比较，题目2中混合后溶质质量分数与混合前溶质质量分数大小的比较，例题中调和平均数与数x，y及算术平均数的大小比较，等等. 教师在对题目1的符号推理和运算给出讲解示范之后，接下来应该交由学生去操作.

总之，好的数学教学一定是那种能把学生带入课堂活动中，使他们“躬行此事”的教学;是能敏锐地捕捉课堂生成的教学资源，并机智地将“生成”融合于“预设”之中，根据“生成”调整“预设”的教学.

2. 课堂教学过程中的细节处理需要进一步优化

在汤水问题中，汤的咸淡程度怎么用符号表示？学生如何想到用质量分数表示？不同咸度怎么解释？如何用不等式表示？表示出来的符号都是大于0的，为什么？这些问题对于学生来说都是具有挑战性的，教师需要让学生充分思考，这样才能真正让学生的符号抽象、推理和运算能力得到提升.

五、进一步思考

1. 这种思想方法教学策略是具有一般性的

本节课的教学流程如下.

本节课中，教师先是从具体的问题或情境引入，让学生解决具体问题，在问题解决过程中初步体会符号抽象、推理与运算思想.

接下来，教师让学生反思问题解决的过程，引导学生思考这种思想方法有什么用、怎样用、核心要点是什么，在此基础上把这种思想方法推广到一般，即推广到某一类问题的解决中.

师生在归纳和总结这种思想方法的操作步骤之后，将这种方法迁移应用到新的问题解决中. 学生应该明确解决这个问题是否要用到这种思想方法，在回顾操作步骤和要点的基础上指导自己的思考过程.

最后，通过综合应用各种思想方法解决问题，建立不同思想方法之间的联系. 在数学思想方法的专题复习课中，教师要让学生经历四个过程：在具体的、熟悉的问题解决过程中总结这种思想方法的作用、操作步骤和核心要点;把得到的方法推广到一般;应用归纳的方法步骤解决问题;与其他思想方法建立联系.

实践表明，这种聚焦数学思想方法的专题复习教学策略是具有一般性的，是可迁移的.

2. 专题复习教学聚焦数学思想方法是发展数学学科核心素养、实现数学育人的需要

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的发展数学学科核心素养，本质上是要求学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界. 数学主要是通过数学抽象、逻辑推理和符号运算理解和表达现实世界中事物的本质属性、普遍联系及其一般规律. 而数学抽象、推理与模型是数学三大基本思想.

3. 聚焦数学思想方法的专题复习教学需要把练习融合到问题的整体研究中

中考数学专题复习课教学要根据目标选题. 选出来的题目看似不同，但本质相同，即题目中蕴涵的数学思想方法是一致的. 例如，在本节课的教学中，对于课前预测题1汤的咸淡问题，学生是凭借生活经验得到答案的，预测题2降价率问题是由特殊化方法得到答案的，预测题3竹竿问题是数的推理与运算. 而本节课就是在一般意义上解决上述汤水问题和降价率问题，通过这两个问题的解决归纳并总结思想方法的作用、操作步骤和核心要点. 由于竹竿问题的运算与推理过程比较复杂，因此将其放在课后作为拓展研究的内容. 最终，本节课是从一般意义上解决三道课前预测题. 综观三道预测题，貌似不同，但是其中都蕴涵着符号的抽象、推理与运算思想，即解决这三道题蕴涵的思想本质是相同的. 专题复习教学应该训练学生这种透过现象看本质的能力.

六、结束语

本节课的教学实践表明，聚焦数学思想方法的专题复习教学对于发展学生的数学学科核心素养和解决问题的能力具有重要作用，而且这种复习课教学策略是具有一般性的，可以迁移到其他思想方法的复习教学中去.

参考文献：

[1]吴灵秋. 分类讨论思想专题复习教学设计初探[J]. 中国数学教育（初中版），2019（7 / 8）：22-25.

[2]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]史宁中. 数学基本思想18讲[M]. 北京：北京师范大学出版社，2016.

[4]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[5]中華人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.